View source for Aufgaben:Exercise 4.3Z: Dirac-shaped "2D-PDF"


{{quiz-Header|Buchseite=Stochastische Signaltheorie/Zweidimensionale Zufallsgrößen
}}

[[File:P_ID257__Sto_Z_4_3.png|right|frame|Betrachtete diracförmige 2D-WDF]]
In der Grafik ist die zweidimensionale Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion $f_{xy}(x, y)$&nbsp; der zwei diskreten Zufallsgr&ouml;&szlig;en&nbsp; $x$&nbsp; und&nbsp; $y$&nbsp; dargestellt. 
*Diese 2D&ndash;WDF besteht aus acht Diracpunkten, durch Kreuze markiert.&nbsp; Die Zahlenwerte geben die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten an.
*Es ist zu erkennen, dass sowohl&nbsp; $x$&nbsp; als auch&nbsp; $y$&nbsp; alle ganzzahligen Werte zwischen den Grenzen&nbsp; $-2$&nbsp; und&nbsp; $+2$&nbsp; annehmen k&ouml;nnen.
*Die Varianzen der beiden Zufallsgr&ouml;&szlig;en sind wie folgt gegeben:  &nbsp; $\sigma_x^2 = 2$, &nbsp; $\sigma_y^2 = 1.4$. 
<br>







''Hinweise:'' 
*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Theory_of_Stochastic_Signals/Zweidimensionale_Zufallsgrößen|Zweidimensionale Zufallsgrößen]].
*Bezug genommen wird auch auf das Kapitel&nbsp; [[Theory_of_Stochastic_Signals/Momente_einer_diskreten_Zufallsgröße|Momente einer diskreten Zufallsgröße]]
 





===Fragebogen===

<quiz display=simple>
{Welche der folgenden Aussagen trefen hinsichtlich der Zufallsgr&ouml;&szlig;e&nbsp; $x$&nbsp; zu?
|type="[]"}
+ Die Wahrscheinlichkeiten für&nbsp; $-2$,&nbsp; $-1$,&nbsp; &nbsp; $0$,&nbsp; $+1$&nbsp; und&nbsp; $+2$&nbsp; sind gleich.
+ Die Zufallsgr&ouml;&szlig;e&nbsp; $x$&nbsp; ist mittelwertfrei&nbsp; $(m_x = 0)$. 
- Die Wahrscheinlichkeit&nbsp; ${\rm Pr}(x \le 1)$&nbsp; ist&nbsp; $0.9$.


{Welche der folgenden Aussagen treffen hinsichtlich der Zufallsgr&ouml;&szlig;e&nbsp; $y$&nbsp; zu?
|type="[]"}
- Die Wahrscheinlichkeiten für&nbsp; $-2$,&nbsp; $-1$,&nbsp; &nbsp; $0$,&nbsp; $+1$&nbsp; und&nbsp; $+2$&nbsp; sind gleich.
+ Die Zufallsgr&ouml;&szlig;e&nbsp; $y$&nbsp; ist mittelwertfrei&nbsp; $(m_y = 0)$. 
+ Die Wahrscheinlichkeit&nbsp; ${\rm Pr}(y \le 1)$&nbsp; ist&nbsp; $0.9$.


{Berechnen Sie den Wert der zweidimensionalen VTF an der Stelle&nbsp; $(+1, +1)$.
|type="{}"}
$F_{xy}(+1, +1) \ = \ $  { 0.8 3% }


{Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass&nbsp; $x \le 1$&nbsp; gilt, unter der Bedingung, dass gleichzeitig&nbsp; $y \le 1$&nbsp; ist.
|type="{}"}
${\rm Pr}(x ≤ 1\hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}y ≤ 1)\ = \ $ { 0.889 3% }


{Berechnen Sie das gemeinsame Moment&nbsp; $m_{xy}$&nbsp; der Zufallsgr&ouml;&szlig;en&nbsp; $x$&nbsp; und&nbsp; $y$.
|type="{}"}
$m_{xy}\ = \ $ { 1.2 3% }


{Berechnen Sie den Korrelationskoeffizienten&nbsp; $\rho_{xy}$&nbsp; und geben Sie die Gleichung der Korrelationsgeraden&nbsp; $K(x)$&nbsp; an.&nbsp; Wie gro&szlig; ist deren Winkel zur&nbsp; $x$-Achse?
|type="{}"}
$\rho_{xy}\ = \ $ { 0.707 3% }
$\theta_{y\hspace{0.05cm}→\hspace{0.05cm} x}\ = \ $ { 31 3% } $\ \rm Grad$


{Welche der nachfolgenden Aussagen sind zutreffend?
|type="[]"}
- Die Zufallsgr&ouml;&szlig;en&nbsp; $x$&nbsp; und&nbsp; $y$&nbsp; sind statistisch unabh&auml;ngig.
+ Man erkennt bereits aus der vorgegebenen 2D-WDF, dass&nbsp; $x$&nbsp; und&nbsp; $y$&nbsp; statistisch voneinander abh&auml;ngen.
+ Aus dem berechneten Korrelationskoeffizienten&nbsp; $\rho_{xy}$&nbsp; kann man auf die statistische Abh&auml;ngigkeit zwischen&nbsp; $x$&nbsp; und&nbsp; $y$&nbsp; schließen.



</quiz>

===Musterlösung===
{{ML-Kopf}}
'''(1)'''&nbsp; Richtig sind die  <u>beiden ersten Antworten</u>:
*Die Randwahrscheinlichkeitsdichtefunktion $f_{x}(x)$&nbsp; erh&auml;lt man aus der 2D&ndash;WDF $f_{xy}(x, y)$&nbsp; durch Integration über&nbsp; $y$. 
*F&uuml;r alle m&ouml;glichen Werte&nbsp; $ x \in \{-2, -1, \ 0, +1, +2\}$&nbsp; sind die Wahrscheinlichkeiten gleich&nbsp; $0.2$.
*Es gilt&nbsp; ${\rm Pr}(x \le 1)= 0.8$&nbsp; und der Mittelwert ist&nbsp; $m_x = 0$. 



[[File:P_ID258__Sto_Z_4_3_b.png|right|frame|Diskrete Rand&ndash;WDF $f_{y}(y)$]]
'''(2)'''&nbsp; Richtig sind <u>die Lösungsvorschläge 2 und 3</u>:
*Durch Integration &uuml;ber&nbsp; $x$&nbsp; erh&auml;lt man die rechts skizzierte WDF $f_{y}(y)$.
* Aufgrund der Symmetrie ergibt sich der Mittelwert&nbsp; $m_y = 0$. 
*Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist&nbsp; ${\rm Pr}(y \le 1)= 0.9$. 



'''(3)'''&nbsp;  Definitionsgemäß gilt:
:$$F_{xy}(r_x, r_y) = {\rm Pr} \big [(x \le r_x)\cap(y\le r_y)\big ].$$

*F&uuml;r&nbsp; $r_x = r_y = 1$&nbsp; folgt daraus:
:$$F_{xy}(+1, +1) = {\rm Pr}\big [(x \le 1)\cap(y\le 1)\big ].$$

*Wie aus der 2D&ndash;WDF auf der Angabenseite zu ersehen, ist diese Wahrscheinlichkeit&nbsp; ${\rm Pr}\big [(x \le 1)\cap(y\le 1)\big ]\hspace{0.15cm}\underline{=0.8}$.



'''(4)'''&nbsp; Hierf&uuml;r kann mit dem Satz von Bayes auch geschrieben werden: 
:$$ \rm Pr(\it x \le \rm 1)\hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm} \it y \le \rm 1) = \frac{ \rm Pr\big [(\it x \le \rm 1)\cap(\it y\le \rm 1)\big ]}{ \rm Pr(\it y\le \rm 1)} = \it \frac{F_{xy} \rm (1, \rm 1)}{F_{y}\rm (1)}.$$

*Mit den Ergebnissen aus&nbsp; '''(2)'''&nbsp; und&nbsp; '''(3)'''&nbsp; folgt daraus&nbsp; $ \rm Pr(\it x \le \rm 1)\hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm} \it y \le \rm 1) = 0.8/0.9 = 8/9 \hspace{0.15cm}\underline{=0.889}$.



'''(5)'''&nbsp; Entsprechend der Definition gilt für das gemeinsame Moment:
:$$m_{xy} = {\rm E}\big[x\cdot y \big] = \sum\limits_{i} {\rm Pr}( x_i \cap y_i)\cdot x_i\cdot y_i.   $$

*Es verbleiben fünf Diracfunktionen mit&nbsp; $x_i \cdot y_i \ne 0$:
:$$m_{xy} = \rm 0.1\cdot (-2) (-1) + 0.2\cdot(-1) (-1)+ 0.2\cdot 1\cdot 1 + 0.1\cdot 2\cdot 1+ 0.1\cdot 2\cdot 2\hspace{0.15cm}\underline{=\rm 1.2}.$$



[[File:P_ID259__Sto_Z_4_3_f.png|right|frame|2D-WDF und Korrelationsgerade&nbsp; $y = K(x)$]]
'''(6)'''&nbsp; F&uuml;r den Korrelationskoeffizienten gilt:
:$$\rho_{xy} = \frac{\mu_{xy}}{\sigma_x\cdot \sigma_y} = \frac{1.2}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{1.4}}\hspace{0.15cm}\underline{=0.717}.$$

*Hierbei ist ber&uuml;cksichtigt, dass wegen&nbsp; $m_x = m_y = 0$&nbsp; die Kovarianz&nbsp; $\mu_{xy}$&nbsp; gleich dem Moment&nbsp; $m_{xy}$&nbsp; ist.

*Die Gleichung der Korrelationsgeraden lautet:
:$$y=\frac{\sigma_y}{\sigma_x}\cdot \rho_{xy}\cdot x = \frac{\mu_{xy}}{\sigma_x^{\rm 2}}\cdot x = \rm 0.6\cdot \it x.$$

*Im Bild ist die Gerade&nbsp; $y = K(x)$&nbsp; eingezeichnet.&nbsp; Der Winkel zwischen Korrelationsgerade und&nbsp;  $x$-Achse betr&auml;gt 
:$$\theta_{y\hspace{0.05cm}→\hspace{0.05cm} x} = \arctan(0.6) \hspace{0.15cm}\underline{=31^\circ}.$$


'''(7)'''&nbsp; Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 2 und 3</u>:
*Bei statistischer Unabh&auml;ngigkeit m&uuml;sste $f_{xy}(x, y) = f_{x}(x) \cdot f_{y}(y)$&nbsp; gelten, was hier nicht erf&uuml;llt ist. 
*Aus der Korreliertheit&nbsp; $($folgt aus&nbsp; $\rho_{xy} \ne 0)$&nbsp; kann direkt auf die statistische Abh&auml;ngigkeit geschlossen werden, 
*denn Korrelation bedeutet eine Sonderform der statistischen Abh&auml;ngigkeit,  
*nämlich die  lineare statistische Abh&auml;ngigkeit. 

{{ML-Fuß}}



[[Category:Theory of Stochastic Signals: Exercises|^4.1 Two-Dimensional Random Variables^]]