View source for Aufgaben:Exercise 4.16: Binary Frequency Shift Keying


{{quiz-Header|Buchseite=Digital_Signal_Transmission/Carrier_Frequency_Systems_with_Coherent_Demodulation}}

[[File:P_ID2075__Dig_A_4_16.png|right|frame|Band-pass signals of the FSK]]
In binary FSK, the two messages&nbsp; $m_0$&nbsp; and&nbsp; $m_1$&nbsp; are represented by two different frequencies. For the two possible band&ndash;pass signals then applies in each case in the range&nbsp; $0 &#8804; t &#8804; T$&nbsp; with &nbsp;$f_0 = f_{\rm T} + \Delta f_{\rm A}$&nbsp; as well as &nbsp;$f_1 = f_{\rm T} \, &ndash; \Delta f_{\rm A}$:
:$$s_{\rm BP0}(t) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm}  \sqrt{2E/T} \cdot \cos( 2\pi  f_0  t)\hspace{0.05cm},$$
:$$ s_{\rm BP1}(t) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm}  \sqrt{2E/T} \cdot \cos( 2\pi  f_1  t)\hspace{0.05cm}.$$

The graph shows example signals $($in each case only one symbol duration &nbsp;$T)$. 
*In obiger Gleichung gibt&nbsp; $f_{\rm T}$&nbsp; die <i>Trägerfrequenz</i>&nbsp; an und&nbsp; $\Delta f_{\rm A}$&nbsp; den <i>Frequenzhub</i>&nbsp; als die maximale Abweichung der&nbsp; [[Modulation_Methods/Frequenzmodulation_(FM)#Augenblicksfrequenz|Augenblicksfrequenz]]&nbsp; von der Trägerfrequenz an. 
* $E$&nbsp; ist die Signalenergie. Dabei gilt gleichermaßen für die mittlere Symbolenergie und die mittlere Bitenergie:
:$$E_{\rm S} = E_{\rm B} = E\hspace{0.05cm}.$$

Meist arbeitet man aber mit dem <i>Modulationsindex</i>, der als das Verhältnis von Gesamtfrequenzhub und Symbolrate definiert ist:
:$$h = \frac{2 \cdot \Delta f_{\rm A}}{1/T} = 2 \cdot \Delta f_{\rm A} \cdot T \hspace{0.05cm}.$$

Die äquivalente Tiefpassdarstellung führt unter Verwendung von&nbsp; $h$&nbsp; zu den beiden komplexen Signalen
:$$ s_{\rm TP0}(t) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm}  \sqrt{E/T} \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}+{\rm j} \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm} \pi \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm} h \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}t/T}\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} 0 \le t \le T\hspace{0.05cm},$$
:$$ s_{\rm TP1}(t) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm}  \sqrt{E/T} \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}-{\rm j} \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm} \pi \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm} h \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}t/T}\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} 0 \le t \le T\hspace{0.05cm}.$$

Eine orthogonale FSK liegt vor, wenn das innere Produkt den Wert &nbsp;$0$&nbsp; ergibt:
:$$<  \hspace{-0.05cm}s_{\rm TP0}(t) \cdot s_{\rm TP1}(t) \hspace{-0.05cm}> \hspace{0.2cm}=  
 \int_{0}^{T} s_{\rm TP0}(t) \cdot s_{\rm TP1}^{\star}(t) \,{\rm d} t =0 \hspace{0.05cm}.$$

In diesem Fall ist auch eine nichtkohärente Demodulation wie im Kapitel&nbsp; [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Tr%C3%A4gerfrequenzsysteme_mit_nichtkoh%C3%A4renter_Demodulation| Trägerfrequenzensysteme mit nichtkohärenter Demodulation]]&nbsp; beschrieben möglich.

Das innere Produkt der Bandpass&ndash;Signale kann aus dem inneren Produkt der Tiefpass&ndash;Signale durch Realteilbildung ermittelt werden:
:$$<  \hspace{-0.05cm}s_{\rm BP0}(t) \cdot s_{\rm BP1}(t) \hspace{-0.05cm}> \hspace{0.2cm}=  
 {\rm Re}\left [ \hspace{0.1cm}<  \hspace{-0.05cm}s_{\rm TP0}(t) \cdot s_{\rm TP1}(t) \hspace{-0.05cm}> \hspace{0.15cm} \right ]\hspace{0.05cm}.$$

Gilt&nbsp; $&#9001; s_{\rm BP0}(t) \cdot s_{\rm BP1}(t)&#9002; = 0$, aber gleichzeitig auch&nbsp; $&#9001; s_{\rm TP0}(t) \cdot s_{\rm TP1}(t)&#9002; &ne; 0$, 
*so ist eine kohärente Demodulation möglich, 
*aber keine nichtkohärente  Demodulation.





''Hinweise:''
* Die Aufgabe gehört zum Kapitel&nbsp;  [[Digital_Signal_Transmission/Carrier_Frequency_Systems_with_Coherent_Demodulation| "Carrier Frequency Systems with Coherent Demodulation"]]. 
* Bezug genommen wird insbesondere auf die Seiten&nbsp; [[Digital_Signal_Transmission/Trägerfrequenzsysteme_mit_kohärenter_Demodulation#Binary_Frequency_Shift_Keying_.282.E2.80.93FSK.29| Binary Frequency Shift Keying]]&nbsp;(BFSK) und  &nbsp;[[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Tr%C3%A4gerfrequenzsysteme_mit_koh%C3%A4renter_Demodulation#Minimum_Shift_Keying_.28MSK.29|Minimum Shift Keying]]&nbsp; (MSK).
 



===Fragebogen===
<quiz display=simple>
{Welche Trägerfrequenz&nbsp; $f_{\rm T}$&nbsp; und welcher Frequenzhub&nbsp; $\Delta f_{\rm A}$&nbsp; liegen der Grafik auf der Angabenseite zugrunde?
|type="{}"}
$f_{\rm T}\hspace{0.48cm} = \ $  { 4 3% } $\ \cdot 1/T$
$\Delta f_{\rm A}\ = \ $ { 0.5 3% } $\ \cdot 1/T$

{Welchem Modulationsindex&nbsp; $h$&nbsp; entspricht dieser Frequenzhub?
|type="{}"}
$h\ = \ ${ 1 3% }

{Für welche Werte von&nbsp; $h$&nbsp; ist die Orthogonalität der Tiefpass&ndash;Signale gegeben?
|type="[]"}
- $h = 0.5$,
- $h = \pi/4$,
+ $h = 1$,
+ $h = 2$.

{Für welche Werte von&nbsp; $h$&nbsp; ist die Orthogonalität der Bandpass&ndash;Signale gegeben?
|type="[]"}
+ $h = 0.5$,
- $h = \pi/4$,
+ $h = 1$,
+ $h = 2$.

{Welche Aussagen gelten hinsichtlich kohärenter bzw. nichtkohärenter Demodulation?
|type="[]"}
- Kohärente Demodulation ist immer möglich.
+ Ist nichtkohärente Demodulation möglich, so geht auch eine kohärente Demodulation.
- Ist kohärente Demodulation möglich, so geht auch eine nichtkohärente Demodulation.
</quiz>

===Musterlösung===
{{ML-Kopf}}
'''(1)'''&nbsp; Durch Abzählen der Schwingungen innerhalb einer Symboldauer $T$ kommt man zu den beiden Frequenzen $f_0 = 4.5/T$ und $f_1 = 3.5/T$. 
*Daraus berechnen sich Trägerfrequenzen und Frequenzhub zu
:$$f_{\rm T} \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm}  {1}/{2}\cdot (f_0 + f_1) = \underline{4 \cdot 1/T}\hspace{0.05cm},$$
:$$ \Delta f_{\rm A} \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm}  {1}/{2}\cdot (f_0 - f_1)= \underline{0.5 \cdot 1/T }\hspace{0.05cm}.$$


'''(2)'''&nbsp; Mit der angegebenen Gleichung gilt für den Modulationsindex:
:$$h = 2 \cdot \Delta f_{\rm A} \cdot T  = 2 \cdot 0.5 \cdot 1/T \cdot T \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} \underline{h= 1}\hspace{0.05cm}. $$


'''(3)'''&nbsp; Das innere Produkt der Tiefpass&ndash;Signale lautet:
:$$<  \hspace{-0.05cm} s_{\rm TP0}(t) \hspace{0.01cm} \ \cdot \ \hspace{0.01cm} s_{\rm TP1}(t) \hspace{-0.05cm} > \hspace{0.2cm} =   
 \int_{0}^{T} s_{\rm TP0}(t) \cdot s_{\rm TP1}^{\star}(t) \,{\rm d} t = \frac{E}{T}  \cdot \int_{0}^{T} {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j}  2\pi  h \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}t/T} \,{\rm d} t = \frac{E}{{\rm j}2\pi   h} \cdot \left [ {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j}  2\pi  h} - 1 \right ] 
  \hspace{0.05cm}.$$

Orthogonalität bedeutet, dass dieses innere Produkt $0$ sein muss:
:$$<  \hspace{-0.05cm} s_{\rm TP0}(t)  \cdot   s_{\rm TP1}(t) \hspace{-0.05cm} > \hspace{0.2cm} =   
  \frac{E}{{\rm j}2\pi   h} \cdot \left [ {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j}  2\pi  h} - 1 \right ] = 0
\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} h = 1, 2, 3, ...$$

Richtig sind demzufolge die <u>Lösungsvorschläge 3 und 4</u>: 
*Ist der Modulationsindex $h$ ganzzahlig, so kann nichtkohärent demoduliert werden, ohne dass die Orthogonalität verletzt wird.



'''(4)'''&nbsp; Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 1, 3 und 4</u>:
*Für das innere Produkt der Bandpass&ndash;Signale kann nach den Erläuterungen auf der Angabenseite geschrieben werden:
:$$<  \hspace{-0.05cm}s_{\rm BP0}(t) \hspace{0.01cm} \ \cdot \ \hspace{0.01cm} s_{\rm BP1}(t) \hspace{-0.05cm}> \hspace{0.2cm}=  
 {\rm Re}\left [ \hspace{0.1cm}<  \hspace{-0.05cm}s_{\rm TP0}(t) \cdot s_{\rm TP1}(t) \hspace{-0.05cm}> \hspace{0.2cm} \right ] = {\rm Re}\left [ \frac{E}{{\rm j}2\pi   h} \cdot \left ( {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j}  2\pi  h} - 1 \right ) \right ]$$
:$$ \Rightarrow\hspace{0.3cm}<  \hspace{-0.05cm}s_{\rm BP0}(t) \hspace{0.01cm} \ \cdot \ \hspace{0.01cm} s_{\rm BP1}(t) \hspace{-0.05cm}> \hspace{0.2cm}= {\rm Re}\left [ \frac{E}{2\pi   h} \cdot \left ( \sin( 2\pi  h) - {\rm j} \cdot [\cos( 2\pi  h) - 1 ]\right ) \right ] = \frac{E \cdot \sin( 2\pi  h)}{2\pi   h} \hspace{0.05cm}.$$
*Dieses Ergebnis ist immer dann $0$, wenn der Modulationsindex $h$ ein ganzzahliges Vielfaches von $0.5$ ist. 


'''(5)'''&nbsp; Richtig ist nur der <u>Lösungsvorschlag 2</u>. 
*Für kohärente Demodulation muss $h$ ein Vielfaches von $0.5$ sein. 
*Ist nichtkohärente Demodulation möglich, wie zum Beispiel im hier betrachteten Fall ($h = 1$), so ist auch kohärente Demodulation anwendbar.
*Dagegen kann für $h = 0.5$ zwar kohärent demoduliert werden, aber eine nichtkohärente Demodulation (die auf die Hüllkurve angewiesen ist) versagt.
{{ML-Fuß}}




[[Category:Digital Signal Transmission: Exercises|^4.4 Coherent Demodulation^]]