View source for Aufgaben:Exercise 3.6Z: Transition Diagram at 3 States

{{quiz-Header|Buchseite=Kanalcodierung/Codebeschreibung mit Zustands– und Trellisdiagramm}}

[[File:P_ID2667__KC_Z_3_6.png|right|frame|Zustandsübergangsdiagramm für&nbsp; $m = 3$&nbsp; (unvollständig)]]
Im Zustandsübergangsdiagramm eines Codierers mit Gedächtnis&nbsp; $m$&nbsp; gibt es&nbsp; $2^m$&nbsp; Zustände. Das dargestellte Diagramm mit acht Zuständen beschreibt deshalb einen Faltungscoder mit dem Gedächtnis&nbsp; $m = 3$.

Normalerweise bezeichnet man die Zustände mit&nbsp; $S_0, \ \text{...} \ , \ S_{\mu}, \ \text{...} \ , \ S_7$, wobei der Index&nbsp; $\mu$&nbsp; aus der Belegung des Schieberegisters (Inhalt von links nach rechts: &nbsp; $u_{i-1}, u_{i-2}, u_{i-3})$&nbsp; festgelegt ist:
:$$\mu = \sum_{l = 1}^{m} \hspace{0.1cm}2\hspace{0.03cm}^{l-1} \cdot u_{i-l}
\hspace{0.05cm}.$$

Der Zustand&nbsp; $S_0$&nbsp; ergibt sich deshalb für den Schieberegisterinhalt "$000$", der Zustand&nbsp; $S_1$&nbsp; für "$100$" und der Zustand&nbsp; $S_7$&nbsp; für "$111$".

In obiger Grafik sind allerdings für die Zustände&nbsp; $S_0, \, \text{...} \, , \, S_7$&nbsp; Platzhalter names&nbsp; $\mathbf{A}, \, \text{...} \, , \, \mathbf{H}$&nbsp; verwendet. In den Teilaufgaben '''(1)''' und '''(2)''' sollen Sie klären, welcher Platzhalter für welchen Zustand steht.

Bei Faltungscodierer der Rate&nbsp; $1/n$, die hier ausschließlich betrachtet werden sollen, gehen von jedem Zustand&nbsp; $S_{\mu}$&nbsp; zwei Pfeile ab, 
*ein roter für das aktuelle Informationsbit&nbsp; $u_i = 0$&nbsp; und 
*ein blauer für&nbsp; $u_i = 1$. 


Auch deshalb ist das gezeigte Zustandsübergangsdiagramm nicht vollständig. Zu erwähnen ist weiterhin:
* Bei jedem Zustand kommen auch zwei Pfeile an, wobei diese durchaus gleichfarbig sein können.
* Neben den Pfeilen stehen üblicherweise noch die&nbsp; $n$&nbsp; Codebits. Auch hierauf wurde hier verzichtet.








''Hinweise:''
* Die Aufgabe gehört zum Kapitel&nbsp; [[Channel_Coding/Codebeschreibung_mit_Zustands%E2%80%93_und_Trellisdiagramm| Codebeschreibung mit Zustands&ndash; und Trellisdiagramm]].

* In&nbsp; [[Aufgaben:Aufgabe_3.7Z:_Welcher_Code_ist_katastrophal%3F| Aufgabe 3.7Z]]&nbsp; werden zwei Faltungscodes mit Gedächtnis&nbsp; $m = 3$&nbsp; untersucht, die beide durch das hier analysierte Übergangsdiagramm beschrieben werden können.
*Bitte bei allen Fragen den ensprechenden ''Index'' &nbsp;$\mu$&nbsp; eingeben.
*Bezug genommen wird insbesondere auf die Abschnitte&nbsp; 
**[[Channel_Coding/Codebeschreibung_mit_Zustands–_und_Trellisdiagramm#Zustandsdefinition_f.C3.BCr_ein_Speicherregister|Zustandsdefinition für ein Speicherregister]]&nbsp; sowie
** [[Channel_Coding/Codebeschreibung_mit_Zustands–_und_Trellisdiagramm#Darstellung im_Zustands.C3.BCbergangsdiagramm|Darstellung im Zustandsübergangsdiagramm]].




===Fragebogen===
<quiz display=simple>
{Für welche Zustände&nbsp; $S_{\mu}$&nbsp; stehen die Platzhalter&nbsp; $\mathbf{A}$&nbsp; und&nbsp; $\mathbf{F}$? 
|type="{}"}
${\rm Zustand} \ \mathbf{A} \ &#8658; \ {\rm Index} \ {\mu} \ = \ ${ 0. } 
${\rm Zustand} \ \mathbf{F} \ &#8658; \ {\rm Index} \ {\mu} \ = \ ${ 7 } 

{Nennen Sie auch die Zuordnungen der anderen Platzhalter zu den Indizes.
|type="{}"}
${\rm Zustand} \ \mathbf{B} \ &#8658; \ {\rm Index} \ {\mu} \ = \ ${ 1 }
${\rm Zustand} \ \mathbf{C} \ &#8658; \ {\rm Index} \ {\mu} \ = \ ${ 2 } 
${\rm Zustand} \ \mathbf{D} \ &#8658; \ {\rm Index} \ {\mu} \ = \ ${ 5 } 
${\rm Zustand} \ \mathbf{E} \ &#8658; \ {\rm Index} \ {\mu} \ = \ ${ 3 } 
${\rm Zustand} \ \mathbf{G} \ &#8658; \ {\rm Index} \ {\mu} \ = \ ${ 6 } 
${\rm Zustand} \ \mathbf{H} \ &#8658; \ {\rm Index} \ {\mu} \ = \ ${ 4 }  

{Zu welchem Zustand&nbsp; $S_{\mu}$&nbsp; geht der jeweils zweite Pfeil? 
|type="{}"}
${\rm Von \ {\it S}_{\rm 1} \ zum \ Zustand \ mit \ Index \ {\mu}} \ = \ ${ 3 } 
${\rm Von \ {\it S}_{\rm 3} \ zum \ Zustand \ mit \ Index \ {\mu}} \ = \ ${ 6 }
${\rm Von \ {\it S}_{\rm 5} \ zum \ Zustand \ mit \ Index \ {\mu}} \ = \ ${ 2 }
${\rm Von \ {\it S}_{\rm 7} \ zum \ Zustand \ mit \ Index \ {\mu}} \ = \ ${ 6 }
</quiz>

===Musterlösung===
{{ML-Kopf}}
[[File:P_ID2668__KC_Z_3_6b_neu.png|right|frame|Zusammenhang zwischen Platzhalter und Zuständen]]
'''(1)'''&nbsp; Der Platzhalter $\mathbf{A}$ steht für den Zustand $S_0$ &nbsp;&#8658;&nbsp; $u_{i-1} = 0, \ u_{i-2} = 0, \ u_{i-3} = 0$. 
*Dies ist der einzige Zustand $S_{\mu}$, bei dem man durch das Infobit $u_i = 0$ (roter Pfeil) im gleichen Zustand $S_{\mu}$ bleibt.
*Vom Zustand $S_7$ &nbsp;&#8658;&nbsp; $u_{i-1} = 1, \ u_{i-2} = 1, \ u_{i-3} = 1$ kommt man mit $u_i = 1$ (blauer Pfeil) auch wieder zum Zustand $S_7$. 
*Einzugeben waren also für $\mathbf{A}$ der Index $\underline{\mu = 0}$ und für $\mathbf{F}$ der Index $\underline{\mu = 7}$.



'''(2)'''&nbsp; Ausgehend vom Zustand $\mathbf{A} = S_0$ kommt man entsprechend der Ausgangsgrafik im Uhrzeigersinn mit den roten Pfeilen $(u_i = 0)$ bzw. den blauen Pfeilen $(u_i = 1)$ zu folgenden Zuständen: 
:$$u_{i&ndash;3} = 0, \ u_{i&ndash;2} = 0, \ u_{i&ndash;1} = 0, \ u_i = 1 &#8658; s_{i+1} = \mathbf{B} = S_1,$$
:$$u_{i&ndash;3} = 0, \ u_{i&ndash;2} = 0, \ u_{i&ndash;1} = 1, \ u_i = 0 &#8658; s_{i+1} = \mathbf{C} = S_2,$$
:$$u_{i&ndash;3} = 0, \ u_{i&ndash;2} = 1, \ u_{i&ndash;1} = 0, \ u_i = 1 &#8658; s_{i+1} = \mathbf{D} = S_5,$$
:$$u_{i&ndash;3} = 1, \ u_{i&ndash;2} = 0, \ u_{i&ndash;1} = 1, \ u_i = 1 &#8658; s_{i+1} = \mathbf{E} = S_3,$$
:$$u_{i&ndash;3} = 0, \ u_{i&ndash;2} = 1, \ u_{i&ndash;1} = 1, \ u_i = 1 &#8658; s_{i+1} = \mathbf{F} = S_7,$$
:$$u_{i&ndash;3} = 1, \ u_{i&ndash;2} = 1, \ u_{i&ndash;1} = 1, \ u_i = 0 &#8658; s_{i+1} = \mathbf{G} = S_6,$$
:$$u_{i&ndash;3} = 1, \ u_{i&ndash;2} = 1, \ u_{i&ndash;1} = 0, \ u_i = 0 &#8658; s_{i+1} = \mathbf{H} = S_4,$$
:$$u_{i&ndash;3} = 1, \ u_{i&ndash;2} = 0, \ u_{i&ndash;1} = 0, \ u_i = 0 &#8658; s_{i+1} = \mathbf{A} = S_0.$$

*Einzugeben sind also die Indizes $\mu$ in der <u>Reihenfolge 1, 2, 5, 3, 6, 4</u>. 
*Die Grafik zeigt den Zusammenhang zwischen den Platzhaltern und den Zuständen $S_{\mu}$.



'''(3)'''&nbsp; Vom Zustand $S_1$ &#8658; $u_{i&ndash;1} = 1, \ u_{i&ndash;2} = 0, \ u_{i&ndash;3} = 0$ kommt man mit $u_i = 0$ (roter Pfeil) zum Zustand $S_2$. Dagegen landet man mit $u_i = 1$ (blauer Pfeil) beim Zustand $S_3$ &#8658; $u_{i&ndash;1} = 1, \ u_{i&ndash;2} = 1, \ u_{i&ndash;3} = 0$.

[[File:P_ID2669__KC_Z_3_6c.png|right|frame|Zustandsübergangsdiagramm mit $2^3$ Zuständen]]

Nebenstehende Grafik zeigt das Zustandsübergangsdiagramm mit allen Übergängen. Aus diesem kann abgelesen werden:
* Vom Zustand $S_3$ kommt man mit $u_i = 0$ zum Zustand $S_6$.
* Vom Zustand $S_5$ kommt man mit $u_i = 0$ zum Zustand $S_2$.
* Vom Zustand $S_7$ kommt man mit $u_i = 0$ zum Zustand $S_6$.


Einzugeben sind also die Indizes in der <u>Reihenfolge 3, 6, 2, 6</u>.
{{ML-Fuß}}




[[Category:Channel Coding: Exercises|^3.3 Zustands– und Trellisdiagramm^]]