View source for Aufgaben:Exercise 1.6Z: Interpretation of the Frequency Response


{{quiz-Header|Buchseite=Lineare zeitinvariante Systeme/Einige systemtheoretische Tiefpassfunktionen}}

[[File:P_ID862__LZI_Z_1_6.png|right|Impulsantwort und Eingangssignale (Aufgabe Z1.6)]] Mit dieser Aufgabe soll der Einfluss eines Tiefpasses $H(f)$ auf cosinusförmige Signale der Form
$$x_i(t) = A_x \cdot {\rm cos}(2\pi   f_i  t )$$
veranschaulicht werden. In der Grafik sehen Sie die Signale $x_i(t)$, wobei der Index $i$ die Frequenz in kHz angibt. So beschreibt $x_2(t)$ ein 2 kHz–Signal.

Die Signalamplitude beträgt jeweils $A_x =$ 1 V. Das Gleichsignal $x_0(t)$ ist als Grenzfall eines Cosinussignals mit der Frequenz $f_0 =$ 0 zu interpretieren.

Die obere Skizze zeigt die rechteckige Impulsantwort $h(t)$ des Tiefpasses. Der dazugehörige Frequenzgang lautet:
$$H(f) = {\rm si}(\pi \frac{f}{ {\rm \Delta}f}) .$$
Aufgrund der Linearität und der Tatsache, dass $H(f)$ reell und gerade ist, sind die Ausgangssignale ebenfalls cosinusförmig:
$$y_i(t) = A_i \cdot {\rm cos}(2\pi   f_i  t ) .$$
Gesucht werden die Signalamplituden $A_i$ am Ausgang für die verschiedenen Eingangsfrequenzen $f_i$, wobei die Lösung ausschließlich im Zeitbereich gefunden werden soll. Dieser etwas umständliche Lösungsweg soll dazu dienen, den Zusammenhang zwischen Zeit– und Frquenzbereich deutlich zu machen.

'''Hinweis:''' Die Aufgabe bezieht sich auf die theoretischen Grundlagen von [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Einige_systemtheoretische_Tiefpassfunktionen|Kapitel 1.3]]. Entgegen der sonst üblichen Definition einer Amplitude können die $„A_i”$ durchaus negativ sein. Dies entspricht dann der Funktion „Minus-Cosinus”.




===Fragebogen===

<quiz display=simple>
{Welcher Tiefpass liegt hier vor?
|type="[]"}
- Idealer Tiefpass.
+ Spalttiefpass.
- Gaußtiefpass.


{Geben Sie die äquivalente Bandbreite von $H(f)$ an.
|type="{}"}
$\Delta f =$ { 2 } kHz


{Berechnen Sie allgemein die Amplitude $A_i$ in Abhängigkeit von $x_i(t)$ und $h(t)$. Welche der nachfolgenden Punkte sind bei der Berechnung zu berücksichtigen?
|type="[]"}
+ Beim Cosinussignal gilt $A_i = y_i(t = 0)$.
- Es gilt $y_i(t) = x_i(t) · h(t)$.
+ Es gilt $y_i(t) = x_i(t) ∗ h(t)$.


{Welche der nachfolgenden Ergebnisse treffen für $A_0, A_2$ und $A_4$ zu?
|type="[]"}
- $A_0 =$ 0.
+ $A_0 =$ 1 V.
+ $A_2 =$ 0.
- $A_2 =$ 1 V.
+ $A_4 =$ 0.
- $A_4 =$ 1 V.


{Berechnen Sie die Amplituden $A_1$ und $A_3$ für ein 1 kHz- bzw. 3 kHz-Signal. Interpretieren Sie die Ergebnisse anhand der Spektralfunktion.
|type="{}"}
$A_1 =$ { 0.637 5%  } V
$A_3 =$ { -0.215--0.205  } V

</quiz>

===Musterlösung===
{{ML-Kopf}}
:'''a)''' Es handelt sich um einen $\rm \underline{Spalttiefpass}$.


:'''b)''' Die (äquivalente) Zeitdauer der Impulsantwort ist $Δt =$ 0.5 ms. Die äquivalente Bandbreite ist gleich dem Kehrwert $Δf = 1/Δt \rm \underline{\ = \ 2 kHz}$.


:'''c)''' Da $y_i(t)$ cosinusförmig ist, ist die Amplitude gleich dem Signalwert bei $t =$ 0. Das Ausgangssignal soll hier über die Faltung berechnet werden:
$$A_i = y_i (t=0) = \int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {x_i ( \tau  )}  \cdot h ( {0 - \tau } ) \hspace{0.1cm}{\rm d}\tau.$$
Berücksichtigt man die Symmetrie und die zeitliche Begrenzung von $h(t)$, so kommt man zum Ergebnis:
$$A_i = \frac{A_x}{\Delta t} \cdot \int\limits_{ - \Delta t /2 }^{ + \Delta t /2 } {\rm cos}(2\pi   f_i  \tau )\hspace{0.1cm}{\rm d}\tau.$$
Richtig sind also die $\rm \underline{\ Lösungsvorschläge \ 1 \ und \ 3}$.


:'''d)''' Beim Gleichsignal $x_0(t) = A_x$ ist $f_i =$ 0 zu setzen und man erhält $A_0 = A_x \rm \underline{\ = \ 1 \ V}$.
Dagegen verschwindet bei den Cosinusfrequenzen $f_2 =$ 2 kHz und $f_4 =$ 4 kHz jeweils das Integral, da dann genau über eine bzw. zwei Periodendauern zu integrieren ist: $A_2 \rm \underline{ \ = \ 0}$ und $A_4 \rm \underline{ \ = \ 0}$.
Im Frequenzbereich entsprechen die hier behandelten Fälle:
$$H(f=0) = 1, \hspace{0.3cm}H(f=\Delta f) = 0, \hspace{0.3cm}H(f=2\Delta f) = 0.$$


:'''e)''' Das Ergebnis von c) lautet unter Berücksichtigung der Symmetrie für $f_i = f_1$:
$$A_1= \frac{2A_x}{\Delta t} \cdot \int\limits_{ 0 }^{  \Delta t /2 } {\rm cos}(2\pi   f_1  \tau )\hspace{0.1cm}{\rm
 d}\tau =  \frac{2A_x}{2\pi   f_1 \cdot \Delta t} \cdot {\rm sin}(2\pi   f_1  \frac{\Delta t}{2}
 )= A_x \cdot {\rm si}(\pi   f_1  \Delta t ).$$
Mit $f_1 · Δt =$ 0.5 lautet somit das Ergebnis:
$$A_1 = A_x \cdot {\rm si}(\frac{\pi}{2} ) = \frac{2A_x}{\pi} \hspace{0.15cm}\underline{= 0.637\,{\rm V}}.$$
Entsprechend erhält man mit$ _f3 · Δt =$ 1.5:
$$A_3 = A_x \cdot {\rm si}(\frac{3\pi}{2} ) = -\frac{2A_x}{3\pi} = -\frac{A_1}{3}\hspace{0.15cm}\underline{= -0.212\,{\rm V}}.$$
Genau zu den gleichen Ergebnissen – aber deutlich schneller – kommt man durch die Anwendung der Gleichung $A_i = A_x · H(f = f_i)$.

Bereits aus den Grafiken auf der Angabenseite erkennt man, dass das Integral über $x_1(t)$ im markierten Bereich positiv und das Integral über $x_3(t)$ negativ ist. Es ist allerdings anzumerken, dass man im Allgemeinen als Amplitude meist den Betrag bezeichnet (siehe Hinweis auf der Angabenseite).

{{ML-Fuß}}



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