View source for Aufgaben:Exercise 3.8Z: Circle (Ring) Area


{{quiz-Header|Buchseite=Stochastische Signaltheorie/Exponentialverteilte Zufallsgrößen
}}

[[File:P_ID133__Sto_Z_3_8.png|right|]]
:Wir betrachten unterschiedlich große Kreise. Der Radius $r$ und die Fläche $A$ lassen sich als Zufallsgrößen auffassen. Es wird vorausgesetzt, dass der Radius auf den Bereich 6&nbsp;&#8804;&nbsp;<i>r</i>&nbsp;&#8804;&nbsp;8 beschr&auml;nkt ist.

:Im oberen Bild ist der Bereich, in dem solche Kreise (alle mit Mittelpunkt im Koordinatenursprung) liegen k&ouml;nnen, gelb markiert. Weiterhin kann davon ausgegangen werden, dass der Radius in diesem Intervall gleichverteilt ist:
:$$\it f_r(r)=\left\{ \begin{array}{*{4}{c}} 0.5 & \rm f\ddot{u}r\hspace{0.2cm}{\rm 6\le \it r \le \rm 8}, \\\rm 0 & \rm sonst. \end{array} \right.$$

:Ab der Teilaufgabe (e) werden schmale Kreisringe mit dem Mittelradius <i>r</i> und der Breite <i>b</i> betrachtet (unteres Bild). Die Fl&auml;che eines solchen Kreisrings wird mit <i>R</i> bezeichnet. Die m&ouml;glichen Mittelradien <i>r</i> seien wieder gleichverteilt zwischen 6 und 8, und die Kreisringbreite beträgt <i>b</i> = 0.1.

:&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;

:<b>Hinweis:</b> Die Aufgabe bezieht sich auf die Theorieseite Transformation von Zufallsgr&ouml;&szlig;en im Kapitel 3.6.


===Fragebogen===

<quiz display=simple>
{Geben Sie die Transformationskennlinie <i>A</i> = <i>g</i>(<i>r</i>) analytisch an. Wie gro&szlig; ist der Minimalwert der Zufallsgr&ouml;&szlig;e <i>A</i>?
|type="{}"}
$A_\text{min}$ = { 113.09 3% }


{Wie gro&szlig; ist der Maximalwert der Zufallsgr&ouml;&szlig;e <i>A</i>?
|type="{}"}
$A_\text{max}$ = { 201.06 3% }


{Welcher Wert <i>m</i><sub>A</sub> = <i>E</i>[<i>A</i>] ergibt sich f&uuml;r die &bdquo;mittlere&rdquo; Kreisfl&auml;che?
|type="{}"}
$m_A$ = { 154.98 3% }


{Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion der Zufallsgr&ouml;&szlig;e <i>A</i>. Wie gro&szlig; ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Fl&auml;che <i>A</i> gr&ouml;&szlig;er als 150 ist?
|type="{}"}
$Pr(A > 150)$ = { 0.545 3% }


{Welche WDF besitzt die Zufallsgr&ouml;&szlig;e <i>R</i> (Fl&auml;che der Kreisringe gemäß der unteren Skizze)? Wie groß ist deren Minimalwert? Es gelte <i>b</i> = 0.1.
|type="{}"}
$b=0.1:\ R_\text{min}$ = { 3.77 3% }


{Welchen Maximalwert besitzt die Zufallsgr&ouml;&szlig;e <i>R</i>?
|type="{}"}
$b=0.1:\ R_\text{max}$ = { 5.03 3% }


{Wie groß ist der Erwartungswert der Zufallsgröße <i>R</i>?
|type="{}"}
$b=0.1:\ E[R]$ = { 4.4 3% }


</quiz>

===Musterlösung===
{{ML-Kopf}}
:<b>1.</b>&nbsp;&nbsp;Die Gleichung der Kreisfl&auml;che ist gleichzeitig die Transformationskennlinie: <i>A</i> = &pi; &middot; <i>r</i><sup>2</sup>. Daraus ergibt sich mit <i>r</i> = 6 f&uuml;r den Minimalwert: &nbsp; <i>A</i><sub>min</sub> <u>= 113.09</u>.

:<b>2.</b>&nbsp;&nbsp;Entsprechend gilt mit <i>r</i> = 8 f&uuml;r den Maximalwert:
:&nbsp; <i>A</i><sub>max</sub> <u>= 201.06</u>.

:<b>3.</b>&nbsp;&nbsp;Am einfachsten l&ouml;st man diese Aufgabe wie folgt:
:$$m_{A}=\rm E[\it A]=\rm E[\it g(r)]=\int\limits_{\rm -\infty}^{\rm +\infty}g(r)\cdot f_r(r)dr.$$

:Mit <i>g</i>(<i>r</i>) = &pi; &middot; <i>r</i><sup>2 </sup>und <i>f<sub>r</sub></i>(<i>r</i>)  = 1/2 im Bereich von 6 ... 8 erh&auml;lt man:
:$$m_{A}=\int_{\rm 6}^{\rm 8}\frac{\rm 1}{\rm 2}\cdot\pi\cdot r^{\rm 2}\, \rm d \it r=\frac{\pi}{\rm 6}\cdot(\rm 8^3-6^3)
\hspace{0.15cm}\underline{=\rm 154.98}.$$

:<b>4.</b>&nbsp;&nbsp;Die WDF der transformierten Zufallsgr&ouml;&szlig;e <i>A</i> lautet:
:$$f_A(A)=\frac{f_r(r)}{|g'(r)|}\Bigg|_{r=h(y) = \sqrt{A/ \pi }}.$$

:Im Bereich zwischen 113.09 und 201.06 (siehe Teilaufgaben a und b) gilt dann:
:$$f_A(A)=\frac{\rm 1/2}{\rm 2\cdot \pi\cdot\it r}\Bigg|_{\it r=\sqrt{\it A/\rm \pi}}=\frac{\rm 1}{\rm 4\cdot\sqrt{\it A\cdot\rm \pi}}.$$

:Die gesuchte Wahrscheinlichkeit erh&auml;lt man durch Integration: 
:$$\rm Pr(\it A> \rm 150)=\int_{\rm 150}^{\it A_{\rm max}}\frac{\rm 1}{\rm 4\cdot\sqrt{\it A\cdot\rm \pi}} \; \rm d \it A= \frac{\rm 2\cdot\sqrt{\it A}}{\rm 4\cdot\sqrt{\pi}}\Big|_{\rm 150}^{\it A_{\rm max}}.$$

:Die obere Integrationsgrenze liefert den Wert 4 und die untere Grenze 3.455. Daraus ergibt sich die gesuchte Wahrscheinlichkeit zu <u>0.545</u>.

:<b>5.</b>&nbsp;&nbsp;F&uuml;r die Kreisringfl&auml;che <i>R</i> gilt bei gegebenem Radius <i>r</i>:
:$$R=\left (r+{b}/{\rm 2} \right)^{\rm 2}\cdot \rm\pi-\left (r-{\it b}/{\rm 2} \right)^{\rm 2}\cdot \rm\pi= \rm2\cdot\pi\cdot\it r \cdot b.$$

:Zwischen <i>R</i> und <i>r</i> besteht also ein linearer Zusammenhang. &nbsp;&#8658;&nbsp; <i>R</i> ist ebenfalls gleichverteilt und zwar unabh&auml;ngig von der Breite <i>b</i>, solange <i>b</i> sehr viel kleiner als <i>r</i> ist. F&uuml;r den Minimalwert gilt:
:$$R_{\rm min}=\rm 2\pi\cdot 6\cdot 0.1\hspace{0.15cm}\underline{\approx3.77}. $$

:<b>6.</b>&nbsp;&nbsp;Entsprechend ist der Maximalwert:
:$$R_{\rm max}=\rm 2\pi\cdot 8\cdot 0.1\hspace{0.15cm}\underline{\approx 5.03}.$$

:<b>7.</b>&nbsp;&nbsp;Aufgrund des linearen Zusammenhangs zwischen der Kreisringfl&auml;che <i>R</i> und des Radius <i>r</i> führt der mittlere Radius <i>r</i> = 7 auch zur mittleren Kreisringfl&auml;che:
:$$\rm E[R]=\rm 2\pi\cdot 7\cdot 0.1\hspace{0.15cm}\underline{\approx 4.4}.$$

{{ML-Fuß}}



[[Category:Aufgaben zu Stochastische Signaltheorie|^3.6 Exponentialverteilte Zufallsgrößen^]]