View source for Aufgaben:Exercise 3.2Z: Two-dimensional Probability Mass Function


{{quiz-Header|Buchseite=Informationstheorie und Quellencodierung/Einige Vorbemerkungen zu zweidimensionalen Zufallsgrößen
}}

[[File:P_ID2752__Inf_Z_3_2_neu.png|right|]]
Wir betrachten die Zufallsgrößen

$X$ =  { 0, 1, 2, 3 },

$Y$ = { 0, 1, 2 },

deren gemeinsame Wahrscheinlichkeitsfunktion $P_{X,Y}(X,Y)$ gegeben ist. Aus dieser 2D–Wahrscheinlichkeitsfunktion sollen die eindimensionalen Wahrscheinlichkeitsfunktionen $P_X(X)$ und $P_Y(Y)$ ermittelt werden. Man nennt eine solche manchmal auch Randwahrscheinlichkeit (englisch: Marginal Probability).

Gilt  $P_{X,Y}(X,Y)$ = $P_X(X)$ . $P_Y(Y)$, so sind die beiden Zufallsgrößen X und Y statistisch unabhängig. Andernfalls bestehen statistische Bindungen zwischen $X$ und $Y$.

Im zweiten Teil der Aufgabe betrachten wir die Zufallsgrößen

$U$ = { 0, 1 }, $V$ = { 0, 1 },

die sich aus $X$ und $Y$ durch Modulo–2–Operationen ergeben:

$U$ = $X$ mod 2,   $V$ = $Y$ mod 2.

'''Hinweis:''' Die Aufgabe gehört zum Themengebiet von [http://en.lntwww.de/Informationstheorie_und_Quellencodierung/Einige_Vorbemerkungen_zu_zweidimensionalen_Zufallsgrößen  Kapitel 3.1]. Ausgegangen wird hier von der gleichen Konstellation wie in [http://en.lntwww.de/Aufgaben:3.02_Erwartungswertberechnungen Aufgabe 3.02]. Dort wurde die Zufallsgrößen  $Y$ = { 0, 1, 2, 3 }  betrachtet, allerdings mit dem Zusatz $Pr(Y = 3)$ = 0. Die so erzwungene Eigenschaft $|X| = |Y|$   war in Aufgabe   [http://en.lntwww.de/Aufgaben:3.02_Erwartungswertberechnungen Aufgabe 3.02] zur formalen Berechnung des Erwartungswertes $E[P_X(X)]$ von Vorteil.
 






===Fragebogen===

<quiz display=simple>

{Wie lautet die Wahrscheinlichkeitsfunktion $P_X(X)$ ?
|type="{}"}
$P_X(0)$ = { 0.5 3% }
$P_X(1)$ = { 0.125 3% }
$P_X(2)$ = { 0 3% }
$P_X(3)$ = { 0.375 3% }

{Wie lautet die Wahrscheinlichkeitsfunktion $P_Y(Y)$ ?
|type="{}"}
$P_Y(0)$ = { 0.5 3% }
$P_Y(1)$ = { 0.25 3% }
$P_Y(2)$ = { 0.25 3% }

{Sind die Zufallsgrößen $X$ und $Y$ statistisch unabhängig
|type="[]"}
+ Falsch
- Richtig


{Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeiten $P_{UV}( U, V)$.
|type="{}"}
$P_{UV}( U = 0, V = 0)$  = { 0.375 3% }
$P_{UV}( U = 0, V = 1)$ =  { 0.375  3% }
$P_{UV}( U = 1, V = 0)$ =  { 0.125 3% }
$P_{UV}( U =1, V = 1)$ =  { 0.125 3% }

{Sind die Zufallsgrößen $U$ und $V$ statistisch unabhängig
|type="[]"}
-  Falsch
+ Richtig



</quiz>

===Musterlösung===
{{ML-Kopf}}
'''1.''' Man kommt von  $P_{XY}(X,Y)$ zur 1D–Wahrscheinlichkeitsfunktion $P_X(X)$ ,indem man alle $Y$-Wahrscheinlichkeiten aufsummiert:

$$P_X(X = x_{\mu}) = \sum_{y \hspace{0.05cm} \in \hspace{0.05cm} Y} \hspace{0.1cm} P_{XY}(x_{\mu}, y)$$


$$\Rightarrow   P_X(X = 0) = 1/4+1/8+1/8 = 1/2 = 0.500$$

$$P_X(X = 1)= 0+0+1/8 =  1/8 =0.125$$

$$P_X(X = 2) =  0+0+0 = 0$$

$$P_X(X = 3) = 1/4+1/8+0=3/8 =0.375$$

$$\Rightarrow   P_X(X) = [ 1/2, 1/8 , 0 , 3/8 ]$$

'''2.''' Analog zur Teilaufgabe (a) gilt nun: 

$$P_Y(Y = y_{\kappa}) = \sum_{x \hspace{0.05cm} \in \hspace{0.05cm} X} \hspace{0.1cm} P_{XY}(x, y_{\kappa})$$

$\Rightarrow   P_Y(Y= 0) = 1/4+0+0+1/4 = 1/2 = 0.500$

$P_Y(Y = 1) = 1/8+0+0+1/8 = 1/4 = 0.250$

$P_Y(Y = 2) = 1/8+1/8+0+0 = 1/4 = 0.250$

$\Rightarrow   P_Y(Y= 0) = [ 1/2, 1/4 , 1/4 ]$




'''3.'''
'''4.'''
'''5.'''
'''6.'''
'''7.'''
{{ML-Fuß}}



[[Category:Aufgaben zu Informationstheorie|^3.1 Einige Vorbemerkungen zu zweidimensionalen Zufallsgrößen^]]