View source for Applets:Das Gram-Schmidt-Verfahren

{{LntAppletLink|gram-schmidt}}
 
==Programmbeschreibung==
<br>
Das Applet verdeutlicht das Gram&ndash;Schmidt&ndash;Verfahren. Dieses ermöglicht, eine Menge&nbsp; $\{s_1(t), \hspace{0.05cm}  \text{...} \hspace{0.05cm} , s_M(t)\}$&nbsp; energiebegrenzter Signale mit Hilfe von &nbsp; $N \le M$&nbsp;  orthonormalen Basisfunktionen &nbsp; $\varphi_1(t),  \hspace{0.05cm} \text{...} \hspace{0.05cm} , \varphi_N(t)$&nbsp; in folgender Form  darzustellen:

:$$s_i(t) = \sum\limits_{j = 1}^{N}s_{ij} \cdot \varphi_j(t) ,
\hspace{0.3cm}i = 1,\hspace{0.05cm} \text{...}\hspace{0.1cm} , M, \hspace{0.3cm}j = 1,\hspace{0.05cm} \text{...} \hspace{0.1cm}, N
\hspace{0.05cm}.$$

Der vektorielle Repräsentant der Musterfunktion&nbsp; $s_1(t)$&nbsp; lautet dann:
$$\mathbf{s}_i = \big( s_{i1}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm}s_{i2}\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} \text{...}\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} s_{iN} \big ).$$

Das Applet zeigt alle Grafiken, die zum Verständnis des Gram&ndash;Schmidt&ndash;Verfahrens erforderlich sind, und als jeweiliges Ergebnis
* die 2D&ndash;Darstellung der&nbsp; $M$&nbsp; vektoriellen Repräsentanten, falls&nbsp; $N=2$,
* die 3D&ndash;Darstellung der&nbsp; $M$&nbsp; vektoriellen Repräsentanten, falls&nbsp; $N=3$. 
 
==Theoretischer Hintergrund==

=== Signaldarstellung mit orthonormalen Basisfunktionen ===

Wir gehen von einer Menge &nbsp;$\{s_i(t)\}$&nbsp; möglicher Sendesignale aus, die den möglichen Nachrichten &nbsp;$m_i$&nbsp; eineindeutig zugeordnet sind. Mit &nbsp;$i = 1$, ... , $M$&nbsp; gelte:
:$$m \in \{m_i \}, \hspace{0.2cm} s(t) \in \{s_i(t) \}\hspace{-0.1cm}: \hspace{0.3cm} m = m_i  \hspace{0.1cm} \Leftrightarrow \hspace{0.1cm} s(t) = s_i(t) \hspace{0.05cm}.$$

Für das Folgende setzen wir weiter voraus, dass die&nbsp; $M$ Signale&nbsp; $s_i(t)$&nbsp; [[Signal_Representation/Signal_classification#Energiebegrenzte_und_leistungsbegrenzte_Signale| energiebegrenzt]]&nbsp; sind, was meist gleichzeitig bedeutet, dass sie nur von endlicher Dauer sind.

{{BlaueBox|TEXT=  
$\text{Satz:}$&nbsp; Eine jede Menge&nbsp; $\{s_1(t), \hspace{0.05cm}  \text{...} \hspace{0.05cm} , s_M(t)\}$&nbsp; energiebegrenzter Signale lässt sich in&nbsp; $N \le M$&nbsp;  '''orthonormale Basisfunktionen'''&nbsp; $\varphi_1(t),  \hspace{0.05cm} \text{...} \hspace{0.05cm} , \varphi_N(t)$&nbsp; entwickeln.&nbsp; Es gilt:

:$$s_i(t) = \sum\limits_{j = 1}^{N}s_{ij} \cdot \varphi_j(t) ,
\hspace{0.3cm}i = 1,\hspace{0.05cm} \text{...}\hspace{0.1cm} , M, \hspace{0.3cm}j = 1,\hspace{0.05cm} \text{...} \hspace{0.1cm}, N
\hspace{0.05cm}.$$

Jeweils zwei Basisfunktionen&nbsp; $\varphi_j(t)$&nbsp; und &nbsp;$\varphi_k(t)$&nbsp; müssen orthonormal zueinander sein, das heißt, dass gelten muss &nbsp;$(\delta_{jk}$&nbsp; nennt man das [https://de.wikipedia.org/wiki/Kronecker-Delta Kronecker&ndash;Symbol]$)$:

:$$<\hspace{-0.1cm}\varphi_j(t), \hspace{0.05cm}\varphi_k(t) \hspace{-0.1cm}> = \int_{-\infty}^{+\infty}\varphi_j(t) \cdot \varphi_k(t)\,d \it t = {\rm \delta}_{jk} =
\left\{ \begin{array}{c} 1 \\
 0  \end{array} \right.\quad
\begin{array}{*{1}c} {\rm falls}\hspace{0.4cm}j = k\hspace{0.1cm}
\\ {\rm falls}\hspace{0.4cm} j \ne k \hspace{0.1cm}\\ \end{array}
 \hspace{0.05cm}.$$}}<br>

Der Parameter&nbsp; $N$&nbsp; gibt dabei an, wieviele Basisfunktionen&nbsp; $\varphi_j(t)$&nbsp; benötigt werden, um die&nbsp; $M$&nbsp; möglichen Sendesignale darzustellen.&nbsp; Mit anderen Worten: &nbsp; $N$&nbsp; ist die ''Dimension des Vektorraums'', der von den&nbsp; $M$&nbsp; Signalen aufgespannt wird.&nbsp; Dabei gilt:
*Ist&nbsp; $N = M$, so sind alle Sendesignale zueinander orthogonal.&nbsp; Sie sind nicht notwendigerweise orthonormal, das heißt, die Energien&nbsp; $E_i = \ <\hspace{-0.01cm}s_i(t), \hspace{0.05cm}s_i(t) \hspace{-0.01cm}>$&nbsp; können durchaus ungleich Eins sein.<br>
*Der Fall&nbsp; $N < M$&nbsp; ergibt sich, wenn mindestens ein Signal&nbsp; $s_i(t)$&nbsp; als Linearkombination von Basisfunktionen&nbsp; $\varphi_j(t)$&nbsp; dargestellt werden kann, die sich bereits aus anderen Signalen&nbsp; $s_j(t) \ne s_i(t)$&nbsp; ergeben haben.<br>


[[File:P ID1993 Dig T 4 1 S2 version1.png|right|frame|Darstellung der drei Sendesignale durch zwei Basisfunktionen|class=fit]]
{{GraueBox|TEXT=  
$\text{Beispiel 1:}$&nbsp; Wir betrachten&nbsp; $M = 3$&nbsp; energiebegrenzte Signale gemäß der Grafik. 

Man erkennt sofort: 
*Die Signale&nbsp; $s_1(t)$&nbsp;  und &nbsp;$s_2(t)$&nbsp; sind zueinander orthogonal.<br>

*Die Energien sind&nbsp; $E_1 = A^2 \cdot T = E$&nbsp; und &nbsp;$E_2 = (A/2)^2 \cdot T = E/4$.<br>

*Die Basisfunktionen&nbsp; $\varphi_1(t)$&nbsp; und &nbsp;$\varphi_2(t)$&nbsp; sind jeweils formgleich mit&nbsp; $s_1(t)$&nbsp;  bzw.&nbsp;  $s_2(t)$. 
*Beide Signale besitzen jeweils die Energie "Eins":

:$$\varphi_1(t)=\frac{s_1(t)}{\sqrt{E_1} } = \frac{s_1(t)}{\sqrt{A^2 \cdot T} } = \frac{1}{\sqrt{ T} }  \cdot \frac{s_1(t)}{A}$$
:$$\hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.1cm}s_1(t) = s_{11} \cdot \varphi_1(t)\hspace{0.05cm},\hspace{0.1cm}s_{11} = \sqrt{E}\hspace{0.05cm},$$
:$$\varphi_2(t) =\frac{s_2(t)}{\sqrt{E_2} } = \frac{s_2(t)}{\sqrt{(A/2)^2 \cdot T} } = \frac{1}{\sqrt{ T} }  \cdot \frac{s_2(t)}{A/2}\hspace{0.05cm}$$
:$$\hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.1cm}s_2(t) = s_{21} \cdot \varphi_2(t)\hspace{0.05cm},\hspace{0.1cm}s_{21} = {\sqrt{E} }/{2}\hspace{0.05cm}.$$

*Das Signal&nbsp; $s_3(t)$&nbsp; kann durch die vorher bestimmten Basisfunktionen&nbsp; $\varphi_1(t)$&nbsp; und &nbsp;$\varphi_2(t)$&nbsp; ausgedrückt werden:
:$$s_3(t) =s_{31} \cdot \varphi_1(t) + s_{32} \cdot \varphi_2(t)\hspace{0.05cm},$$
:$$\hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.1cm}
s_{31} = {A}/{2} \cdot \sqrt {T}=  {\sqrt{E} }/{2}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}s_{32} = - A \cdot \sqrt {T} = -\sqrt{E}   \hspace{0.05cm}.$$

Trotz&nbsp; $M=3$&nbsp; gilt also im vorliegenen Fall nur&nbsp; $N=2$. 

Im rechten unteren Bild sind die Signale in einer 2D&ndash;Darstellung mit den Basisfunktionen&nbsp; $\varphi_1(t)$&nbsp; und &nbsp;$\varphi_2(t)$&nbsp;  als Achsen dargestellt, wobei&nbsp; $E = A^2 \cdot T$&nbsp; gilt und der Zusammenhang zu den anderen Grafiken durch die Farbgebung zu erkennen ist. 

Die vektoriellen Repräsentanten der Signale&nbsp; $s_1(t)$,&nbsp; $s_2(t)$&nbsp; und&nbsp; $s_3(t)$&nbsp; in diesem zweidimensionellen Vektorraum lassen sich daraus wie folgt ablesen:
:$$\mathbf{s}_1 = (\sqrt{ E}, \hspace{0.1cm}0), \hspace{0.5cm}
\mathbf{s}_2 = (0, \hspace{0.1cm}\sqrt{ E}/2), \hspace{0.5cm} \mathbf{s}_3 = (\sqrt{ E}/2,\hspace{0.1cm}-\sqrt{ E} )    \hspace{0.05cm}.$$}}
<br clear= all>

=== Das Verfahren nach Gram-Schmidt===

Im letzten &nbsp;$\text{Beispiel}$&nbsp; war die Bestimmung der beiden orthonormalen Basisfunktionen&nbsp; $\varphi_1(t)$&nbsp; und&nbsp; $\varphi_2(t)$&nbsp; sehr einfach, da diese formgleich mit&nbsp; $s_1(t)$&nbsp;  bzw.&nbsp;  $s_2(t)$&nbsp; waren. Das&nbsp; [https://de.wikipedia.org/wiki/Gram-Schmidtsches_Orthogonalisierungsverfahren Gram&ndash;Schmidt&ndash;Verfahren]&nbsp; findet die Basisfunktionen&nbsp; $\varphi_1(t)$, ... , $\varphi_N(t)$&nbsp;  für beliebig vorgebbare Signale&nbsp; $s_1(t)$, ... , $s_M(t)$, und zwar wie folgt:

*Die erste Basisfunktion&nbsp; $\varphi_1(t)$&nbsp; ist stets formgleich mit&nbsp; $s_1(t)$. Es gilt:
:$$\varphi_1(t) = \frac{s_1(t)}{\sqrt{E_1}} = \frac{s_1(t)}{|| s_1(t)||}
\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} || \varphi_1(t) || = 1, \hspace{0.2cm}s_{11} =|| s_1(t)||,\hspace{0.2cm}s_{1j} = 0 \hspace{0.2cm}{\rm f{\rm \ddot{u}r }}\hspace{0.2cm} j \ge 2
\hspace{0.05cm}.$$

{{BlaueBox|TEXT=  
$\text{Hinweise zur Nomenklatur:}$&nbsp; 

'''(1)'''&nbsp; Ausgehend von zwei reellen und energiebegrenzten Zeitfunktionen &nbsp;$x(t)$&nbsp; und &nbsp;$y(t)$&nbsp; erhält man für das &nbsp;[https://de.wikipedia.org/wiki/Inneres_Produkt innere Produkt] allgemein:
:$$<\hspace{-0.01cm}x(t), \hspace{0.05cm}y(t) \hspace{-0.01cm}> \hspace{0.15cm}= \int_{-\infty}^{+\infty}x(t) \cdot y(t)\,d \it t
 \hspace{0.05cm}.$$

'''(2)'''&nbsp; Daraus ergibt sich die&nbsp; [https://de.wikipedia.org/wiki/Euklidische_Norm Euklidische Norm]&nbsp; der Zeitfunktion $s_1(t)$:
:$$\vert \vert s_1(t) \vert \vert = \sqrt{<\hspace{-0.01cm}s_1(t), \hspace{0.15cm}s_1(t) \hspace{-0.01cm}>} $$}}


Es wird nun angenommen, dass aus den Signalen&nbsp; $s_1(t)$, ... , $s_{k-1}(t)$&nbsp; bereits die Basisfunktionen&nbsp; $\varphi_1(t)$, ... , $\varphi_{n-1}(t)$&nbsp; berechnet wurden &nbsp;$(n \le k)$. 

*Dann berechnen wir mittels der nächsten Funktion&nbsp; $s_k(t)$&nbsp; die Hilfsfunktion
:$$\theta_k(t) = s_k(t) - \sum\limits_{j = 1}^{n-1}s_{kj} \cdot \varphi_j(t) \hspace{0.4cm}{\rm mit}\hspace{0.4cm}
s_{kj} = \hspace{0.01cm} < \hspace{-0.1cm} s_k(t), \hspace{0.05cm}\varphi_j(t) \hspace{-0.01cm} >, \hspace{0.2cm} j = 1, \hspace{0.05cm} \text{...}\hspace{0.05cm}, n-1\hspace{0.05cm}.$$

*Hat diese Hilfsfunktion die Norm  &nbsp; $||\theta_k(t)|| = 0$, so liefert&nbsp; $s_k(t)$&nbsp; keine neue Basisfunktion.&nbsp; Vielmehr lässt sich dann&nbsp; $s_k(t)$&nbsp; durch die&nbsp; $n-1$&nbsp; bereits vorher gefundenen Basisfunktionen &nbsp;$\varphi_1(t)$, ... , $\varphi_{n-1}(t)$&nbsp;  ausdrücken:
:$$s_k(t) = \sum\limits_{j = 1}^{n-1}s_{kj}\cdot \varphi_j(t)  \hspace{0.05cm}.$$

*Eine neue Basisfunktion&nbsp; (nämlich die &nbsp;$n$&ndash;te)&nbsp; ergibt sich nur für den Fall&nbsp; $||\theta_k(t)|| \ne 0$:

:$$\varphi_n(t) =  \frac{\theta_k(t)}{|| \theta_k(t)||}
\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} || \varphi_n(t) || = 1\hspace{0.05cm}.$$

Diese Prozedur wird solange fortgesetzt, bis alle&nbsp; $M$&nbsp; Signale berücksichtigt wurden. 
*Danach hat man alle&nbsp; $N \le M$&nbsp; orthonormalen Basisfunktionen&nbsp; $\varphi_j(t)$&nbsp; gefunden. 
*Der Sonderfall&nbsp; $N = M$&nbsp; ergibt sich nur dann, wenn alle&nbsp; $M$&nbsp; Signale linear voneinander unabhängig sind.<br>


{{GraueBox|TEXT=  
$\text{Beispiel 2:}$&nbsp; Wir betrachten die &nbsp;$M = 4$&nbsp; energiebegrenzten Signale &nbsp;$s_1(t)$, ... , $s_4(t)$&nbsp; entsprechend der Grafik. Zur Vereinfachung der Berechnungen sind hier sowohl die Amplituden als auch die Zeit normiert. 

[[File:Dig_T_4_1_S3_neu.png|center|frame|Zum Gram-Schmidt-Verfahren|class=fit]]

Man erkennt aus diesen Skizzen: 
*Die Basisfunktion&nbsp; $\varphi_1(t)$&nbsp; ist formgleich mit&nbsp; $s_1(t)$.&nbsp; Wegen&nbsp; $E_1 = \vert \vert s_1(t) \vert \vert ^2 = 3 \cdot 0.5^2 = 0.75$&nbsp; ergibt sich&nbsp; $s_{11} = \vert \vert s_1(t) \vert \vert = 0.866$.&nbsp; $\varphi_1(t)$&nbsp; selbst besitzt abschnittsweise die Werte&nbsp; $\pm 0.5/0.866 = \pm0.577$.

*Zur Berechnung der Hilfsfunktion&nbsp; $\theta_2(t)$&nbsp; berechnen wir

:$$s_{21}  = \hspace{0.1cm} < \hspace{-0.01cm} s_2(t), \hspace{0.05cm}\varphi_1(t) \hspace{-0.1cm} > \hspace{0.01cm} = 0 \cdot (+0.577) + 1 \cdot (-0.577)+ 0 \cdot (-0.577)= -0.577$$
:$$ \Rightarrow   \hspace{0.3cm}\theta_2(t) = s_2(t) - s_{21} \cdot \varphi_1(t) = (0.333, \hspace{0.15cm} 0.667, \hspace{0.15cm} -0.333)
 \hspace{0.3cm}\Rightarrow  \hspace{0.3cm}\vert \vert \theta_2(t) \vert \vert^2 = (1/3)^2 + (2/3)^2 + (-1/3)^2 = 0.667$$
:$$ \Rightarrow   \hspace{0.3cm} s_{22} = \sqrt{0.667} = 0.816,\hspace{0.3cm}
\varphi_2(t) = \theta_2(t)/s_{22} = (0.408, \hspace{0.15cm} 0.816, \hspace{0.15cm} -0.408)\hspace{0.05cm}. $$

*Die inneren Produkte zwischen&nbsp; $s_1(t)$&nbsp; mit&nbsp; $\varphi_1(t)$&nbsp; bzw. &nbsp;$\varphi_2(t)$&nbsp; liefern folgende Ergebnisse:
:$$s_{31}  \hspace{0.01cm} =  \hspace{0.1cm} < \hspace{-0.1cm} s_3(t), \hspace{0.07cm}\varphi_1(t) \hspace{-0.01cm} > \hspace{0.1cm} = 0.5 \cdot (+0.577) + 0.5 \cdot (-0.577)- 0.5 \cdot (-0.577)= 0.289,$$
:$$s_{32}  \hspace{0.1cm} =  \hspace{0.01cm} < \hspace{-0.1cm} s_3(t), \hspace{0.07cm}\varphi_2(t) \hspace{-0.01cm} > \hspace{0.1cm} = 0.5 \cdot (+0.408) + 0.5 \cdot (+0.816)- 0.5 \cdot (-0.408)= 0.816$$
:$$\Rightarrow  \hspace{0.3cm}\theta_3(t) = s_3(t) - 0.289 \cdot \varphi_1(t)- 0.816 \cdot \varphi_2(t) = 0\hspace{0.05cm}.$$

Das bedeutet: &nbsp; Die grüne Funktion&nbsp; $s_3(t)$&nbsp; liefert keine neue Basisfunktion&nbsp; $\varphi_3(t)$, im Gegensatz zur Funktion&nbsp; $s_4(t)$. Die numerischen Ergebnisse hierfür können der Grafik entnommen werden.}}


===Die verschiedenen Rubriken bei der Auswahl der Programmparameter=== 
Das Programm bietet insgesamt&nbsp; $4 \cdot 6 = 24$&nbsp; Möglichkeiten zur Einstellung der jeweiligen Menge &nbsp;$\{s_i(t)\}$&nbsp; möglicher Sendesignale.&nbsp; Diese&nbsp; $24$&nbsp; Parametersätze sind in vier Rubriken eingeteilt. Die vier Rubriküberschriften treffen den Sachverhalt nicht hundertprozentig und sind deshalb in Hochkommata gesetzt:   

'''(1)'''&nbsp; Rubrik&nbsp; <u>"Basisband"</u> &nbsp; &rArr; &nbsp; gültig für die Einstellungen &nbsp;$\rm (A)$&nbsp; ... &nbsp;$\rm (F)$: 
[[File:Gram_1_version2.png|right|frame|Signalform bei "Basisband"]]
*Jedes Mustersignal&nbsp; $s_i(t)$&nbsp; besteht aus drei Rechteckfunktionen unterschiedlicher Höhen und jeweiliger Dauer&nbsp; $T$.&nbsp;
*Die einzelnen Rechteckhöhen sind Vielfache von&nbsp; $\pm 0.25$&nbsp; und die gesamte Signaldauer ergibt&nbsp; $3T$.
*Mit dem seitlichen Slider kann man das Signal&nbsp; $s_i(t)$&nbsp; um Vielfache von&nbsp; $\pm 0.25$&nbsp; nach oben und unten verschieben. 
*Solche Signale treten zum Beispiel bei der binären oder mehrstufigen&nbsp; [[Digital_Signal_Transmission/Redundanzfreie_Codierung#Quatern.C3.A4rsignal_mit_rc_.3D_0_und_Tern.C3.A4rsignal_mit_rc_.E2.89.88_0|Basisbandübertragung]]&nbsp; auf. 
*Im&nbsp; $\text{Beispiel 2}$&nbsp; des hier angegebenen Links erkennt man zum Beispiel die grafischen Darstellungen
:* eines binären Signals&nbsp; $q(t)$,
:* eines ternären Signals&nbsp; $s_3(t)$,
:* eines quaternären Signals&nbsp; $s_4(t)$. 
<br clear=all>
'''(2)'''&nbsp; Rubrik&nbsp; <u>"''M''&ndash;ASK / BPSK"</u>&nbsp; &rArr; &nbsp; gültig für die Einstellungen &nbsp;$\rm (G)$&nbsp; ... &nbsp;$\rm (L)$:
[[File:Gram_2_version2.png|right|frame|Signalform bei "''M''&ndash;ASK / BPSK"]]
*Die Mustersignale&nbsp; $s_i(t)$&nbsp; haben ebenfalls die Dauer&nbsp; $3T$&nbsp; und sind ähnlich aufgebaut wie bei der Rubrik&nbsp; '''(1)'''.
* Im Unterschied zu&nbsp; '''(1)'''&nbsp; wird jede Rechteckfunktion&nbsp; $($Dauer $T)$&nbsp; durch eine Periode einer Sinusfunktionen ersetzt.
*Der angegebene Zahlenwert gibt hier die Amplitude des sinusförmigen Teilstücks an.
*Bei negativem Vorzeichen wird aus dem "Sinus" die Funktion "Minus&ndash;Sinus".
*Mit dem seitlichen Slider kann man die Amplitude von&nbsp; $s_i(t)$&nbsp; um Vielfache von&nbsp; $\pm 0.25$&nbsp; vergrößern oder verkleinern.
*Solche Signale können zum Beispiel bei der&nbsp;[[Digital_Signal_Transmission/Trägerfrequenzsysteme_mit_kohärenter_Demodulation#M.E2.80.93stufiges_Amplitude_Shift_Keying_.28M.E2.80.93ASK.29|''M''&ndash;ASK]]&nbsp; (mehrstufiges ''Amplitude Shift Keying'')&nbsp; auftreten, ebenso bei&nbsp; [[Digital_Signal_Transmission/Trägerfrequenzsysteme_mit_kohärenter_Demodulation#Binary_Phase_Shift_Keying_.28BPSK.29|BPSK]]&nbsp;(''Binary Phase Shift Keying'').  
<br clear=all>
'''(3)'''&nbsp; Rubrik&nbsp; <u>"Nur eine Frequenz"</u>&nbsp; &rArr; &nbsp; gültig für die Einstellungen &nbsp;$\rm (M)$&nbsp; ... &nbsp;$\rm (R)$:
[[File:Gram_3_version4.png|right|frame|Signalform bei "Nur eine Frequenz"]]
*Alle Mustersignale&nbsp; $s_i(t)$&nbsp; haben die Dauer&nbsp; $T$&nbsp; und sind jeweils Harmonische Schwingungen der Form
:$$s_i(t) = A_i \cdot \cos(2\pi \cdot f_k \cdot t + \phi_i)\hspace{0.3cm}\text{mit}\hspace{0.3cm}f_k=K/T.$$
*Die Eigenschaft "Nur eine Frequenz" bezieht sich auf die einzelnen Mustersignale&nbsp; $s_i(t)$&nbsp; und auf den gesamten Set. 
*Der Parameter&nbsp; $K$&nbsp; gibt die Anzahl der Schwingungen innerhalb der Zeit&nbsp; $T$&nbsp; an und gilt für alle Mustersignale. 
*Die Grafik gilt für:&nbsp; $A_i=0.75, \hspace{0.3cm}f_k= 4/T \hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}K=4, \hspace{0.3cm}\phi_i=- 90^\circ$ &nbsp; &rArr; &nbsp;   '''sinusförmiger Verlauf'''.

*Mit dem Slider lässt sich die Phase von&nbsp; $s_i(t)$&nbsp; um Vielfache von&nbsp; $\pm 22.5^\circ$&nbsp; in beide Richtungen variieren.
*Solche Harmonische haben für alle (analogen und digitalen) Nachrichtensysteme große Bedeutung. 
<br clear=all>
'''(4)'''&nbsp; Rubrik&nbsp; <u>"Mehrere Frequenzen"</u>&nbsp; &rArr; &nbsp; gültig für die Einstellungen &nbsp;$\rm (S)$&nbsp; ... &nbsp;$\rm (X)$:
*Es gelten ähnliche Voraussetzungen wie für die "Rubrik 3", es sind aber nun stets mehrere Frequenzen beteiligt.
*Die Eigenschaft "Mehrere Frequenzen" bezieht sich auf einzelne Mustersignale&nbsp; $s_i(t)$&nbsp; oder auch auf den gesamten Set&nbsp; $\{s_i(t)\}$.
*Möglich sind somit auch Mustersignale der folgenden Form&nbsp; $($mit&nbsp; $k=0$&nbsp; &rArr; &nbsp; $f=f_0 = k/T = 0$&nbsp; &rArr; &nbsp; Gleichsignal$)$:
:$$s_i(t) = 1 \cdot \cos(2\pi \cdot f_0 \cdot t) - 0.5 \cdot \cos(2\pi \cdot f_2 \cdot t)-0.5 \cdot \cos(2\pi \cdot f_3 \cdot t).$$ 
*Der Parameter&nbsp; $k$&nbsp; muss auch nicht ganzzahlig sein. Beispielsweise kennzeichnet&nbsp; $k= 4.5$&nbsp; viereinhalb Schwingunen  Schwingungen innerhalb der Zeitdauer&nbsp; $T$.
*Mit dem Slider können die Frequenzkenngrößen&nbsp; $k$&nbsp; um Vielfache von&nbsp; $0.25$&nbsp; vergrößert oder verkleinert werden.
<br clear=all>


<br clear=all>
==Versuchsdurchführung==
<br>
[[File:Gram_13_verion1.png|right|500px]]

*Wählen Sie zunächst die Nummer&nbsp; ('''1''', ...)&nbsp; der zu bearbeitenden Aufgabe.
*Eine Aufgabenbeschreibung wird angezeigt. Die Parameterwerte sind angepasst.
*Lösung nach Drücken von "Musterlösung".


Die Nummer '''0''' entspricht einem "Reset":
*Gleiche Einstellung wie beim Programmstart.
*Ausgabe eines "Reset&ndash;Textes" mit weiteren Erläuterungen zum Applet.


{{BlaueBox|TEXT=
'''(1)'''&nbsp; Es gilt die Einstellung&nbsp; $\rm A$.&nbsp; Interpretieren Sie die ausgegebenen Grafiken.&nbsp; Wählen Sie hierfür "Einzelschritt". }}

::*&nbsp;Einstellung&nbsp; $\rm A$&nbsp; beschreibt das $\text{Beispiel 2}$&nbsp; im Theorieteil. Die Basisfunktion&nbsp; $\varphi_1(t)$&nbsp; ist identisch mit dem Signal&nbsp; $s_1(t)$,&nbsp; aber mit Signalenergie&nbsp; $E=1$. 
::*&nbsp;Es gibt hier nur&nbsp; $N=3$&nbsp; Basisfunktionen, da die Hilfsfunktion&nbsp; $\theta_3(t)$&nbsp; identisch Null ist.  
::*&nbsp;Die vektoriellen Repräsentanten der Signale&nbsp; $s_1(t)$,&nbsp; ... , $s_4(t)$&nbsp; können im 3D&ndash;Vektorraum abgelesen werden;&nbsp; Beispiel:&nbsp; $\mathbf{s}_4 = (-1.444, \hspace{0.15cm} -0.408, \hspace{0.15cm} +0.707)$.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(2)'''&nbsp; Interpretieren Sie die ausgegebenen Grafiken für die Einstellung&nbsp; $\rm B$.&nbsp; Wählen Sie hierfür und bei den weiteren Aufgaben "Gesamtdarstellung". }}

::*&nbsp;Auch hier gibt es&nbsp;  $N=3$&nbsp; Basisfunktionen.&nbsp; Bei Änderung auf&nbsp; $s_4 = (-1, \hspace{0.15cm} -1, \hspace{0.25cm} 0)$&nbsp; nur mehr&nbsp;  $N=2$.  

{{BlaueBox|TEXT=
'''(3)'''&nbsp; Bei der Einstellung&nbsp; $\rm C$&nbsp; ist die Reihenfolge der Signale gegenüber&nbsp; $\rm B$&nbsp; vertauscht.&nbsp; Wie wirkt sich das auf die Basisfunktionen aus?}}

::*&nbsp;Auch hier gibt es&nbsp;  $N=3$&nbsp; Basisfunktionen, aber nun andere:&nbsp; Nämlich&nbsp; $\varphi_1(t) = s_1(t)$,&nbsp; $\varphi_2(t) = s_2(t)$,&nbsp; $\varphi_3(t) = s_3(t)$.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(4)'''&nbsp; Die&nbsp; $M=4$&nbsp; Signale der Einstellung&nbsp; $\rm D$&nbsp; lassen sich durch nur&nbsp;  $N=2$&nbsp; Basisfunktionen ausdrücken?&nbsp; Begründen Sie dieses Ergebnis.}}   

::*&nbsp;Es gilt&nbsp; $s_3(t) = s_1(t)/4 - s_2(t)/2$&nbsp; und&nbsp; $s_4(t) = -s_1(t) - s_2(t)$.&nbsp; Das heißt:&nbsp; $s_3(t)$&nbsp; und&nbsp; $s_4(t)$&nbsp; liefern keine neuen Basisfunktionen.   

{{BlaueBox|TEXT=
'''(5)'''&nbsp; Interpretieren Sie die ausgegebenen Grafiken für die Einstellung&nbsp; $\rm E$&nbsp; im Vergleich zur Einstellung&nbsp; $\rm D$.}}

::*&nbsp;Bei der Einstellung&nbsp; $\rm E$&nbsp; ist die Reihenfolge der Signale gegenüber der Einstellung&nbsp;&nbsp; $\rm D$&nbsp; vertauscht. Ähnlich wie zwischen&nbsp; $\rm B$&nbsp; und&nbsp; $\rm C$.  
::*&nbsp;Auch diese&nbsp; $M=4$&nbsp; Signale lassen sich somit durch nur&nbsp;  $N=2$&nbsp; Basisfunktionen ausdrücken, aber durch andere als in der Aufgabe&nbsp; '''(4)'''. 

{{BlaueBox|TEXT=
'''(6)'''&nbsp; Welches Ergebnis liefern die vier Signale gemäß der Einstellung&nbsp; $\rm F$?}}

::*&nbsp;Die die Signale&nbsp; $s_1(t)$, ... , $s_4(t)$&nbsp; basieren alle auf einer einzigen Basisfunktion &nbsp; $\varphi_1(t)$, die formgleich mit&nbsp; $s_1(t)$&nbsp; ist.&nbsp; Es gilt&nbsp; $N=1$.  
::*&nbsp;Die vektoriellen Repräsentanten der Signale&nbsp; $s_1(t)$,&nbsp; ... , $s_4(t)$&nbsp; sind&nbsp; $\pm 0.866$&nbsp; und&nbsp; $\pm 1.732$.&nbsp; Sie liegen inder 2D&ndash;Darstellung alle auf einer Linie. 

{{BlaueBox|TEXT=
'''(7)'''&nbsp; Es gilt nun die "''M''&ndash;ASK / BPSK"&ndash;Einstellung&nbsp; $\rm G$.&nbsp;  Interpretieren Sie das Ergebnis und versuchen Sie, einen Zusammenhang zu einer früheren Aufgabe herzustellen. }}

::*&nbsp;Vergleicht man die angegebenen Zahlenwerte, so erkennt man, dass eine ähnliche Konstellation betrachtet wird wie bei der "Basisband"&ndash;Einstellung&nbsp; $\rm A$. 
::*&nbsp;Der einzige Unterschied ist, dass nun alle Energien nur halb so groß sind wie vorher.&nbsp; Bezüglich der Amplituden wirkt sich das um den Faktor&nbsp; $\sqrt{2}$&nbsp; aus.
::*&nbsp;Somit ist nun der vektorielle Repräsentant des unteren Signals&nbsp; &nbsp; $\mathbf{s}_4 = (-1.021, \hspace{0.15cm} -0.289, \hspace{0.15cm} +0.500)$&nbsp; anstelle von&nbsp; $\mathbf{s}_4 = (-1.444, \hspace{0.15cm} -0.408, \hspace{0.15cm} +0.707)$.  
::*&nbsp;Bei der Einstellung&nbsp; $\rm H$&nbsp; sind gegenüber&nbsp; $\rm G$&nbsp; alle Amplituden verdoppelt. Somit ergibt sich hier&nbsp; $\mathbf{s}_4 = (-2.041, \hspace{0.15cm} -0.577, \hspace{0.15cm} +1.000)$. 

{{BlaueBox|TEXT=
'''(8)'''&nbsp; Es gelte die "''M''&ndash;ASK / BPSK"&ndash;Einstellung&nbsp; $\rm I$.&nbsp;  Interpretieren Sie das Ergebnis.&nbsp; Versuchen Sie wieder, einen Zusammenhang zu einer früheren Aufgabe herzustellen.}}
::*&nbsp;Hier wird eine ähnliche Konstellation betrachtet wird wie bei der "Basisband"&ndash;Einstellung&nbsp; $\rm C$, aber nun mit nur halb so großen Energien.
::*&nbsp;Somit ist nun der vektorielle Repräsentant des unteren Signals&nbsp; &nbsp; $\mathbf{s}_4 = (+0.707, \hspace{0.15cm} -0.707, \hspace{0.15cm} 0.000)$&nbsp; anstelle von&nbsp; $\mathbf{s}_4 = (+1.000, \hspace{0.15cm} -1.000, \hspace{0.15cm} 0.000)$.
::*&nbsp;Somit ist nun der vektorielle Repräsentant des unteren Signals&nbsp; &nbsp; $\mathbf{s}_4 = (+0.707, \hspace{0.15cm} -0.707, \hspace{0.15cm} 0.000)$&nbsp; anstelle von&nbsp; $\mathbf{s}_4 = (+1.000, \hspace{0.15cm} -1.000, \hspace{0.15cm} 0.000)$.
::*&nbsp;Mit der "''M''&ndash;ASK / BPSK"&ndash;Einstellung&nbsp; $\rm J$&nbsp; wird eine ähnliche Konstellation betrachtet  wie mit der "Basisband"&ndash;Einstellung&nbsp; $\rm D$. Gleiches gilt für&nbsp; $\rm K$&nbsp; und&nbsp; $\rm E$. 

{{BlaueBox|TEXT=
'''(9)'''&nbsp; Es gelte die "''M''&ndash;ASK / BPSK"&ndash;Einstellung&nbsp; $\rm L$.&nbsp;  Interpretieren Sie das Ergebnis.&nbsp; Gibt es einen Zusammenhang zu einer früheren Aufgabe?}}
::*&nbsp;Die Einstellung&nbsp; $\rm L$&nbsp; ist vergleichbar mit der obigen Einstellung&nbsp; $\rm F$.&nbsp; Es gilt&nbsp; $N=1$.&nbsp;Das heißt:
::*&nbsp;Alle&nbsp; $M=4$&nbsp; Signale sind allein durch die Basisfunktion&nbsp; $\varphi_1(t)$&nbsp; darstellbar, die formgleich mit&nbsp; $s_1(t)$&nbsp; ist.  

{{BlaueBox|TEXT=
'''(10)'''&nbsp; Nun gelte die "Nur eine Frequenz"&ndash;Einstellung&nbsp; $\rm M$.&nbsp;  Interpretieren Sie die dargestellten Grafiken. }}

::*&nbsp;Alle Signale&nbsp; $s_i(t)$&nbsp; haben die Amplitude&nbsp; $A_i = 1$&nbsp; und gleiche Frequenz&nbsp; $f=f_1$.&nbsp; Das heißt:&nbsp; Jeweils eine Schwingung innerhalb der Zeit&nbsp; $T$.  
::*&nbsp;Die&nbsp; $M=4$&nbsp; Signale unterscheiden sich nur durch die Phasen&nbsp; $\phi_1 = +45^\circ$,&nbsp; $\phi_2 = +135^\circ$,&nbsp; $\phi_3 = -135^\circ$&nbsp; und&nbsp; $\phi_4 = -45^\circ$.&nbsp; Es gibt&nbsp;  $N=2$&nbsp; Basisfunktionen.   
::*&nbsp;Die Basisfunktion&nbsp; $\varphi_1(t)$&nbsp; ist formgleich mit&nbsp; $s_1(t)$&nbsp; und&nbsp; $\varphi_2(t)$&nbsp; ist  formgleich mit&nbsp; $s_2(t)$.&nbsp; Dies gilt für die meisten Einstellungen der dritten Rubrik.
::*Die vektoriellen Repräsentanten der Signale lauten:&nbsp; $\mathbf{s}_1 = (0.707, \hspace{0.15cm} 0)$,&nbsp;$\mathbf{s}_2 = (0, \hspace{0.15cm} 0.707)$, &nbsp; $\mathbf{s}_3 = (-0.707, \hspace{0.15cm} 0)$,&nbsp; $\mathbf{s}_4 = (0, \hspace{0.15cm} -0.707)$. 

{{BlaueBox|TEXT=
'''(11)'''&nbsp; Welche Unterschiede gibt es mit der Einstellung&nbsp; $\rm N$&nbsp; gegenüber der Einstellung&nbsp; $\rm M$? }}

::*&nbsp;Die vier Mustersignale&nbsp; $s_i(t)$&nbsp; beschreiben nun von oben nach unten einen Cosinus,&nbsp; einen Sinus,&nbsp; einen Minus&ndash;Cosinus&nbsp; und einen Minus&ndash;Sinus.
::*&nbsp;Für die&nbsp;  $N=2$&nbsp; Basisfunktionen gilt:&nbsp; $\varphi_1(t) = \sqrt{2} \cdot \cos(2\pi f_1 t)$, &nbsp;$\varphi_2(t) = \sqrt{2} \cdot\sin(2\pi f_1 t)$.&nbsp; Auch&nbsp; $s_3(t)$&nbsp; und&nbsp; $s_4(t)$&nbsp; lassen sich damit beschreiben.
::*&nbsp;Die vektoriellen Repräsentanten der Signale lauten:&nbsp; $\mathbf{s}_1 = (0.707, \hspace{0.15cm} 0)$,&nbsp;$\mathbf{s}_2 = (0, \hspace{0.15cm} 0.707)$, &nbsp; $\mathbf{s}_3 = (-0.354, \hspace{0.15cm} 0)$,&nbsp; $\mathbf{s}_4 = (0, \hspace{0.15cm} -0.354)$.
::*&nbsp;Dieses Ergebnis berücksichtigt die nur halb so großen Amplituden von&nbsp; $s_3(t)$&nbsp; und&nbsp; $s_4(t)$&nbsp; gegenüber&nbsp; $s_1(t)$&nbsp; und&nbsp; $s_2(t)$. 

{{BlaueBox|TEXT=
'''(12)'''&nbsp; Wie unterscheidet sich die Einstellung&nbsp; $\rm O$&nbsp; von der Einstellung&nbsp; $\rm N$? &nbsp; Analysieren Sie den vektoriellen Repräsentanten für&nbsp; $\mathbf{s}_3$&nbsp; genauer.}}
::*&nbsp;Das Signal&nbsp; $s_2(t)$&nbsp; bei Einstellung&nbsp; $\rm O$&nbsp; ist minus&ndash;sinusförmig &nbsp; &rArr; &nbsp; $\varphi_1(t) = \sqrt{2} \cdot \cos(2\pi f_1 t)$,&nbsp; $\varphi_2(t) = -\sqrt{2} \cdot\sin(2\pi f_1 t)$.
::*&nbsp;Für die Darstellung Harmonischer Schwingungen werden häufig diese Basisfunktionen&nbsp; "Cosinus" und&nbsp; "Minus&ndash;Sinus" verwendet.
::*&nbsp;Außerdem unterscheiden sich die Signale&nbsp; $s_3(t)$&nbsp; und&nbsp; $s_4(t)$&nbsp; durch die halbe Amplitude und die Phsenwerte sind keine Vielfachen von&nbsp;  $90^\circ$.
::*Die vektoriellen Repräsentanten der Signale lauten:&nbsp; $\mathbf{s}_1 = (0.707, \hspace{0.15cm} 0)$,&nbsp;$\mathbf{s}_2 = (0, \hspace{0.15cm} 0.707)$, &nbsp; $\mathbf{s}_3 = (0.612, \hspace{0.15cm} 0.354)$,&nbsp; $\mathbf{s}_4 = (0.354, \hspace{0.15cm} -0.612)$.&nbsp; Überprüfung:
::*$s_3(t) = \cos(2\pi f_1 t + 30^\circ) = \cos(30^\circ) \cdot \cos(2\pi f_1 t)\hspace{-0.05cm} - \hspace{-0.05cm} \sin(30^\circ) \cdot \sin(2\pi f_1 t)=\sqrt{3}/(2\sqrt{2})\cdot \varphi_1(t) +  1/(2\sqrt{2})\cdot \varphi_2(t)= 0.612\cdot \varphi_1(t) +  0.354\cdot \varphi_2(t)$.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(13)'''&nbsp; Wie unterscheidet sich die Einstellung&nbsp; $\rm P$&nbsp; von der Einstellung&nbsp; $\rm O$? &nbsp; Gibt es in der Rubrik "Nur eine Frequenz" eine Einstellung für&nbsp; $N=1$&nbsp;?}}

::*Mit der Einstellung&nbsp; $\rm P$&nbsp; ergeben sich gleiche vektorielle Repräsentanten.&nbsp; Einziger Unterschied zur Einstellung&nbsp; $\rm O$&nbsp; ist die doppelte Frequenz.
::*Das Ergebnis&nbsp; $N=1$&nbsp; ist nur möglich, wenn alle Signale gleiche Frequenz und gleiche Phase besitzen &nbsp; &rArr; &nbsp; Einstellung&nbsp; $\rm R$ &nbsp; $($unterschiedliche Amplituden$)$.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(14)'''&nbsp; Nun gelte die "Mehrere Frequenzen"&ndash;Einstellung&nbsp; $\rm S$.&nbsp;  Interpretieren Sie die dargestellten Grafiken. }}

::*Die vier Signale&nbsp; $s_1(t)$ ... $s_4(t)$&nbsp; weisen nun unterschiedliche Frequenzen auf:&nbsp; $f=0$&nbsp; (Gleichsignal),&nbsp; $f=f_1$,&nbsp; $f=f_2 = 2f_1$,&nbsp; $f=f_3 = 3f_1$.
::*Deshalb ergeben sich hier&nbsp; $N=4$&nbsp; Basisfunktionen&nbsp; $\varphi_i(t)$, die alle formgleich mit den entsprechenden Signalen&nbsp; $s_i(t)$&nbsp; sind.&nbsp; Für&nbsp; $i=1$&nbsp; gilt:&nbsp; $\varphi_1(t)=1$.
::*Die weiteren Basisfunktionen haben wegen der Energienormierung einheitlich die Form&nbsp; $\varphi_i(t)= \sqrt{2}\cdot \cos(2\pi f_i t)$. 

{{BlaueBox|TEXT=
'''(15)'''&nbsp; Wie unterscheidet sich die Einstellung&nbsp; $\rm T$&nbsp; von der Einstellung&nbsp; $\rm S$? &nbsp; Begründen Sie das Ergebnis&nbsp; $N=3$.&nbsp; Interpretieren Sie auch die Grafiken zur Einstellung&nbsp; $\rm U$.}}

::*Die Signale&nbsp; $s_1(t)$ ... $s_3(t)$&nbsp; beinhalten die Frequenzen&nbsp; $f=0$,&nbsp; $f=f_1$&nbsp; und&nbsp; $f=f_2 = 2f_1$.&nbsp; Jedes Signal erzwingt eine eigene Basisfunktion.
::*Die vektoriellen Repräsentanten dieser Signale lauten:&nbsp; $\mathbf{s}_1 = (1, \hspace{0.15cm} 0, \hspace{0.15cm} 0)$,&nbsp;$\mathbf{s}_2 = (0, \hspace{0.15cm} 0.707, \hspace{0.15cm} 0)$, &nbsp; $\mathbf{s}_3 = (0, \hspace{0.15cm} 0,\hspace{0.15cm} 0.707)$.
::*Das vierte Signal ist als Linearkombination darstellbar:&nbsp; $s_4(t)=s_1(t)-0.5 \cdot s_2(t)-0.5 \cdot s_3(t)$&nbsp; &rArr; &nbsp; vektorieller Repräsentant:&nbsp; $\mathbf{s}_1 = (1, \hspace{0.15cm} -0.354, \hspace{0.15cm} 0.354)$. 
::*Die Einstellung&nbsp; $\rm U$&nbsp; ist nur eine zyklische Vertauschung von der Einstellung&nbsp; $\rm T$ &nbsp; &rArr; &nbsp; es genügen ebenfalls&nbsp; $N = 3$&nbsp; Basisfunktionen.
::*Die&nbsp; $N = 3$&nbsp; Basisfunktionen sind aber deutlich komplizierter als bei&nbsp; $\rm T$, weil  "Gram&ndash;Schmidt" signifikant von der Reihenfolge der Mustersignale abhängt.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(16)'''&nbsp; Interpretieren Sie die dargestellten Grafiken für  die Einstellung&nbsp; $\rm V$&nbsp;  und anschließend für  die Einstellung&nbsp; $\rm W$. }}
::*Die ersten drei Signale führen zu je einer cosinusförmigen Basisfunktion mit den Frequenzen $f_2$, $f_3$&nbsp; und  $f_4$.
::*Das letzte Signal ist&nbsp; $s_4(t)= \cos(2\pi f_3 t) \cdot \cos(2\pi f_1 t) = 1/2 \cdot\big [ \cos(2\pi \cdot (f_3 - f_1)\cdot t) + \cos(2\pi \cdot (f_3 + f_1)\cdot t)\big ] = 1/2 \cdot  \big [\cos(2\pi f_2  t) + \cos(2\pi f_4 t)\big ] $.&nbsp; 
::*&nbsp;Der vektorielle Repräsentant des untersten Signals gemäß Einstellung&nbsp; $\rm V$&nbsp; lautet somit:&nbsp; &nbsp; $\mathbf{s}_4 = (0.354, \hspace{0.15cm} 0, \hspace{0.15cm} 0.354)$.  
::*&nbsp;Bei der Einstellung&nbsp; $\rm W$&nbsp; ergeben sich genau die gleichen Basisfunktionen wie bei&nbsp; $\rm W$.  Hier erhält man für das unterste Signal &nbsp; $\mathbf{s}_4 = (0.354, \hspace{0.15cm} 0, \hspace{0.15cm} -0.354)$.
::*Begründung&nbsp; $s_4(t)= \sin(2\pi f_3 t) \cdot \sin(2\pi f_1 t)  = 1/2 \cdot  \big [\cos(2\pi f_2  t) - \cos(2\pi f_4 t)\big ] $.&nbsp; Auch hier liefert die Basisfunktion&nbsp; $\varphi_2(t)$&nbsp; keinen Beitrag.  

{{BlaueBox|TEXT=
'''(17)'''&nbsp; Wie viele Basisfunktionen benötigt man für die vier Signale gemäß der Einstellung&nbsp; $\rm X$? }}
::*Das Ergebnis lautet:&nbsp; $N = 4$.&nbsp; Jedes der vier Signale&nbsp; $\cos(2\pi f_1 t)$,&nbsp; $\sin(2\pi f_1 t)$&nbsp; $\cos(2\pi f_2 t)$, &nbsp; $\sin(2\pi f_2 t)$&nbsp; führt zu einer neuen Basisfunktion.    
 




==Zur Handhabung des Applets==
<br>
[[File:Gram_11_version2.png|left|600px]]
&nbsp; &nbsp; '''(A)''' &nbsp; &nbsp; Auswahl zwischen 24 Parametersätze für&nbsp; $\{s_1(t), \hspace{0.05cm}  \text{...} \hspace{0.05cm} , s_M(t)\}$

&nbsp; &nbsp; '''(B)''' &nbsp; &nbsp; Umschaltung: &nbsp; Einzelschritt &nbsp;/&nbsp; Gesamtdarstellung

&nbsp; &nbsp; '''(C)''' &nbsp; &nbsp; 2D&ndash;&nbsp; bzw.&nbsp; 3D&ndash;Darstellung der vektoriellen Repräsentanten<br>
&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; (siehe rechte Grafik, Koordinatensystem kann gedreht werden) 

&nbsp; &nbsp; '''(D)''' &nbsp; &nbsp; Reset &nbsp;&ndash;&nbsp; Rücksetzung aller Parameter auf Grundeinstellung

&nbsp; &nbsp; '''(E)''' &nbsp; &nbsp; Grafikfeld zur Darstellung der Mustersignale&nbsp; $s_k(t)$ 

&nbsp; &nbsp; '''(F)''' &nbsp; &nbsp; Grafikfeld zur Darstellung der Hilfsfunktionen&nbsp; $\theta_k(t)$ 

&nbsp; &nbsp; '''(G)''' &nbsp; &nbsp; Grafikfeld zur Darstellung der Basisfunktionen&nbsp; $\varphi_k(t)$

&nbsp; &nbsp; '''(H)''' &nbsp; &nbsp; Bereich für die Versuchsdurchführung: &nbsp;  Aufgabenauswahl

[[File:Gram_12_verion1.png|right|300px]]
<br clear=all>
==Über die Autoren==
Dieses interaktive Berechnungstool  wurde am&nbsp; [http://www.lnt.ei.tum.de/startseite Lehrstuhl für Nachrichtentechnik]&nbsp; der&nbsp; [https://www.tum.de/ Technischen Universität München]&nbsp; konzipiert und realisiert. 
*Die erste Version wurde 2008 von&nbsp; [[Biographies_and_Bibliographies/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Martin_V.C3.B6lkl_.28Diplomarbeit_LB_2010.29|Martin Völkl]]&nbsp; im Rahmen seiner Diplomarbeit mit "FlashMX&ndash;Actionscript" erstellt (Betreuer:&nbsp; [[Biographies_and_Bibliographies/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Prof._Dr.-Ing._habil._G.C3.BCnter_S.C3.B6der_.28am_LNT_seit_1974.29|Günter Söder]]). 
* 2020 wurde das Programm  von&nbsp; [[Biographies_and_Bibliographies/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Carolin_Mirschina_.28Ingenieurspraxis_Math_2019.2C_danach_Werkstudentin.29|Carolin Mirschina]]&nbsp; im Rahmen einer Werkstudententätigkeit auf  "HTML5" umgesetzt und neu gestaltet (Betreuer:&nbsp; [[Biographies_and_Bibliographies/Beteiligte_der_Professur_Leitungsgebundene_%C3%9Cbertragungstechnik#Tasn.C3.A1d_Kernetzky.2C_M.Sc._.28bei_L.C3.9CT_seit_2014.29|Tasnád Kernetzky]]).


Die Umsetzung dieses Applets auf HTML 5 wurde durch das Programm&nbsp; [https://www.exzellenz.tum.de/startseite/ EXIni]&nbsp; (Exzellenzinitiative)&nbsp;  der  Technischen Universität München gefördert.&nbsp; Wir bedanken uns.


==Nochmalige Aufrufmöglichkeit des Applets in neuem Fenster==

{{LntAppletLink|gram-schmidt}}