View source for Applets:Physikalisches Signal & Äquivalentes TP-Signal

{{LntAppletLink|physAnLPSignal_en}}

==Programmbeschreibung==
<br>
Dieses Applet zeigt den Zusammenhang zwischen dem physikalischen Bandpass&ndash;Signal $x(t)$ und dem dazugehörigen äquivalenten Tiefpass&ndash;Signal $x_{\rm TP}(t)$. Ausgegangen wird stets von einem Bandpass&ndash;Signal $x(t)$ mit frequenzdiskretem Spektrum $X(f)$:
:$$x(t) = x_{\rm T}(t) + x_{\rm O}(t) + x_{\rm U}(t) = A_{\rm T}\cdot \cos\left(2\pi f_{\rm T}\cdot t- \varphi_{\rm T}\right)+A_{\rm O}\cdot \cos\left(2\pi f_{\rm O}\cdot t- \varphi_{\rm O}\right)+ A_{\rm U}\cdot \cos\left(2\pi f_{\rm U}\cdot t- \varphi_{\rm U}\right). $$
Das physikalische Signal $x(t)$ setzt sich also aus drei [[Signal_Representation/Harmonische_Schwingung|harmonischen Schwingungen]] zusammen, einer Konstellation, die sich zum Beispiel bei der [[Modulation_Methods/Zweiseitenband-Amplitudenmodulation#AM-Signale_und_-Spektren_bei_harmonischem_Eingangssignal|Zweiseitenband-Amplitudenmodulation]] des Nachrichtensignals $x_{\rm N}(t) = A_{\rm N}\cdot \cos\left(2\pi f_{\rm N}\cdot t- \varphi_{\rm N}\right)$ mit dem Trägersignal $x_{\rm T}(t) = A_{\rm T}\cdot \cos\left(2\pi f_{\rm T}\cdot t - \varphi_{\rm T}\right)$ ergibt. Die Nomenklatur ist ebenfalls an diesen Fall angepasst:
* $x_{\rm O}(t)$ bezeichnet das "Obere Seitenband" mit der Amplitude $A_{\rm O}= A_{\rm N}/2$, der Frequenz $f_{\rm O} = f_{\rm T} + f_{\rm N}$ und der Phase $\varphi_{\rm O} = \varphi_{\rm T} + \varphi_{\rm N}$.
*Entsprechend gilt für das "Untere Seitenband" $x_{\rm U}(t)$ mit $f_{\rm U} = f_{\rm T} - f_{\rm N}$, $A_{\rm U}= A_{\rm O}$ und $\varphi_{\rm U} = -\varphi_{\rm O}$.


Das dazugehörige äquivalente Tiefpass&ndash;Signal lautet mit $f_{\rm O}\hspace{0.01cm}' = f_{\rm O}- f_{\rm T} > 0$, &nbsp; $f_{\rm U}\hspace{0.01cm}' = f_{\rm U}- f_{\rm T} < 0$ &nbsp;und &nbsp;$f_{\rm T}\hspace{0.01cm}' =  0$:

:$$x_{\rm TP}(t) = x_\text{TP, T}(t) + x_\text{TP, O}(t) + x_\text{TP, U}(t) = A_{\rm T}\cdot {\rm e}^{-{\rm j} \varphi_{\rm T} } \hspace{0.1cm}+ \hspace{0.1cm} A_{\rm O}\cdot {\rm e}^{-{\rm j} \varphi_{\rm O} } \cdot {\rm e}^{ {\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}2\pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f_{\rm O}\hspace{0.01cm}'\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}t}\hspace{0.1cm}+ \hspace{0.1cm}
A_{\rm U}\cdot {\rm e}^{-{\rm j} \varphi_{\rm U} } \cdot {\rm e}^{ {\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}2\pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f_{\rm U}\hspace{0.01cm}'\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}t} . $$

[[File:Ortskurve_1.png|right|frame|Äquivalentes TP&ndash;Signal zur Zeit $t=0$ bei cosinusförmigem Träger &nbsp; &rArr; &nbsp; $\varphi_{\rm T} = 0$]]
Im Programm dargestellt wird $x_{\rm TP}(t)$ als vektorielle Summe dreier Drehzeiger als violetter Punkt (siehe beispielhafte Grafik für den Startzeitpunkt $t=0$ und cosinusförmigem Träger):

*Der (rote) Zeiger des Trägers $x_\text{TP, T}(t)$ mit der Länge $A_{\rm T}$ und der Nullphasenlage $\varphi_{\rm T} = 0$ liegt in der komplexen Ebene fest. Es gilt also für alle Zeiten $t$: &nbsp; $x_{\rm TP}(t)= A_{\rm T}\cdot {\rm e}^{-{\rm j} \varphi_{\rm T} }$.

*Der (blaue) Zeiger des Oberen Seitenbandes $x_\text{TP, O}(t)$ mit der Länge $A_{\rm O}$ und der Nullphasenlage $\varphi_{\rm O}$ dreht mit der Winkelgeschwindigkeit $2\pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f_{\rm O}\hspace{0.01cm}'$ in mathematisch positiver Richtung (eine Umdrehung in der Zeit $1/f_{\rm O}\hspace{0.01cm}')$.

*Der (grüne) Zeiger des Unteren Seitenbandes $x_{\rm U+}(t)$ mit der Länge $A_{\rm U}$ und der Nullphasenlage $\varphi_{\rm U}$ dreht mit der Winkelgeschwindigkeit $2\pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f_{\rm U}\hspace{0.01cm}'$, wegen $f_{\rm U}\hspace{0.01cm}'<0$ im Uhrzeigersinn (mathematisch negative Richtung).

*Mit $f_{\rm U}\hspace{0.01cm}' = -f_{\rm O}\hspace{0.01cm}'$ drehen der blaue und der grüne Zeiger gleich schnell, aber in unterschiedlichen Richtungen. Gilt zudem $A_{\rm O} = A_{\rm U}$ und $\varphi_{\rm U} = -\varphi_{\rm O}$, so bewegt sich $x_{\rm TP}(t)$ auf einer Geraden mit einer Neigung von $\varphi_{\rm T}$.


''Hinweis:'' &nbsp; Die Grafik gilt für $\varphi_{\rm O} = +30^\circ$. Daraus folgt für den Startzeitpunkt $t=0$ der Winkel des blauen Zeigers (OSB)  gegenüber dem Koordinatensystem: &nbsp; $\phi_{\rm O} = -\varphi_{\rm O} = -30^\circ$. Ebenso folgt aus der Nullphasennlage $\varphi_{\rm U} = -30^\circ$ des unteren Seitenbandes (USB, grüner Zeiger) für den in der komplexen Ebene zu berücksichtigenden Phasenwinkel: &nbsp; $\phi_{\rm U} = +30^\circ$.


Den zeitlichen Verlauf von $x_{\rm TP}(t)$ bezeichnen wir im Folgenden auch als '''Ortskurve'''. Der Zusammenhang zwischen $x_{\rm TP}(t)$ und dem physikalischen Bandpass&ndash;Signal $x(t)$ wird im Abschnitt [[???]] angegeben. Der Zusammenhang zwischen $x_{\rm TP}(t)$ und dem dazugehörigen analytischen Signal $x_+(t)$ lautet:

:$$x_{\rm TP}(t) = x_{\rm +}(t)\cdot {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}2 \pi \cdot f_{\rm T}\cdot \hspace{0.05cm}t},$$
:$$x_{\rm +}(t) = x_{\rm TP}(t)\cdot {\rm e}^{+{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}2 \pi \cdot f_{\rm T}\cdot \hspace{0.05cm}t}.$$


[[Applets:Physical_Signal_%26_Equivalent_Low-pass_Signal|'''Englische Beschreibung''']]

==Theoretischer Hintergrund==
<br>
===Beschreibungsmöglichkeiten von Bandpass-Signalen===
[[File:Zeigerdiagramm_1a.png|right|frame|Bandpass&ndash;Spektrum $X(f)$ |class=fit]]
Wir betrachten hier '''Bandpass-Signale''' $x(t)$ mit der Eigenschaft, dass deren Spektren $X(f)$ nicht im Bereich um die Frequenz $f = 0$ liegen, sondern um eine Trägerfrequenz $f_{\rm T}$. Meist kann auch davon ausgegangen werden, dass die Bandbreite $B \ll f_{\rm T}$ ist.

Die Grafik zeigt ein solches Bandpass&ndash;Spektrum $X(f)$. Unter der Annahme, dass das zugehörige $x(t)$ ein physikalisches Signal und damit reell ist, ergibt sich für die Spektralfunktion $X(f)$ eine Symmetrie bezüglich der Frequenz $f = 0$. Ist $x(t)$ eine gerade Funktion &nbsp; &rArr; &nbsp; $x(-t)=x(+t)$, so ist auch $X(f)$ reell und gerade.


Neben dem physikalischen Signal $x(t)\ \circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\, \ X(f)$ verwendet man zur Beschreibung von Bandpass-Signalen gleichermaßen:
*das analytische Signal $x_+(t)\ \circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\, \ X_+(f)$, siehe Applet [[Applets:Physikalisches_Signal_%26_Analytisches_Signal|Physikalisches Signal & Analytisches Signal]],
*das äquivalente Tiefpass&ndash;Signal $x_{\rm TP}(t)\ \circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\, \ X_{\rm TP}(f)$,  wie im nächsten Unterabschnitt beschrieben.
<br><br>
===Spektralfunktionen des analytischen und des äquivalenten TP&ndash;Signals===

Das zum physikalischen Signal $x(t)$ gehörige '''analytische Signal''' $x_+(t)$ ist diejenige Zeitfunktion, deren Spektrum folgende Eigenschaft erfüllt:
[[File:Ortskurve_2.png|right|frame|Spektralfunktionen $X_+(f)$ und $X_{\rm TP}(f)$ |class=fit]]
:$$X_+(f)=\big[1+{\rm sign}(f)\big] \cdot X(f) = \left\{ {2 \cdot
X(f) \; \hspace{0.2cm}\rm f\ddot{u}r\hspace{0.2cm} {\it f} > 0, \atop {\,\,\,\, \rm 0 \; \hspace{0.9cm}\rm f\ddot{u}r\hspace{0.2cm} {\it f} < 0.} }\right.$$

Die so genannte ''Signumfunktion'' ist dabei für positive Werte von $f$ gleich $+1$ und für negative $f$–Werte gleich $-1$.
*Der (beidseitige) Grenzwert liefert $\sign(0) = 0$.
*Der Index „+” soll deutlich machen, dass $X_+(f)$ nur Anteile bei positiven Frequenzen besitzt.


Aus der Grafik erkennt man die Berechnungsvorschrift für $X_+(f)$: Das tatsächliche BP–Spektrum $X(f)$ wird
*bei den positiven Frequenzen verdoppelt, und
*bei den negativen Frequenzen zu Null gesetzt.


Aufgrund der Unsymmetrie von $X_+(f)$ bezüglich der Frequenz $f = 0$ kann man bereits jetzt schon sagen, dass die Zeitfunktion $x_+(t)$ bis auf einen trivialen Sonderfall $x_+(t)= 0 \ \ \circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\,\ \ X_+(f)= 0$ stets komplex ist.


Zum Spektrum $X_{\rm TP}(f)$ des äquivalenten TP&ndash;Signals kommt man, indem man $X_+(f)$ um die Trägerfrequenz $f_{\rm T}$ nach links verschiebt:
:$$X_{\rm TP}(f)= X_+(f+f_{\rm T}).$$

Im Zeitbereich entspricht diese Operation der Multiplkation von $x_{\rm +}(t)$ mit der komplexen Exponentialfunktion mit negativem Exponenten:
:$$x_{\rm TP}(t) = x_{\rm +}(t)\cdot {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}2 \pi \cdot f_{\rm T}\cdot \hspace{0.05cm}t}.$$  

Man erkennt, dass $x_{\rm TP}(t)$ im Allgemeinen komplexwertig ist. Ist aber $X_+(f)$ symmetrisch um die Trägerfrequenz $f_{\rm T}$, so ist $X_{\rm TP}(f)$ symmetrisch um die Frequenz $f=0$ und es ergibt sich dementsprechend eine reelle Zeitfunktion $x_{\rm TP}(t)$.

===$x_{\rm TP}(t)$&ndash;Darstellung einer Summe aus drei harmonischen Schwingungen===

In unserem Applet setzen wir stets  einen Zeigerverbund aus drei Drehzeigern voraus. Das physikalische Signal lautet:
:$$x(t) = x_{\rm U}(t) + x_{\rm T}(t) + x_{\rm O}(t) = A_{\rm U}\cdot \cos\left(2\pi f_{\rm U}\cdot t- \varphi_{\rm U}\right)+A_{\rm T}\cdot \cos\left(2\pi f_{\rm T}\cdot t- \varphi_{\rm T}\right)+A_{\rm O}\cdot \cos\left(2\pi f_{\rm O}\cdot t- \varphi_{\rm O}\right). $$
* Jede der drei harmonischen Schwingungen harmonischen Schwingungen $x_{\rm T}(t)$, $x_{\rm U}(t)$ und $x_{\rm O}(t)$ wird durch eine Amplitude $(A)$, eine Frequenz $(f)$ und einen Phasenwert $(\varphi)$ charakterisiert.
*Die Indizes sind an das Modulationsverfahren [[Modulation_Methods/Zweiseitenband-Amplitudenmodulation|Zweiseitenband&ndash;Amplitudenmodulation]] angelehnt. "T" steht für "Träger", "U" für "Unteres Seitenband" und "O" für "Oberes Seitenband". Entsprechend gilt stets $f_{\rm U} < f_{\rm T}$ und $f_{\rm O} > f_{\rm T}$. Für die Amplituden und Phasen gibt es keine Einschränkungen.


Das dazugehörige äquivalente Tiefpass&ndash;Signal lautet mit $f_{\rm O}\hspace{0.01cm}' = f_{\rm O}- f_{\rm T} > 0$, &nbsp; $f_{\rm U}\hspace{0.01cm}' = f_{\rm U}- f_{\rm T} < 0$ &nbsp;und &nbsp;$f_{\rm T}\hspace{0.01cm}' =  0$:

:$$x_{\rm TP}(t) = x_\text{TP, T}(t) + x_\text{TP, O}(t) + x_\text{TP, U}(t) = A_{\rm T}\cdot {\rm e}^{-{\rm j} \varphi_{\rm T} } \hspace{0.1cm}+ \hspace{0.1cm} A_{\rm O}\cdot {\rm e}^{-{\rm j} \varphi_{\rm O} } \cdot {\rm e}^{ {\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}2\pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f_{\rm O}\hspace{0.01cm}'\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}t}\hspace{0.1cm}+ \hspace{0.1cm}
A_{\rm U}\cdot {\rm e}^{-{\rm j} \varphi_{\rm U} } \cdot {\rm e}^{ {\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}2\pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f_{\rm U}\hspace{0.01cm}'\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}t} . $$

{{GraueBox|TEXT=
$\text{Beispiel 1:}$&nbsp;
Die hier angegebene Konstellation ergibt sich zum Beispiel bei der [[Modulation_Methods/Zweiseitenband-Amplitudenmodulation#AM-Signale_und_-Spektren_bei_harmonischem_Eingangssignal|Zweiseitenband-Amplitudenmodulation]] des Nachrichtensignals $x_{\rm N}(t) = A_{\rm N}\cdot \cos\left(2\pi f_{\rm N}\cdot t- \varphi_{\rm N}\right)$ mit dem Trägersignal $x_{\rm T}(t) = A_{\rm T}\cdot \cos\left(2\pi f_{\rm T}\cdot t - \varphi_{\rm T}\right)$. Hierauf wird in der Versuchsdurchführung häufiger eingegangen.

[[File:Ortskurve_5.png|center|frame|Spektum $X_{\rm TP}(f)$ des äquivalenten TP&ndash;Signals für verschiedene Phasenkonstellationen |class=fit]]

Bei dieser Betrachtungsweise gibt es einige Einschränkungen bezüglich der Programmparameter:
* Für die Frequenzen gelte stets  $f\hspace{0.05cm}'_{\rm O} =  f_{\rm N}$ und $f\hspace{0.05cm}'_{\rm U} =  -f_{\rm N}$.
*Ohne Verzerrungen sind die Amplitude der Seitenbänder $A_{\rm O}= A_{\rm U}= A_{\rm N}/2$.
*Die jeweiligen Phasenverhältnisse können der Grafik entnommen werden.

}}




===Darstellung des äquivalenten TP&ndash;Signals nach Betrag und Phase===

Das im Allgemeinen komplexwertige äquivalenten TP&ndash;Signal 
:$$x_{\rm TP}(t) = a(t) \cdot {\rm e}^{ {\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \phi(t) }$$
kann entsprechend der hier angegebenen Gleichung in eine Betragsfunktion $a(t)$ und eine Phasenfunktion $\phi(t)$ aufgespalten werden, wobei gilt:
:$$a(t) = \vert x_{\rm TP}(t)\vert = \sqrt{ {\rm Re}^2\big [x_{\rm TP}(t)\big ] + {\rm Im}^2\big [x_{\rm TP}(t)\big ] }\hspace{0.05cm},$$
:$$\phi(t) = \text{arc }x_{\rm TP}(t) = \arctan \frac{{\rm Im}\big [x_{\rm TP}(t)\big ]}{{\rm Re}\big [x_{\rm TP}(t)\big ]}.$$

Der Grund dafür, dass man ein Bandpass&ndash;Signal $x(t)$ meist durch das äquivalente TP&ndash;Signal $x_{\rm TP}(t)$ beschreibt ist, dass die Funktionen $a(t)$ und $\phi(t)$ in beiden Darstellungen interpretierbar sind:
*Der Betrag $a(t)$ des äquivalentes TP&ndash;Signals $x_{\rm TP}(t)$ gibt die (zeitabhängige) Hüllkurve von $x(t)$ an.
*Die Phase $\phi(t)$ von $x_{\rm TP}(t)$ kennzeichnet die Lage der Nulldurchgänge von $x(t)$, wobei gilt:
:&ndash; &nbsp; Bei $\phi(t)>0$ ist der Nulldurchgang früher als seine Solllage &nbsp; &rArr; &nbsp; das Signal ist hier vorlaufend.
:&ndash; &nbsp;Bei $\phi(t)<0$ ist der Nulldurchgang später als seine Solllage &nbsp; &rArr; &nbsp; das Signal ist hier nachlaufend.

{{GraueBox|TEXT=
$\text{Beispiel 2:}$&nbsp;
Die Grafik soll diesen Zusammenhang verdeutlichen, wobei $A_{\rm U} > A_{\rm O}$ vorausgesetzt ist &nbsp; &rArr; &nbsp;  der grüne Zeiger (für das untere Seitenband) ist länger als der blaue Zeiger (oberes Seitenband). Es handelt sich um eine Momentaufnahme zum Zeitpunkt $t_0$:

[[File:Ortskurve_3_neu.png|center|frame|Bandpass&ndash;Spektrum $X(f)$ |class=fit]]

*Bei diesen Systemparametern liegt die Spitze des Zeigerverbundes $x_{\rm TP}(t)$ &ndash; also die geometrisch Summe aus rotem, blauem und grünem Zeiger &ndash; auf einer Ellipse. 
* In der linken Grafik schwarz eingezeichnet ist der Betrag $a(t_0) = \vert x_{\rm TP}(t_0) \vert$ und in brauner Farbe angedeutet ist der Phasenwert $\phi(t_0) = \text{arc }x_{\rm TP}(t_0) > 0.$
*In der rechten Grafik gibt der Betrag $a(t_0) = \vert x_{\rm TP}(t_0) \vert$ des äquivalenten TP&ndash;Signals die Hüllkurve des physikalischen Signals $x(t)$ an.
* Bei $\phi(t) \equiv 0$ würden alle Nulldurchgänge von $x(t)$ in äquidistenten Abständen auftreten. Wegen $\phi(t_0)  > 0$ ist zum Zeitpunkt $t_0$ das Signal vorlaufend, das heißt: Die Nulldurchgänge kommen früher, als es das Raster vorgibt. }}


==Versuchsdurchführung==
[[File:Zeigerdiagramm_aufgabe_2.png|right]]
*Wählen Sie zunächst die Aufgabennummer.
*Eine Aufgabenbeschreibung wird angezeigt.
*Parameterwerte sind angepasst.
*Lösung nach Drücken von "Hide solition".


Mit der Nummer "0" wird auf die gleichen Einstellung wie beim Programmstart zurückgesetzt und es wird ein Text mit weiteren Erläuterungen zum Applet ausgegeben.



Im Folgenden bezeichnet $\rm Grün$ das Untere Seitenband &nbsp; &rArr; &nbsp; $\big (A_{\rm U}, f_{\rm U}, \varphi_{\rm U}\big )$, &nbsp;
$\rm Rot$ den Träger &nbsp; &rArr; &nbsp; $\big (A_{\rm T}, f_{\rm T}, \varphi_{\rm T}\big )$ und
$\rm Blau$ das Obere Seitenband &nbsp; &rArr; &nbsp; $\big (A_{\rm O}, f_{\rm O}, \varphi_{\rm O}\big )$.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(1)''' &nbsp; Es gelte &nbsp; $\text{Rot:} \hspace{0.15cm} A_{\rm T} = 1\ \text{V},  f_{\rm T} = 100 \ \text{kHz},  \varphi_{\rm T} = 0^\circ$, &nbsp;  $\text{Grün:} \hspace{0.15cm} A_{\rm U} = 0.4 \text{V}, \ f_{\rm U} = 80 \ \text{kHz},  \varphi_{\rm U} = -90^\circ$,  &nbsp;   $\text{Blau:} \hspace{0.15cm} A_{\rm O} = 0.4\ \text{V},  f_{\rm O} = 120 \ \text{kHz},  \varphi_{\rm O} = 90^\circ$.

:Betrachten und interpretieren Sie das äquivalente TP&ndash;Signal $x_{\rm TP}(t)$ und das physikalische Signal $x(t)$. Welche Periodendauer $T_0$ erkennt man?}}

::&nbsp;Das äquivalente TP&ndash;Signal $x_{\rm TP}(t)$ nimmt ausgehend von $x_{\rm TP}(t=0)=1\ \text{V}$ auf der reellen Achse Werte zwischen $0.2\ \text{V}$ und $1.8\ \text{V}$ an &nbsp; &rArr; &nbsp; Phase $\phi(t) \equiv 0$.<br>&nbsp;Der Betrag $|x_{\rm TP}(t)|$ gibt die Hüllkurve $a(t)$ des physikalischen Signals $x(t)$ an. Es gilt mit $A_{\rm N} = 0.8\ \text{V}$ und $f_{\rm N} = 20\ \text{kHz}$: &nbsp; $a(t) = A_{\rm T}+ A_{\rm N} \cdot \sin(2\pi\cdot f_{\rm N} \cdot t)$.<br>&nbsp;Sowohl $x_{\rm TP}(t)$ als auch $x(t)$ sind periodisch mit der Periodendauer $T_0 = 1/f_{\rm N} = 50\ \rm &micro; s$.


{{BlaueBox|TEXT=
'''(2)''' &nbsp; Wie ändern sich die Verhältnisse gegenüber '''(1)''' mit $f_{\rm U} = 99 \ \text{kHz}$ und $f_{\rm O} = 101 \ \text{kHz}$&nbsp;? Wie könnte $x(t)$ entstanden sein?}}

::&nbsp;Für die Hüllkurve $a(t)$ des Signals $x(t)$ gilt weiterhin $a(t) = A_{\rm T}+ A_{\rm N} \cdot \sin(2\pi\cdot f_{\rm N} \cdot t)$, aber nun mit $f_{\rm N} = 1\ \text{kHz}$. Auch wenn es nicht zu erkennen ist:<br>&nbsp;$x_{\rm TP}(t)$ und $x(t)$ sind weiterhin periodisch: &nbsp; $T_0 = 1\ \rm ms$. Beispiel: Zweiseitenband&ndash;Amplitudenmodulation '''(ZSB&ndash;AM)''' eines Sinussignals mit Cosinus&ndash;Träger. 


{{BlaueBox|TEXT=
'''(3)''' &nbsp; Welche Einstellungen müssen gegenüber '''(2)''' geändert werden, um zur ZSB&ndash;AM eines Cosinussignals mit Sinus&ndash;Träger zu gelangen. Was ändert sich gegenüber '''(2)'''?}}

::Die Trägerphase muss auf $\varphi_{\rm T} = 90^\circ$ geändert werden &nbsp; &rArr; &nbsp; Sinus&ndash;Träger. Ebenso muss $\varphi_{\rm O} =\varphi_{\rm U} =\varphi_{\rm T} = 90^\circ$ eingestellt werden &nbsp; &rArr; &nbsp; cosinusförmige Nachricht<br>&nbsp;Die Ortskurve liegt nun auf der imaginären Achse&nbsp; &rArr; &nbsp; $\phi(t) \equiv -90^\circ$. Zu Beginn gilt $x_{\rm TP}(t=0)= - {\rm j} \cdot 1.8 \ \text{V}$.


{{BlaueBox|TEXT=
'''(4)''' &nbsp; Nun gelte &nbsp; $\text{Rot:} \hspace{0.15cm} A_{\rm T} = 1\ \text{V}, \ f_{\rm T} = 100 \ \text{kHz}, \ \varphi_{\rm T} = 0^\circ$, &nbsp;  $\text{Grün:} \hspace{0.15cm} A_{\rm U} = 0.4 \text{V}, \ f_{\rm U} = 80 \ \text{kHz}, \  \varphi_{\rm U} = 0^\circ$,  &nbsp;   $\text{Blau:} \hspace{0.15cm} A_{\rm O} = 0.4\ \text{V}, \ f_{\rm O} = 120 \ \text{kHz}, \ \varphi_{\rm O} = 0^\circ$. 

:Welche Eigenschaften weist dieses System "ZSB&ndash;AM, wobei Nachrichtensignal und Träger jeweils cosinusförmig" auf? Wie groß ist der Modulationsgrad $m$?}}

::&nbsp;Das äquivalente TP&ndash;Signal $x_{\rm TP}(t)$ nimmt ausgehend von $x_{\rm TP}(t=0)=1.8\ \text{V}$ auf der reellen Achse Werte zwischen $0.2\ \text{V}$ und $1.8\ \text{V}$ an &nbsp; &rArr; &nbsp; Phase $\phi(t) \equiv 0$.<br>&nbsp;Bis auf den Startzustand $x_{\rm TP}(t=0)$ gleiches Verhalten wie bei der Einstellung '''(1)'''. Der Modulationsgrad ist jeweils $m = 0.8$. 


{{BlaueBox|TEXT=
'''(5)''' &nbsp; Es gelten weiter die Parameter gemäß '''(4)''' mit Ausnahme von $A_{\rm T}= 0.6 \text{V}$. Wie groß ist nun der Modulationsgrad $m$? Welche Konsequenzen hat das?}}

::&nbsp;Es liegt nun eine ZSB&ndash;AM mit Modulationsgrad $m = 1.333$ vor. Bei $m > 1$ ist die einfachere [[Modulation_Methods/Hüllkurvendemodulation|Hüllkurvendemodulation]]  nicht anwendbar, da nun die Phasenfunktion $\phi(t) \in \{ 0, \ \pm 180^\circ\}$ nicht mehr konstant ist und die Hüllkurve $a(t)$ nicht mehr mit dem Nachrichtensignal übereinstimmt. Vielmehr muss die aufwändigere  [[Modulation_Methods/Synchrondemodulation|Synchrondemodulation]] verwendet werden. Bei Hüllkurvendemodulation käme es zu nichtlinearen Verzerrungen.


{{BlaueBox|TEXT=
'''(6)''' &nbsp; Es gelten weiter die Parameter gemäß '''(4)''' bzw. '''(5)''' mit Ausnahme von $A_{\rm T}= 0$ an &nbsp; &rArr; &nbsp; $m \to \infty$. Welches Modulationsverfahren wird so beschrieben?}}

::Es handelt sich um eine '''ZSB&ndash;AM ohne Träger''' und es ist eine eine Synchrondemodulation erforderlich. Das äquivalente TP&ndash;Signal $x_{\rm TP}(t)$ liegt zwar auf der reellen Achse, aber nicht nur in der rechten Halbebene. Damit gilt auch hier für die Phasenfunktion $\phi(t) \in \{ 0, \ \pm 180^\circ\}$, wodurch Hüllkurvendemodulation nicht anwendbar ist.


{{BlaueBox|TEXT=
'''(7)''' &nbsp; Nun gelte &nbsp; $\text{Rot:} \hspace{0.15cm} A_{\rm T} = 1\ \text{V},  f_{\rm T} = 100 \ \text{kHz},  \varphi_{\rm T} = 0^\circ$, &nbsp;  $\text{Grün:} \hspace{0.15cm} A_{\rm U} = 0, \ f_{\rm U} = 80 \ \text{kHz},  \varphi_{\rm U} = -90^\circ$,  &nbsp;   $\text{Blau:} \hspace{0.15cm} A_{\rm O} = 0.8\ \text{V},  f_{\rm O} = 120 \ \text{kHz},  \varphi_{\rm O} = 90^\circ$.

:Welches Konstellation wird hiermit beschrieben? Welche Eigenschaften dieses Verfahrens erkennt man aus der Grafik?}}

::Es handelt es sich um eine [[Modulation_Methods/Einseitenbandmodulation|Einseitenbandmodulation]] '''(ESB&ndash;AM)''', genauer gesagt um eine '''OSB&ndash;AM''': Der rote Träger liegt fest, der grüne Zeiger fehlt und der blaue Zeiger (OSB) dreht entgegen dem Uhrzeigersinn. Der Modulationsgrad ist $\mu = 0.8$ (bei ESB bezeichnen wir den Modulationsgrad mit $\mu$ anstelle von $m$). Das Trägersignal ist cosinusförmig und das Nachrichtensignal sinusförmig.<br>Die Ortskurve ist ein Kreis. $x_{\rm TP}(t)$ bewegt sich darauf in mathematisch positiver Richtung. Wegen $\phi(t) \ne \text{const.}$ ist auch hier die Hüllkurvendemodulation nicht anwendbar: &nbsp;Dies erkennt man daran, dass die Hüllkurve $a(t)$ nicht cosinusförmig ist. Vielmehr ist die untere Halbwelle spitzer als die obere &nbsp; &rArr; &nbsp; starke lineare Verzerrungen.


{{BlaueBox|TEXT=
'''(8)''' &nbsp; Es gelten weiter die Parameter gemäß '''(7)''' mit Ausnahme von $A_{\rm O}= 0$ und $A_{\rm U}= 0.8 \text{V}$. Welche Unterschiede ergeben sich gegenüber '''(7)'''?}}

::Nun handelt es sich um eine '''USB&ndash;AM''': Der rote Träger liegt fest, der blaue Zeiger fehlt und der grüne Zeiger (USB) dreht im Uhrzeigersinn. Alle anderen Aussagen von '''(7)''' treffen auch hier zu.


{{BlaueBox|TEXT=
'''(9)''' &nbsp; Es gelten weiter die Parameter gemäß '''(7)''' mit Ausnahme von $A_{\rm O} = 0.2 \text{ V} \ne A_{\rm U} = 0.4 \text{ V} $. Welche Unterschiede ergeben sich gegenüber '''(7)'''?}}

::Die Ortskurve $x_{\rm TP}(t)$ ist nun keine horizontale Gerade, sondern eine Ellipse mit dem Realteil zwischen $0.4 \text{ V}$ und $1.6 \text{ V}$ sowie dem Imaginärteil im Bereich $\pm 0.2  \text{ V}$. Wegen $\phi(t) \ne \text{const.}$ würde auch hier die Hüllkurvendemodulation zu nichtlinearen Verzerrungen führen<br>Die hier simulierte Konstellation beschreibt die Situation von  '''(4)''', nämlich eine ZSB&ndash;AM mit Modulationsgrad $m = 0.8$, wobei das obere Seitenband aufgrund der Kanaldämpfung auf $50\%$ reduziert wird. 



==Zur Handhabung des Applets==
<br>
[[File:Ortskurve_abzug3.png|right]]
* Die roten Parameter $(A_{\rm T}, \ f_{\rm T}, \ \varphi_{\rm T})$  und der rote Zeiger kennzeichnen den '''T'''räger.
* Die grünen Parameter $(A_{\rm U}, \ f_{\rm U} < f_{\rm T}, \ \varphi_{\rm U})$  kennzeichnen das '''U'''ntere Seitenband.
* Die blauen Parameter $(A_{\rm O}, \ f_{\rm O} > f_{\rm T}, \ \varphi_{\rm O})$  kennzeichnen das '''O'''bere Seitenband.
* Der rote Zeiger dreht nicht.
* Der grüne Zeiger dreht in mathematisch negativer Richtung (im Uhrzeigersinn).
* Der blaue Zeiger dreht entgegen dem Uhrzeigersinn.


<u>Bedeutung der Buchstaben in nebenstehender Grafik:</u>

&nbsp; &nbsp; '''(A)''' &nbsp; &nbsp; Grafikfeld für das äquivalente TP&ndash;Signal $x_{\rm TP}(t)$

&nbsp; &nbsp; '''(B)''' &nbsp; &nbsp; Grafikfeld für das physikalische Signal $x(t)$

&nbsp; &nbsp; '''(C)''' &nbsp; &nbsp; Parametereingabe per Slider: &nbsp; Amplituden, Frequenzen, Phasenwerte

&nbsp; &nbsp; '''(D)''' &nbsp; &nbsp; Bedienelemente: &nbsp; Start &ndash; Step &ndash; Pause/Continue &ndash; Reset

&nbsp; &nbsp; '''(E)''' &nbsp; &nbsp; Geschwindigkeit der Animation: &nbsp; "Speed" &nbsp; &rArr; &nbsp; Werte: 1, 2 oder 3

&nbsp; &nbsp; '''(F)''' &nbsp; &nbsp; "Trace" &nbsp; &rArr; &nbsp;  Ein oder Aus, Spur des äquivalenten TP&ndash;Signals &nbsp; $x_{\rm TP}(t)$

&nbsp; &nbsp; '''(G)''' &nbsp; &nbsp; Numerikausgabe: &nbsp; Zeit $t$, Signalwerte &nbsp;${\rm Re}[x_{\rm TP}(t)]$ &nbsp;und&nbsp; ${\rm Im}[x_{\rm TP}(t)]$,

$\text{}\hspace{4.2cm}$ &nbsp; Hüllkurve $a(t) = |x_{\rm TP}(t)|$ &nbsp;und&nbsp; Phase $\phi(t) = {\rm arc} \ x_{\rm TP}(t)$

&nbsp; &nbsp; '''(H)''' &nbsp; &nbsp; Variationsmöglichkeiten für die grafische Darstellung

$\hspace{1.5cm}$Zoom&ndash;Funktionen "$+$" (Vergrößern), "$-$" (Verkleinern) und $\rm o$ (Zurücksetzen)

$\hspace{1.5cm}$Verschieben mit "$\leftarrow$" (Ausschnitt nach links, Ordinate nach rechts),  "$\uparrow$" "$\downarrow$" "$\rightarrow$"

&nbsp; &nbsp; '''(I)''' &nbsp; &nbsp; Bereich für die Versuchsdurchführung:&nbsp; Aufgabenauswahl und Aufgabenstellung

&nbsp; &nbsp; '''(J)''' &nbsp; &nbsp; Bereich für die Versuchsdurchführung:&nbsp; Musterlösung
<br clear=all>

==Über die Autoren==
Dieses interaktive Berechnungstool  wurde am [http://www.lnt.ei.tum.de/startseite Lehrstuhl für Nachrichtentechnik] der [https://www.tum.de/ Technischen Universität München] konzipiert und realisiert.
*Die erste Version wurde 2005 von [[Biographies_and_Bibliographies/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Ji_Li_.28Bachelorarbeit_EI_2003.2C_Diplomarbeit_EI_2005.29|Ji Li]] im Rahmen ihrer Diplomarbeit mit "FlashMX&ndash;Actionscript" erstellt (Betreuer: [[Biographies_and_Bibliographies/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Prof._Dr.-Ing._habil._G.C3.BCnter_S.C3.B6der_.28am_LNT_seit_1974.29|Günter Söder]]).
*2018 wurde dieses Programm  von [[Biographies_and_Bibliographies/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Xiaohan_Liu_.28Bachelorarbeit_2018.29|Xiaohan Liu]] im Rahmen ihrer Bachelorarbeit (Betreuer: [[Biographies_and_Bibliographies/Beteiligte_der_Professur_Leitungsgebundene_%C3%9Cbertragungstechnik#Tasn.C3.A1d_Kernetzky.2C_M.Sc._.28bei_L.C3.9CT_seit_2014.29|Tasnád Kernetzky]]) neu gestaltet und erweitert.

==Nochmalige Aufrufmöglichkeit des Applets in neuem Fenster==

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