Channel Coding/Channel Models and Decision Structures

1. Channel Coding
2. Binäre Blockcodes zur Kanalcodierung
3. Channel Models and Decision Structures

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AWGN–Kanal bei binärem Eingang

Wir betrachten das bekannte zeitdiskrete AWGN–Kanalmodell gemäß der unteren Grafik (links):

• Das binäre und zeitdiskrete Nachrichtensignal x nimmt mit gleicher Wahrscheinlichkeit die Werte 0 und 1 an, das heißt, es ist Pr(x = 0) = Pr(x̃ = +1) = 1/2 sowie Pr(x = 1) = Pr(x̃ = –1) = 1/2.
  

• Die Übertragung wird durch additives weißes gaußverteiltes Rauschen (AWGN) n mit der (normierten) Rauschleistung σ² = N₀/(2E_S) beeinträchtigt. Die Streuung der Gauß–WDF ist σ.
  

• Aufgrund der Gaußschen WDF kann das Ausgangssignal y = x̃ + n alle reellen Werte annehmen. Der Signalwert y ist zwar wie x̃ zeitdiskret, im Gegensatz zu diesem aber wertkontinuierlich.
  

Die rechte Grafik zeigt die bedingten Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen (in blau bzw. rot):

\[f_{y \hspace{0.03cm}| \hspace{0.03cm}x=0 } \hspace{0.05cm} (y \hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm}x=0 )\hspace{-0.1cm} = \hspace{-0.1cm} \frac {1}{\sqrt{2\pi} \cdot \sigma } \cdot \exp \left [ - \frac {(y-1)^2}{2\sigma^2} \right ]\hspace{0.05cm},\] \[f_{y \hspace{0.03cm}| \hspace{0.03cm}x=1 } \hspace{0.05cm} (y \hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm}x=1 )\hspace{-0.1cm} = \hspace{-0.1cm} \frac {1}{\sqrt{2\pi} \cdot \sigma } \cdot \exp \left [ - \frac {(y+1)^2}{2\sigma^2} \right ]\hspace{0.05cm}.\]

Nicht dargestellt ist die gesamte (unbedingte) WDF, für die bei gleichwahrscheinlichen Symbolen gilt:

\[f_y(y) = {1}/{2} \cdot \left [ f_{y \hspace{0.03cm}| \hspace{0.03cm}x=0 } \hspace{0.05cm} (y \hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm}x=0 ) + f_{y \hspace{0.03cm}| \hspace{0.03cm}x=1 } \hspace{0.05cm} (y \hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm}x=1 )\right ]\hspace{0.05cm}.\]

Die beiden schraffierten Flächen (jeweils ε) markieren Entscheidungsfehler unter der Voraussetzung x = 0  ⇒  x̃ = +1 (blau)   bzw.   x = 1  ⇒  x̃ = –1 (rot), wenn harte Entscheidungen getroffen werden:

\[z = \left\{ \begin{array}{c} 0\\ 1 \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{1}c} {\rm falls} \hspace{0.15cm} y > 0\hspace{0.05cm},\\ {\rm falls} \hspace{0.15cm}y < 0\hspace{0.05cm}.\\ \end{array}\]

Bei gleichwahrscheinlichen Eingangssymbolen ist dann die mittlere Bitfehlerwahrscheinlichkeit Pr(z ≠ x) ebenfalls gleich ε. Mit dem Komplementären Gaußschen Fehlerintergral Please add link and do not upload flash videos. Q(x) gilt dabei:

\[\varepsilon = {\rm Q}(1/\sigma) = {\rm Q}(\sqrt{\rho}) = \frac {1}{\sqrt{2\pi} } \cdot \int_{\sqrt{\rho}}^{\infty}{\rm e}^{- \alpha^2/2} \hspace{0.1cm}{\rm d}\alpha \hspace{0.05cm}.\]

Hierbei bezeichnet ρ = 1/σ² = 2 · E_S/N₀ das Signal–zu–Rauschverhältnis (SNR) vor dem Entscheider, wobei folgende Systemgrößen verwendet werden:

• E_S ist die Signalenergie pro Symbol (ohne Codierung gleich E_B, also der Signalenergie pro Bit),
  

• N₀ bezeichnet die konstante (einseitige) Rauschleistungsdichte des AWGN–Kanals.
  
  

Wir verweisen hier auf das interaktive Flash–Modul Fehlerwahrscheinlichkeit von Digitalsystemen Please add link and do not upload flash videos.

Binary Symmetric Channel – BSC

Das AWGN–Kanalmodell ist kein digitales Kanalmodell, wie wir es im Kapitel 1.1 zur Beschreibung der Kanalcodierverfahren vorausgesetzt haben. Berücksichtigen wir aber eine harte Entscheidung, so kommen wir zum digitalen Modell Binary Symmetric Channel (BSC):

Wählt man die Verfälschungswahrscheinlichkeiten Pr(y = 1 | x = 0) bzw. Pr(y = 0 | x = 1) jeweils zu

\[\varepsilon = {\rm Q}(\sqrt{\rho})\hspace{0.05cm},\]

so ist der Zusammenhang zum AWGN–Kanalmodell hergestellt. Die Entscheidungsgrenze liegt dabei bei G = 0, wodurch auch die Eigenschaft „symmetrisch” begründet ist.

Hinweis: Beim AWGN–Modell haben wir die binäre Ausgangsgröße (nach Schwellenwertentscheidung) mit z ∈ {0, 1} bezeichnet. Bei den digitalen Kanalmodellen (BSC, BEC, BSEC) bezeichnen wir nun den wertdiskreten Ausgang wieder mit y. Um Verwechslungen zu vermeiden, nennen wir das Ausgangssignal des AWGN –Modells nun y_A. Für das analoge Empfangssignal gilt y_A = x̃ + n.

Das BSC–Modell liefert eine statistisch unabhängige Fehlerfolge und eignet sich somit zur Modellierung gedächtnisloser rückkopplungsfreier Kanäle, die in diesem Buch ausnahmslos betrachtet werden.

Zur Beschreibung gedächtnisbehafteter Kanäle müssen andere Modelle herangezogen werden, die im Kapitel 5 des Buches „Digitalsignalübertragung” behandelt werden, zum Beispiel Bündelfehler nach

• dem Gilbert–Elliott–Modell,
  

• dem McCullough–Kanalmodell.
  
  

Die Abbildung zeigt statistisch unabhängige Fehler nach dem BSC–Modell (links) und so genannte Bündelfehler gemäß Gilbert–Elliott (rechts), wobei die Bitfehlerrate in beiden Fällen 10% beträgt. Aus der rechten Grafik ist zu erkennen, dass das Bild zeilenweise übertragen wird.

Binary Erasure Channel – BEC

Das BSC–Modell liefert nur die Aussagen „richtig” und „falsch”. Manche Empfänger – so zum Beispiel die so genannten Soft–in Soft–out Decoder – können jedoch auch gewisse Informationen über die Sicherheit der Entscheidung liefern, wobei sie natürlich darüber informiert werden müssen, welche ihrer Eingangswerte sicher sind und welche eher unsicher.

Der Binary Erasure Channel (BEC) liefert eine solche Information. Anhand der Grafik erkennt man:

• Das Eingangsalphabet des BEC–Kanalmodells ist binär ⇒ x ∈ {0, 1} und das Ausgangsalphabet ternär ⇒ y ∈ {0, 1, E}. Ein „E” kennzeichnet eine unsichere Entscheidung. Dieses neue „Symbol” steht für Erasure, zu deutsch: Auslöschung.

• Bitfehler werden durch das BEC–Modell per se ausgeschlossen. Eine unsichere Entscheidung (E) wird mit der Wahrscheinlichkeit λ getroffen, während die Wahrscheinlichkeit für eine richtige (und gleichzeitig sichere) Entscheidung 1 – λ beträgt.

• Rechts oben ist der Zusammenhang zwischen BEC– und AWGN–Kanalmodell dargestellt, wobei das Erasure–Entscheidungsgebiet („E”) grau hinterlegt ist. Man erkennt, dass es im Gegensatz zum BSC–Modell (G = 0) nun zwei Entscheidungsgrenzen G₀ = G und G₁ = –G gibt, und es gilt:

\[\lambda = {\rm Q}[\sqrt{\rho} \cdot (1 - G)]\hspace{0.05cm}.\]

Wir weisen hier nochmals auf zwei interaktive Flash–Module hin:

• Fehlerwahrscheinlichkeit von Digitalsystemen Please add link and do not upload flash files.
  

• Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktion Please add link and do not upload flash files.
  

Binary Symmetric Error & Erasure Channel – BSEC

Das BEC–Modell ist aufgrund der Fehlerwahrscheinlichkeit 0 eher unrealistisch und nur eine Näherung für ein extrem großes Signal–zu–Rausch–Leistungsverhältnis (kurz SNR) ρ. Stärkere Störungen ⇒ ein kleineres ρ sollten besser durch den Binary Symmetric Error & Erasure Channel (BSEC) mit den zwei Parametern

• Verfälschungswahrscheinlichkeit ε = Pr (y = 1 | x = 0) = Pr (y = 0 | x = 1),
  

• Erasure–Wahrscheinlichkeit λ = Pr(y = E | x = 0) = Pr(y = E | x = 1)
  
  

modelliert werden. Es gilt auch hier x ∈ {0, 1} und y ∈ {0, 1, E}.

: Wir betrachten das BSEC–Modell mit den beiden Entscheidungsgeraden G₀ = G = 0.5 und G₁ = –G, dessen Parameter ε und λ durch das SNR ρ = 1/σ² des vergleichbaren AWGN–Kanals festgelegt sind. Dann gilt

• für σ = 0.5  ⇒  ρ = 4:

\[\varepsilon \hspace{-0.1cm} = \hspace{-0.1cm} {\rm Q}[\sqrt{\rho} \cdot (1 + G)] = {\rm Q}(3) \approx 0.14\%\hspace{0.05cm},\]

\[{\it \lambda} \hspace{-0.1cm} = \hspace{-0.1cm} {\rm Q}[\sqrt{\rho} \cdot (1 - G)] - \varepsilon = {\rm Q}(1) - {\rm Q}(3) \approx 15.87\% - 0.14\% = 15.73\%\hspace{0.05cm},\]

• für σ = 0.25  ⇒  ρ = 16:

\[\varepsilon = {\rm Q}(6) \approx 10^{-10}\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} {\it \lambda} = {\rm Q}(2) \approx 2.27\%\hspace{0.05cm}.\]

Für die rechts dargestellte WDF wurde ρ = 4 vorausgesetzt. Für ρ = 16 könnte das BSEC–Modell durch die BEC–Variante ersetzt werden, ohne dass es zu einer gravierenden Verfälschung kommt.

MAP– und ML–Kriterium (1)

Wir gehen nun von dem nachfolgend skizzierten Modell aus und wenden die bereits im Kapitel 4.2 des Buches „Digitalsignalübertragung” genannten Entscheidungskriterien auf den Decodiervorgang an.

Aufgabe des Kanaldecoders ist es, den Ausgabevektor υ so zu bestimmen, dass er „möglichst gut” mit dem Informationswort u übereinstimmt. Etwas genauer formuliert: Die Blockfehlerwahrscheinlichkeit

\[{\rm Pr(Blockfehler)} = {\rm Pr}(\underline{v} \ne \underline{u}) \]

bezogen auf die Vektoren u und υ der Länge k soll möglichst gering sein. Aufgrund der eindeutigen Zuordnung x = enc(u) durch den Kanalcoder bzw. empfängerseitig υ = enc^–1(z) gilt in gleicher Weise:

\[{\rm Pr(Blockfehler)} = {\rm Pr}(\underline{z} \ne \underline{x})\hspace{0.05cm}. \]

Der Kanaldecoder in obigem Modell besteht aus zwei Teilen:

• Der Codewortschätzer ermittelt aus dem Empfangsvektor y einen Schätzwert z ∈ C gemäß einem vorgegebenen Kriterium.
  

• Anschließend wird aus dem (empfangenen) Codewort z das (empfangene) Informationswort υ durch einfaches Mapping ermittelt, das möglichst mit u übereinstimmen sollte.
  
  

Für den Codewortschätzer gibt es insgesamt vier unterschiedliche Varianten, nämlich

• den Maximum–a–posteriori–Empfänger (MAP–Empfänger) für das gesamte Codewort x,
  

• den Maximum–a–posteriori–Empfänger (MAP–Empfänger) für die einzelnen Codebits x_i,
  

• den Maximum–Likelihood–Empfänger (ML–Empfänger) für das gesamte Codewort x,
  

• den Maximum–Likelihood–Empfänger (ML–Empfänger) für die einzelnen Codebits x_i.
  
  

Deren Definitionen folgen auf der nächsten Seite. Vorab aber gleich die wichtige Information:

• Ein MAP–Empfängerberücksichtigt im Gegensatz zum ML–Empfänger auch unterschiedliche Auftrittswahrscheinlichkeiten für das gesamte Codewort bzw. für deren einzelne Bits.
  

• Sind alle Codeworte bzw. alle Codebits x_i der Codeworte gleichwahrscheinlich, so ist der einfachere ML–Empfänger zum entsprechenden MAP–Empfänger äquivalent.
  
  

MAP– und ML–Kriterium (2)

: Der Maximum–a–posteriori–Empfänger auf Blockebene – kurz: block–wise MAP – entscheidet sich unter den 2^k zulässigen Codeworten x_i ∈ C für das Codewort mit der größten Rückschlusswahrscheinlichkeit (englisch: a–posteriori probability, APP):

\[\underline{z} = {\rm arg} \max_{\underline{x}_{\hspace{0.03cm}i} \hspace{0.03cm} \in \hspace{0.05cm} \mathcal{C}} \hspace{0.1cm} {\rm Pr}( \underline{x}_{\hspace{0.03cm}i} |\hspace{0.05cm} \underline{y} ) \hspace{0.05cm}.\]

Pr(x_i | y) ist die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass x_i gesendet wurde, wenn y empfangen wird.

Nach dem Satz von Bayes kann die Rückschlusswahrscheinlichkeit wie folgt umgeformt werden:

\[{\rm Pr}( \underline{x}_{\hspace{0.03cm}i} \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} \underline{y} ) = \frac{{\rm Pr}( \underline{y} \hspace{0.08cm} |\hspace{0.05cm} \underline{x}_{\hspace{0.03cm}i} ) \cdot {\rm Pr}( \underline{x}_{\hspace{0.03cm}i} )}{{\rm Pr}( \underline{y} )} \hspace{0.05cm}.\]

Die Wahrscheinlichkeit Pr(y) ist unabhängig von x_i und muss bei der Maximierung nicht berücksichtigt werden. Sind zudem alle 2^k Informationsworte u_i gleichwahrscheinlich, dann kann bei der Maximierung auch auf den Beitrag Pr(x_i) = 2^–k im Zähler verzichtet werden.

: Der Maximum–Likelihood–Empfänger auf Blockebene – kurz: block–wise ML – entscheidet sich unter den 2^k zulässigen Codeworten x_i ∈ C für das Codewort mit der größten Übergangswahrscheinlichkeit:

\[\underline{z} = {\rm arg} \max_{\underline{x}_{\hspace{0.03cm}i} \hspace{0.05cm} \in \hspace{0.05cm} \mathcal{C}} \hspace{0.1cm} {\rm Pr}( \underline{y} \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} \underline{x}_{\hspace{0.03cm}i} ) \hspace{0.05cm}.\]

Die bedingte Wahrscheinlichkeit Pr(y | x_i) ist nun in Vorwärtsrichtung zu verstehen, nämlich, dass der Vektor y empfangen wird, wenn das Codewort x_i gesendet wurde.

Im Folgenden verwenden wir auf Blockebene stets den ML–Empfänger. Aufgrund der vorausgesetzten gleichwahrscheinlichen Informationsworte liefert auch dieser stets die bestmögliche Entscheidung.

Anders sieht es jedoch auf Bitebene aus. Ziel einer iterativen Decodierung ist es gerade, für alle Codebits x_i ∈ {0, 1} Wahrscheinlichkeiten zu schätzen und diese an die nächste Stufe weiterzugeben. Hierzu benötigt man einen MAP–Empfänger.

: Der Maximum–a–posteriori–Empfänger auf Bitebene (kurz: bit–wise MAP) wählt für jedes Codebit x_i den Wert ( 0 oder 1) mit der größten Rückschlusswahrscheinlichkeit Pr(x_i | y):

\[\underline{z} = {\rm arg}\hspace{-0.1cm}{ \max_{{x}_{\hspace{0.03cm}i} \hspace{0.03cm} \in \hspace{0.05cm} \{0, 1\}} \hspace{0.03cm} {\rm Pr}( {x}_{\hspace{0.03cm}i} |\hspace{0.05cm} \underline{y} ) \hspace{0.05cm}}.\]

ML–Entscheidung beim BSC–Kanal

Wenden wir nun das ML–Kriterium auf den gedächtnislosen BSC–Kanal an. Dann gilt:

\[{\rm Pr}( \underline{y} \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} \underline{x}_{\hspace{0.03cm}i} ) = \prod\limits_{l=1}^{n} {\rm Pr}( y_l \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} x_l ) \hspace{0.2cm}{\rm mit}\hspace{0.2cm} {\rm Pr}( y_l \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} x_l ) = \left\{ \begin{array}{c} 1 - \varepsilon\\ \varepsilon \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{1}c} {\rm falls} \hspace{0.15cm} y_l = x_l \hspace{0.05cm},\\ {\rm falls} \hspace{0.15cm}y_l \ne x_l\hspace{0.05cm}.\\ \end{array} \hspace{0.05cm}.\]

\[\Rightarrow \hspace{0.3cm} {\rm Pr}( \underline{y} \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} \underline{x}_{\hspace{0.03cm}i} ) = \varepsilon^{d_{\rm H}(\underline{y} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.1cm}\underline{x}_{\hspace{0.03cm}i})} \cdot (1-\varepsilon)^{n-d_{\rm H}(\underline{y} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.1cm}\underline{x}_{\hspace{0.03cm}i})} \hspace{0.05cm}.\]

Dies lässt sich wie folgt begründen:

• Die Hamming–Distanz d_H(y, x_i) gibt die Anzahl der Bitpositionen an, in denen sich die beiden Worte y und x_i mit jeweils n binären Elementen unterscheiden. Beispielsweise ist die Hamming–Distanz zwischen y = (0, 1, 0, 1, 0, 1, 1) und x_i = (0, 1, 0, 0, 1, 1, 1) gleich 2.
  

• In n – d_H(y, x_i) Positionen unterscheiden sich demnach die beiden Vektoren y und x_i nicht. Im obigen Beispiel sind 5 der n = 7 Bit identisch. Zu obiger Gleichung kommt man schließlich durch Einsetzen der Verfälschungswahrscheinlichkeit ε bzw. deren Ergänzung 1 – ε.
  
  

Die Vorgehensweise bei der Maximum–Likelihood–Detektion ist, dasjenige Codewort x_i zu finden, das die Übergangswahrscheinlichkeit Pr(y | x_i) maximiert:

\[\underline{z} = {\rm arg} \max_{\underline{x}_{\hspace{0.03cm}i} \hspace{0.05cm} \in \hspace{0.05cm} \mathcal{C}} \hspace{0.1cm} \left [ \varepsilon^{d_{\rm H}(\underline{y} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.1cm}\underline{x}_{\hspace{0.03cm}i})} \cdot (1-\varepsilon)^{n-d_{\rm H}(\underline{y} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.1cm}\underline{x}_{\hspace{0.03cm}i})} \right ] \hspace{0.05cm}.\]

Da der Logarithmus eine monoton steigende Funktion ist, erhält man das gleiche Ergebnis nach folgender Maximierung:

\[\underline{z} = {\rm arg} \max_{\underline{x}_{\hspace{0.03cm}i} \hspace{0.05cm} \in \hspace{0.05cm} \mathcal{C}} \hspace{0.1cm} L(\underline{x}_{\hspace{0.03cm}i}) \]

\[{\rm mit}\hspace{0.15cm} L(\underline{x}_{\hspace{0.03cm}i}) \hspace{-0.1cm} = \hspace{-0.1cm} \ln \left [ \varepsilon^{d_{\rm H}(\underline{y} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.1cm}\underline{x}_{\hspace{0.03cm}i})} \cdot (1-\varepsilon)^{n-d_{\rm H}(\underline{y} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.1cm}\underline{x}_{\hspace{0.03cm}i})} \right ] =\] \[ \hspace{2cm} = \hspace{-0.1cm} d_{\rm H}(\underline{y} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.1cm}\underline{x}_{\hspace{0.03cm}i}) \cdot \ln \hspace{0.05cm} \varepsilon + [n -d_{\rm H}(\underline{y} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.1cm}\underline{x}_{\hspace{0.03cm}i})] \cdot \ln \hspace{0.05cm} (1- \varepsilon) = \] \[\hspace{2cm} = \hspace{-0.1cm} \ln \frac{\varepsilon}{1-\varepsilon} \cdot d_{\rm H}(\underline{y} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.1cm}\underline{x}_{\hspace{0.03cm}i}) + n \cdot \ln \hspace{0.05cm} (1- \varepsilon) \hspace{0.05cm}.\]

Der zweite Term dieser Gleichung ist unabhängig von x_i und muss für die Maximierung nicht weiter betrachtet werden. Auch der Faktor vor der Hamming–Distanz ist für alle x_i gleich. Da aber ln ε/(1 – ε) negativ ist (zumindest für ε < 0.5, was ohne große Einschränkung vorausgestzt werden kann), wird aus der Maximierung eine Minimierung, und man erhält folgendes Endergebnis:

ML–Entscheidung beim BSC–Kanal: Wähle von den 2^k zulässigen Codeworten dasjenige mit der geringsten Hamming–Distanz d_H(y, x_i) zum Empfangsvektor y aus:

\[\underline{z} = {\rm arg} \min_{\underline{x}_{\hspace{0.03cm}i} \hspace{0.05cm} \in \hspace{0.05cm} \mathcal{C}} \hspace{0.1cm} d_{\rm H}(\underline{y} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.1cm}\underline{x}_{\hspace{0.03cm}i})\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} \underline{y} \in {\rm GF}(2^n) \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}\underline{x}_{\hspace{0.03cm}i}\in {\rm GF}(2^n) \hspace{0.05cm}.\]

Anwendungen der ML/BSC–Entscheidung finden Sie auf den folgenden Seiten:

• Single Parity–check Code (SPC)
  

• Wiederholungscode (englisch: Repetition Code, RC).
  

ML–Entscheidung beim AWGN–Kanal

Das AWGN–Modell für einen (n, k)–Blockcode unterscheidet sich vom Modell auf der ersten Seite dieses Kapitels dadurch, dass für x, x̃ und y nun die entsprechenden Vektoren x, x̃ und y verwendet werden müssen, jeweils bestehend aus n Elementen. Die Schritte zur Herleitung des ML–Entscheiders bei AWGN werden nachfolgend nur stichpunktartig angegeben:

• Der AWGN–Kanal ist per se gedächtnislos (hierfür steht das White im Namen), so dass für die bedingte Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion geschrieben werden kann:

\[f( \underline{y} \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} \underline{\tilde{x}} ) = \prod\limits_{l=1}^{n} f( y_l \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} \tilde{x}_l ) \hspace{0.05cm}.\]

• Die bedingte WDF ist für jedes einzelne Codeelement (l = 1, ... , n) gaußisch. Damit genügt auch die gesamte WDF einer (eindimensionalen) Gaußverteilung:

\[f({y_l \hspace{0.03cm}| \hspace{0.03cm}\tilde{x}_l }) = \frac {1}{\sqrt{2\pi} \cdot \sigma } \cdot \exp \left [ - \frac {(y_l - \tilde{x}_l)^2}{2\sigma^2} \right ]\]

\[\Rightarrow \hspace{0.3cm} f( \underline{y} \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} \underline{\tilde{x}} ) = \frac {1}{(2\pi)^{n/2} \cdot \sigma^n } \cdot \exp \left [ - \frac {1}{2\sigma^2} \cdot \sum_{l=1}^{n} \hspace{0.2cm}(y_l - \tilde{x}_l)^2 \right ] \hspace{0.05cm}.\]

• Da y nun nicht mehr wie beim BSC–Modell wertdiskret ist, sondern wertkontinuierlich, müssen jetzt entsprechend der ML–Entscheidungsregel Wahrscheinlichkeitsdichten untersucht werden und nicht mehr Wahrscheinlichkeiten. Das optimale Ergebnis lautet:

\[\underline{z} = {\rm arg} \max_{\underline{x}_{\hspace{0.03cm}i} \hspace{0.05cm} \in \hspace{0.05cm} \mathcal{C}} \hspace{0.1cm} f( \underline{y} \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} \underline{\tilde{x}}_i )\hspace{0.05cm}, \hspace{0.8cm} \underline{y} \in R^n\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}\underline{x}_{\hspace{0.03cm}i}\in {\rm GF}(2^n) \hspace{0.05cm}.\]

• In der Algebra bezeichnet man den Abstand zweier Punkte y und x̃ im n–dimensionalen Raum als die Euklidische Distanz, benannt nach dem griechischen Mathematiker Euklid, der im dritten Jahrhundert vor Christus lebte:

\[d_{\rm E}(\underline{y} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.1cm}\underline{\tilde{x}}) = \sqrt{\sum_{l=1}^{n} \hspace{0.2cm}(y_l - \tilde{x}_l)^2}\hspace{0.05cm},\hspace{0.8cm} \underline{y} \in R^n\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}\underline{x}_{\hspace{0.03cm}i}\in \mathcal{C} \hspace{0.05cm}.\]

• Damit lautet die ML–Entscheidungsregel beim AWGN–Kanal für einen jeden Blockcode unter Berücksichtigung der Tatsache, dass der erste Faktor der WDF f(y | x̃_i) konstant ist:

\[\underline{z} = {\rm arg} \max_{\underline{x}_{\hspace{0.03cm}i} \hspace{0.05cm} \in \hspace{0.05cm} \mathcal{C}} \hspace{0.1cm} \exp \left [ - \frac {d_{\rm E}(\underline{y} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.1cm}\underline{\tilde{x}}_i)}{2\sigma^2} \right ]\hspace{0.05cm}, \hspace{0.8cm} \underline{y} \in R^n\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}\underline{x}_{\hspace{0.03cm}i}\in {\rm GF}(2^n) \hspace{0.05cm}.\]

Nach einigen weiteren Zwischenschritten kommt man zum Ergebnis:

ML–Entscheidung beim AWGN–Kanal: Wähle von den 2^k zulässigen Codeworten x_i dasjenige mit der kleinsten Euklidischen Distanz zum Empfangsvektor y aus:

\[\underline{z} = {\rm arg} \min_{\underline{x}_{\hspace{0.03cm}i} \hspace{0.05cm} \in \hspace{0.05cm} \mathcal{C}} \hspace{0.1cm} d_{\rm E}(\underline{y} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.1cm}\underline{x}_{\hspace{0.03cm}i})\hspace{0.05cm}, \hspace{0.8cm} \underline{y} \in R^n\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}\underline{x}_{\hspace{0.03cm}i}\in {\rm GF}(2^n) \hspace{0.05cm}.\]

Aufgaben

A1.3 BSC–BEC–BSEC–AWGN

A1.4 Maximum–Likelihood–Entscheidung