Difference between revisions of "Aufgaben:Exercise 5.3Z: Zero-Padding"
(Die Seite wurde neu angelegt: „ {{quiz-Header|Buchseite=Signaldarstellung/Fehlermöglichkeiten bei Anwendung der DFT }} right| Wir betrachten die DFT e…“) |
|||
| Line 3: | Line 3: | ||
}} | }} | ||
| − | [[File:P_ID1146__Sig_Z_5_3_neu.png|right|]] | + | [[File:P_ID1146__Sig_Z_5_3_neu.png|right|Zero-Padding bei DFT-Anwendung]] |
| − | Wir betrachten die DFT eines Rechteckimpulses $x(t)$ der Höhe 1 und der Dauer $T$. Damit hat die Spektralfunktion $X(f)$ einen $\sin(f)/f$–förmigen Verlauf. | + | Wir betrachten die DFT eines Rechteckimpulses $x(t)$ der Höhe $1$ und der Dauer $T$. Damit hat die Spektralfunktion $X(f)$ einen $\sin(f)/f$–förmigen Verlauf. |
| − | Für diesen Sonderfall soll der Einfluss des DFT–Parameters $N$ analysiert werden, wobei der Stützstellenabstand im Zeitbereich stets $ | + | Für diesen Sonderfall soll der Einfluss des DFT–Parameters $N$ analysiert werden, wobei der Stützstellenabstand im Zeitbereich stets $T_{\rm A} = 0.01T$ bzw. $T_{\rm A} = 0.05T$ betragen soll. |
| − | Nebenstehend sind für unterschiedliche Werte von N die sich ergebenden Werte für den mittleren quadratischen Fehler (MQF) der Stützwerte im Frequenzbereich angegeben: | + | Nebenstehend sind für unterschiedliche Werte von $N$ die sich ergebenden Werte für den ''mittleren quadratischen Fehler'' (MQF) der Stützwerte im Frequenzbereich angegeben: |
:$${\rm MQF} = \frac{1}{N}\cdot \sum_{\mu = 0 }^{N-1} | :$${\rm MQF} = \frac{1}{N}\cdot \sum_{\mu = 0 }^{N-1} | ||
\left|X(\mu \cdot f_{\rm A})-\frac{D(\mu)}{f_{\rm A}}\right|^2 \hspace{0.05cm}.$$ | \left|X(\mu \cdot f_{\rm A})-\frac{D(\mu)}{f_{\rm A}}\right|^2 \hspace{0.05cm}.$$ | ||
| Line 17: | Line 17: | ||
:* Vergrößert man $N$, so wird das DFT–Koeffizientenfeld mit Nullen aufgefüllt. Man spricht von ''„Zero–Padding”''. | :* Vergrößert man $N$, so wird das DFT–Koeffizientenfeld mit Nullen aufgefüllt. Man spricht von ''„Zero–Padding”''. | ||
| − | + | ''Hinweise:'' | |
| − | + | *Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Signaldarstellung/Fehlermöglichkeiten_bei_Anwendung_der_DFT|Fehlermöglichkeiten bei Anwendung der DFT]]. | |
| − | + | *Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein. | |
| + | *Die Theorie zu diesem Kapitel ist auch im folgenden Lernvideo zusammengefasst: | ||
| + | :[[Fehlermöglichkeiten bei Anwendung der DFT (Dauer 7:26)]] | ||
Revision as of 13:41, 24 January 2017
Wir betrachten die DFT eines Rechteckimpulses $x(t)$ der Höhe $1$ und der Dauer $T$. Damit hat die Spektralfunktion $X(f)$ einen $\sin(f)/f$–förmigen Verlauf.
Für diesen Sonderfall soll der Einfluss des DFT–Parameters $N$ analysiert werden, wobei der Stützstellenabstand im Zeitbereich stets $T_{\rm A} = 0.01T$ bzw. $T_{\rm A} = 0.05T$ betragen soll.
Nebenstehend sind für unterschiedliche Werte von $N$ die sich ergebenden Werte für den mittleren quadratischen Fehler (MQF) der Stützwerte im Frequenzbereich angegeben:
- $${\rm MQF} = \frac{1}{N}\cdot \sum_{\mu = 0 }^{N-1} \left|X(\mu \cdot f_{\rm A})-\frac{D(\mu)}{f_{\rm A}}\right|^2 \hspace{0.05cm}.$$
Für $T_A/T = 0.01$ sind somit stets $101$ der DFT–Koeffizienten $d(ν)$ von 0 verschieden.
- Davon besitzen $99$ den Wert $1$ und die beiden Randkoeffizienten sind jeweils gleich $0.5$.
- Vergrößert man $N$, so wird das DFT–Koeffizientenfeld mit Nullen aufgefüllt. Man spricht von „Zero–Padding”.
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Fehlermöglichkeiten bei Anwendung der DFT.
- Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.
- Die Theorie zu diesem Kapitel ist auch im folgenden Lernvideo zusammengefasst:
Fragebogen
Musterlösung
2. Aus $T_A/T = 0.01$ folgt $f_P \cdot T = 100$. Die Stützwerte von $X(f)$ liegen im Bereich $–50 ≤ f \cdot T < 50$. Für den Abstand zweier Abtastwerte im Frequenzbereich gilt $f_A = f_P/N$. Daraus ergeben sich folgende Ergebnisse: $f_A \cdot T \approx 0.781$ (für $N = 128$) bzw. $f_A \cdot T \approx 0.196$ (für $N = 512$).
3. Für $N = 128$ ergibt sich für das Produkt MQF $\cdot f_A \approx 4.7 \cdot 10^{–6}/T$, für $N = 512$ dagegen ein um den Faktor 4 kleinerer Wert. Durch „Zero–Padding” wird keine größere Genauigkeit der DFT erzielt, dafür aber eine feinere „Auflösung” des Frequenzbereichs. Das Produkt MQF $\cdot f_A$ berücksichtigt diese Tatsache; es sollte stets möglichst klein sein. Richtig ist die erste Aussage.
4. Wegen $T_A \cdot f_A \cdot N = 1$ ergibt sich bei konstantem $N$ immer dann ein kleinerer $f_A$–Wert, wenn man $T_A$ vergrößert. Aus der Tabelle auf der Angabenseite erkennt man, dass damit der mittlere quadratische Fehler MQF signifikant (um den Faktor $400$) vergrößert wird. Dieser Effekt ist auf die Zunahme des Aliasingfehlers zurückzuführen, da durch den Übergang von $T_A/T = 0.01$ auf $T_A/T = 0.05$ die Frequenzperiode um den Faktor $5$ kleiner wird. Dagegen spielt der Abbruchfehler beim Rechteckimpuls weiterhin keine Rolle, solange $T_P = N \cdot T_A$ größer ist als die Impulsdauer $T$. Richtig sind hier die Lösungsvorschläge 1 und 4.
5. Alle Aussagen treffen zu. Mit den Parameterwerten $N = 64$ und $T_A/T = 0.01$ tritt ein extrem großer Abbruchfehler auf. Alle Zeitkoeffizienten sind hier $1$, so dass die DFT fälschlicherweise ein Gleichsignal anstelle der Rechteckfunktion interpretiert.
