Difference between revisions of "Aufgaben:Exercise 2.6: Two-Way Channel"
From LNTwww
Line 28: | Line 28: | ||
*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Lineare_Verzerrungen|Lineare Verzerrungen]]. | *Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Lineare_Verzerrungen|Lineare Verzerrungen]]. | ||
*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein. | *Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein. | ||
− | * | + | *Um Ihnen einige Rechnungen zu ersparen, wird folgendes Ergebnis für den Parametersatz $z_1 = 1$, $T_1 = 0$, $z_2 =0.5$ und $T_2 = 1 \ \rm ms$ vorweggenommen: |
− | + | $$|H(f = f_2)| = |H(f = f_3)| = \sqrt{1.25} \approx 1.118, \; \; \; \; b(f = f_2) = b(f = f_3) = \arctan (0.5) \approx 0.464.$$ | |
− | |||
− | |||
− | |||
− | b(f = f_2) = b(f = f_3) = \arctan (0.5) \approx 0.464.$$ | ||
Line 41: | Line 37: | ||
{Welche der nachfolgenden Aussagen sind zutreffend? | {Welche der nachfolgenden Aussagen sind zutreffend? | ||
|type="[]"} | |type="[]"} | ||
− | + Der Parametersatz „ | + | + Der Parametersatz „$z_1 = 1$, $T_1 = 0$, $z_2 =0$” ist der einzig mögliche zur Beschreibung des idealen Kanals. |
− | + Jeder verzerrungsfreie Kanal wird durch die beiden Kombinationen „ | + | + Jeder verzerrungsfreie Kanal wird durch die beiden Kombinationen „$z_1 \ne 0, \; z_2 = 0 $” bzw. „„$z_1 = 0, \; z_2 \ne 0 $” |
− | - Die Werte „ | + | - Die Werte „$z_1 \ne 0$” und „$z_2 \ne 0$” führen zu einem verzerrungsfreien Kanal, wenn $T_1$ und $T_2$ bestmöglich angepasst sind. |
− | {Es gelte | + | {Es gelte $z_1 = 1$, $T_1 = 0$, $z_2 =0.5$ und $T_2 = 1 \ \rm ms$. Berechnen Sie den Frequenzgang $H(f)$ dieses Kanals. Welche Werte gibt es bei Vielfachen von $1 \ \rm kHz$? |
|type="{}"} | |type="{}"} | ||
− | $Re[H(f = n \cdot 1 \ kHz)]$ | + | ${\rm Re}[H(f = n \cdot 1 \ {\rm kHz})] \ =$ { 1.5 3% } |
− | $Im[H(f = n \cdot 1 \ kHz)]$ | + | ${\rm Im}[H(f = n \cdot 1 \ {\rm kHz})] \ =$ { 0. } |
− | {Am Eingang des Systems mit gleichen Parametern wie | + | {Am Eingang des Systems mit gleichen Parametern wie in der Teilaufgabe (2) liegt nun der Diracpuls $x_1(t)$ an. Welche Aussagen treffen für das Ausgangssignal $y_1(t)$ zu? |
|type="[]"} | |type="[]"} | ||
− | + | + | + $y_1(t)$ ist gegenüber $x_1(t)$ um eine Konstante gedämpft/verstärkt. |
− | - | + | - $y_1(t)$ ist gegenüber $x_1(t)$ verschoben. |
− | - | + | - $y_1(t)$ weist gegenüber $x_1(t)$ Verzerrungen auf. |
− | {Berechnen Sie das Signal | + | {Berechnen Sie das Signal $y_2(t)$ als Systemantwort auf das Cosinussignal $x_2(t)$. Welcher Signalwert tritt zum Zeitpunkt $t = 0$ auf? |
|type="{}"} | |type="{}"} | ||
− | $y_2(t = 0)$ | + | $y_2(t = 0) \ =$ { 0.996 3% } |
{Welche Aussagen treffen bezüglich der Signale <i>x</i><sub>3</sub>(<i>t</i>) und <i>y</i><sub>3</sub>(<i>t</i>) zu? | {Welche Aussagen treffen bezüglich der Signale <i>x</i><sub>3</sub>(<i>t</i>) und <i>y</i><sub>3</sub>(<i>t</i>) zu? | ||
|type="[]"} | |type="[]"} | ||
− | - | + | - $y_3(t)$ weist gegenüber $x_3(t)$ keine Verzerrungen auf. |
− | - | + | - $y_3(t)$ weist gegenüber $x_3(t)$ Dämpfungsverzerrungen auf. |
− | + | + | + $y_3(t)$ weist gegenüber $x_3(t)$ Phasenverzerrungen auf. |
Revision as of 16:41, 3 February 2017
Der so genannte Zweiwegekanal wird durch folgende Impulsantwort charakterisiert (mit $T_1 < T_2$): $$h(t) = z_1 \cdot \delta ( t - T_1) + z_2 \cdot \delta ( t - T_2).$$
- Bis auf wenige Kombinationen der Systemparameter $z_1$, $T_1$, $z_2$ und $T_2$ wird dieser Kanal zu linearen Verzerrungen führen.
- Man spricht nur dann von einem verzerrungsfreien Kanal, wenn durch ihn kein einziges Eingangssignal verzerrt wird.
- Das bedeutet: Auch bei einem verzerrenden Kanal kann es Sonderfälle geben, bei denen tatsächlich $y(t) = \alpha \cdot x(t - \tau)$ gilt.
Als Testsignale werden an den Systemeingang angelegt:
- ein Diracpuls $x_1(t)$ im Zeitabstand $T_0 = 1 \ \rm ms$ gemäß
- $$x_1(t) = \sum_{n = - \infty}^{+\infty} \delta ( t - n \cdot T_0) ,$$
- dessen Spektralfunktion ebenfalls ein Diracpuls ist, und zwar mit Abstand $f_0 = 1/T_0 = 1 \ \rm kHz$:
- $$X_1(f) = T_0 \cdot \sum_{k = - \infty}^{+\infty} \delta ( f - k \cdot f_0) ,$$
- ein Cosinussignal mit der Frequenz $f_2 = 250 \ \rm Hz$:
- $$x_2(t) = \cos(2 \pi \cdot f_2 \cdot t) ,$$
- die Summe zweier Cosinussignale mit den Frequenzen $f_2 = 250 \ \rm Hz$ und $f_3 = 1250 \ \rm Hz$:
- $$x_3(t) = \cos(2 \pi \cdot f_2 \cdot t) + \cos(2 \pi \cdot f_3 \cdot t) .$$
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Lineare Verzerrungen.
- Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.
- Um Ihnen einige Rechnungen zu ersparen, wird folgendes Ergebnis für den Parametersatz $z_1 = 1$, $T_1 = 0$, $z_2 =0.5$ und $T_2 = 1 \ \rm ms$ vorweggenommen:
$$|H(f = f_2)| = |H(f = f_3)| = \sqrt{1.25} \approx 1.118, \; \; \; \; b(f = f_2) = b(f = f_3) = \arctan (0.5) \approx 0.464.$$
Fragebogen
Musterlösung
- 1. Mit z1 = 1, T1 = 0 und z2 = 0 ist h(t) = δ(t) und dementsprechend H(f) = 1, so dass stets y(t) = x(t) gelten wird. Jede verzerrungsfreie Kanalimpulsantwort h(t) besteht aus einer einzigen Diracfunktion, zum Beispiel bei t = T1. Dieser Fall ist im Modell durch z2 = 0 berücksichtigt. Damit lautet der Frequenzgang:
- $$H(f)= z_1\cdot {\rm e}^{-{\rm j}\cdot \hspace{0.05cm}2 \pi f T_1},$$
- und es wird y(t) = z1 · x(t – T1) gelten. Dagegen wird der Kanal immer dann zu linearen Verzerrungen führen, wenn gleichzeitig z1 und z2 von 0 verschieden sind. Richtig sind demnach die Aussagen 1 und 2.
- 2. Die Fouriertransformation der Impulsantwort h(t) führt auf die Gleichung:
- $$H(f) = z_1\cdot {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}2 \pi f T_1}+ z_2\cdot {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}2 \pi f T_2} .$$
- Mit z1 = 1, T1 = 0, z2 = 0.5, T2 = 1 ms erhält man daraus:
- $$H(f) =1 + 0.5 \cdot {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}2 \pi f T_2}.$$
- Aufgeschlüsselt nach Real– und Imaginärteil liefert dies:
- $${\rm Re}[H(f)] = 1 + 0.5 \cdot \cos(2 \pi f \cdot 1\,{\rm ms}),\\ {\rm Im}[H(f)] = -0.5 \cdot \sin(2 \pi f \cdot 1\,{\rm ms}).$$
- Bei der Frequenz f = f1 = 1 kHz – und auch allen Vielfachen davon – ist der Realteil gleich 1.5 und der Imaginärteil verschwindet.
- 3. Aus dem Ergebnis aus b) folgt weiter, dass bei allen Vielfachen von f1 = 1 kHz der Betragsfunktion |H(f)| = 1.5 und die Phasenfunktion b(f) = 0 ist. Damit ist für diese diskreten Frequenzwerte auch die Phasenlaufzeit jeweils 0. Da aber das Spektrum X1(f) des Diracpulses genau bei diesen Frequenzen Spektrallinien aufweist, gilt y(t) = 1.5 · x(t). Damit ist allein die erste Antwort richtig.
- 4. Die Betragsfunktion lautet:
- $$|H(f)| = \sqrt{{\rm Re}[H(f)]^2 + {\rm Im}[H(f)]^2} =\\ = \sqrt{1 + 0.25 \cdot \cos^2(2 \pi f \cdot T_2)+ \cos(2 \pi f \cdot T_2) + 0.25 \cdot \sin^2(2 \pi f \cdot T_2)}=\\ = \sqrt{1.25 + \cos(2 \pi f \cdot T_2) }.$$
- Für die Frequenz f2 = 0.25 kHz erhält man somit:
- $$|H(f)| = \sqrt{1.25 + \cos(\frac{\pi}{2} ) }= \sqrt{1.25} = 1.118.$$
- Die Phasenfunktion lautet allgemein bzw. bei der Frequenz f2:
- $$b(f) = - {\rm arctan}\hspace{0.1cm}\frac{{\rm Im}[H(f)]}{{\rm Re}[H(f)]} = - {\rm arctan}\hspace{0.1cm}\frac{-0.5 \cdot \sin(2 \pi f T_2)}{1+0.5 \cdot \cos(2 \pi f T_2)},$$
- $$b(f = f_2) = - {\rm arctan}\hspace{0.1cm}\frac{-0.5 \cdot \sin( \pi/2)}{1+0.5 \cdot \cos(\pi/2)}={\rm arctan}\hspace{0.1cm}\frac{0.5}{1} = 0.464.$$
- Damit beträgt die Phasenlaufzeit für diese Frequenz:
- $$\tau_2 = \frac {b(f_2)}{2 \pi f_2} = \frac {0.464}{2 \pi \cdot 0.25\,{\rm kHz}} \approx 0.3\,{\rm ms},$$
- und es gilt für das Ausgangssignal:
- $$y_2(t) = 1.118 \cdot \cos(2 \pi \cdot 0.25\,{\rm kHz}\cdot (t - 0.3\,{\rm ms})).$$
- Der Signalwert zum Nullzeitpunkt ist somit:
- $$y_2(t=0) = 1.118 \cdot \cos(-2 \pi \cdot 0.25\,{\rm kHz} \cdot 0.3\,{\rm ms}) \approx 1.118 \cdot 0.891 \hspace{0.15cm}\underline{= 0.996}.$$
- 5. Beide Frequenzen werden mit dem gleichen Dämpfungsfaktor α = 1.118 beaufschlagt; daher sind keine Dämpfungsverzerrungen festzustellen.
- Mit f3 = 1.25 kHz und T2 = 1 ms ergibt sich für die Phasenfunktion:
- $$b(f = f_3) = - {\rm arctan}\hspace{0.1cm}\frac{-0.5 \cdot \sin( 2.5 \pi)}{1+0.5 \cdot \cos(2.5 \pi)}= 0.464 = b(f = f_2),$$
- also genau der gleiche Wert wie bei der Frequenz f2 = 0.25 kHz. Trotzdem kommt es aber nun zu Phasenverzerrungen, da für f3 die Phasenlaufzeit nur mehr τ3 = 60 μs beträgt.
- Für das Ausgangssignal kann also geschrieben werden:
- $$y_3(t) = 1.118 \cdot \cos(2 \pi f_2 \cdot (t - 0.3\,{\rm ms}) + 1.118 \cdot \cos(2 \pi f_3 \cdot (t - 0.06\,{\rm ms}) = \\ = 1.118 \cdot \cos(2 \pi f_2 \cdot t - 27^\circ) + 1.118 \cdot \cos(2 \pi f_3 \cdot t - 27^\circ).$$
- Es gibt also Phasenverzerrungen ⇒ Antwort 3, obwohl für beide Schwingungen φ2 = φ3 = 27° gilt. Damit keine Phasenverzerrungen auftreten, müssten die Phasenlaufzeiten τ2 und τ3 gleich sein und die Phasenwerte φ2 und φ3 linear mit den zugehörigen Frequenzen ansteigen.