Difference between revisions of "Aufgaben:Exercise 2.6: Two-Way Channel"

From LNTwww
Line 28: Line 28:
 
*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Lineare_Verzerrungen|Lineare Verzerrungen]].
 
*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Lineare_Verzerrungen|Lineare Verzerrungen]].
 
*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.
 
*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.
*Als bekannt vorausgesetzt wird die folgende trigonometrische Beziehung:
+
*Um Ihnen einige Rechnungen zu ersparen, wird folgendes Ergebnis für den Parametersatz $z_1 = 1$, $T_1 = 0$, $z_2 =0.5$ und $T_2 = 1 \ \rm ms$ vorweggenommen:
:$$\frac{\cos^2(\alpha /2)}{\sin(\alpha )} = \frac{1}{2} \cdot {\rm cot}(\alpha /2) .$$
+
$$|H(f = f_2)| = |H(f = f_3)| = \sqrt{1.25}   \approx 1.118, \; \; \; \; b(f = f_2) = b(f = f_3) = \arctan (0.5)  \approx  0.464.$$
 
 
:<b>Hinweis:</b> Diese Aufgabe bezieht sich auf den Theorieteil von Kapitel 2.3. Um Ihnen einige Rechnungen zu ersparen, wird folgendes Ergebnis für den Parametersatz <i>z</i><sub>1</sub> = 1, <i>T</i><sub>1</sub> = 0, <i>z</i><sub>2</sub> = 0.5 und <i>T</i><sub>2</sub> = 1 ms vorweggenommen:
 
:$$|H(f = f_2)| = |H(f = f_3)| = \sqrt{1.25} \hspace{0.45cm} \approx 1.118, \\
 
  b(f = f_2) = b(f = f_3) = \arctan (0.5)  \approx  0.464.$$
 
  
  
Line 41: Line 37:
 
{Welche der nachfolgenden Aussagen sind zutreffend?
 
{Welche der nachfolgenden Aussagen sind zutreffend?
 
|type="[]"}
 
|type="[]"}
+ Der Parametersatz &bdquo;<i>z</i><sub>1</sub> = 1, <i>T</i><sub>1</sub> = 0, <i>z</i><sub>2</sub> = 0&rdquo; ist der einzig mögliche zur Beschreibung des idealen Kanals.
+
+ Der Parametersatz &bdquo;$z_1 = 1$, $T_1 = 0$, $z_2 =0$&rdquo; ist der einzig mögliche zur Beschreibung des idealen Kanals.
+ Jeder verzerrungsfreie Kanal wird durch die beiden Kombinationen &bdquo;<i>z</i><sub>1</sub> &ne; 0, <i>z</i><sub>2</sub> = 0&rdquo; bzw. &bdquo;<i>z</i><sub>1</sub> = 0, <i>z</i><sub>2</sub> &ne; 0 erfasst.&rdquo;
+
+ Jeder verzerrungsfreie Kanal wird durch die beiden Kombinationen &bdquo;$z_1 \ne 0, \; z_2 = 0 $&rdquo; bzw. &bdquo;&bdquo;$z_1 = 0, \; z_2 \ne 0 $&rdquo;
- Die Werte &bdquo;<i>z</i><sub>1</sub> &ne; 0&rdquo; und &bdquo;<i>z</i><sub>2</sub> &ne; 0&rdquo; führen zu einem verzerrungsfreien Kanal, wenn <i>T</i><sub>1</sub> und <i>T</i><sub>2</sub> bestmöglich angepasst sind.
+
- Die Werte &bdquo;$z_1 \ne 0$&rdquo; und &bdquo;$z_2 \ne 0$&rdquo; führen zu einem verzerrungsfreien Kanal, wenn $T_1$ und $T_2$ bestmöglich angepasst sind.
  
  
{Es gelte <i>z</i><sub>1</sub> = 1, <i>T</i><sub>1</sub> = 0, <i>z</i><sub>2</sub> = 0.5, <i>T</i><sub>2</sub> = 1 ms. Berechnen Sie den Frequenzgang <i>H</i>(<i>f</i>) dieses Kanals. Welche Werte gibt es bei Vielfachen von 1 kHz?
+
{Es gelte $z_1 = 1$, $T_1 = 0$, $z_2 =0.5$ und  $T_2 = 1 \ \rm ms$. Berechnen Sie den Frequenzgang $H(f)$ dieses Kanals. Welche Werte gibt es bei Vielfachen von $1 \ \rm kHz$?
 
|type="{}"}
 
|type="{}"}
$Re[H(f = n \cdot 1 \ kHz)]$ = { 1.5 3% }
+
${\rm Re}[H(f = n \cdot 1 \ {\rm kHz})] \ =$ { 1.5 3% }
$Im[H(f = n \cdot 1 \ kHz)]$ = { 0 3% }
+
${\rm Im}[H(f = n \cdot 1 \ {\rm kHz})] \ =$ { 0. }
  
  
{Am Eingang des Systems mit gleichen Parametern wie unter c) liegt nun der Diracpuls <i>x</i><sub>1</sub>(<i>t</i>) an. Welche Aussagen treffen für das Ausgangssignal <i>y</i><sub>1</sub>(<i>t</i>) zu?
+
{Am Eingang des Systems mit gleichen Parametern wie in der Teilaufgabe (2) liegt nun der Diracpuls $x_1(t)an. Welche Aussagen treffen für das Ausgangssignal $y_1(t)$ zu?
 
|type="[]"}
 
|type="[]"}
+ <i>y</i><sub>1</sub>(<i>t</i>) ist gegenüber <i>x</i><sub>1</sub>(<i>t</i>) um eine Konstante gedämpft/verstärkt.
+
+ $y_1(t)ist gegenüber $x_1(t)um eine Konstante gedämpft/verstärkt.
- <i>y</i><sub>1</sub>(<i>t</i>) ist gegenüber <i>x</i><sub>1</sub>(<i>t</i>) verschoben.
+
- $y_1(t)ist gegenüber $x_1(t)$ verschoben.
- <i>y</i><sub>1</sub>(<i>t</i>) weist gegenüber <i>x</i><sub>1</sub>(<i>t</i>) Verzerrungen auf.
+
- $y_1(t)weist gegenüber $x_1(t)$ Verzerrungen auf.
  
  
{Berechnen Sie das Signal <i>y</i><sub>2</sub>(<i>t</i>) als Systemantwort auf das Cosinussignal <i>x</i><sub>2</sub>(<i>t</i>). Welcher Signalwert tritt zum Zeitpunkt <i>t</i> = 0 auf?
+
{Berechnen Sie das Signal $y_2(t)$ als Systemantwort auf das Cosinussignal $x_2(t)$. Welcher Signalwert tritt zum Zeitpunkt $t = 0$ auf?
 
|type="{}"}
 
|type="{}"}
$y_2(t = 0)$ = { 0.996 3% }
+
$y_2(t = 0) \ =$ { 0.996 3% }
  
  
 
{Welche Aussagen treffen bezüglich der Signale <i>x</i><sub>3</sub>(<i>t</i>) und <i>y</i><sub>3</sub>(<i>t</i>) zu?
 
{Welche Aussagen treffen bezüglich der Signale <i>x</i><sub>3</sub>(<i>t</i>) und <i>y</i><sub>3</sub>(<i>t</i>) zu?
 
|type="[]"}
 
|type="[]"}
- <i>y</i><sub>3</sub>(<i>t</i>) weist gegenüber <i>x</i><sub>3</sub>(<i>t</i>) keine Verzerrungen auf.
+
- $y_3(t)$ weist gegenüber $x_3(t)$ keine Verzerrungen auf.
- <i>y</i><sub>3</sub>(<i>t</i>) weist gegenüber <i>x</i><sub>3</sub>(<i>t</i>) Dämpfungsverzerrungen auf.
+
- $y_3(t)$ weist gegenüber $x_3(t)$ Dämpfungsverzerrungen auf.
+ <i>y</i><sub>3</sub>(<i>t</i>) weist gegenüber <i>x</i><sub>3</sub>(<i>t</i>) Phasenverzerrungen auf.
+
+ $y_3(t)$ weist gegenüber $x_3(t)$ Phasenverzerrungen auf.
  
  

Revision as of 16:41, 3 February 2017

Zweiwegekanal

Der so genannte Zweiwegekanal wird durch folgende Impulsantwort charakterisiert (mit $T_1 < T_2$): $$h(t) = z_1 \cdot \delta ( t - T_1) + z_2 \cdot \delta ( t - T_2).$$

  • Bis auf wenige Kombinationen der Systemparameter $z_1$, $T_1$, $z_2$ und $T_2$ wird dieser Kanal zu linearen Verzerrungen führen.
  • Man spricht nur dann von einem verzerrungsfreien Kanal, wenn durch ihn kein einziges Eingangssignal verzerrt wird.
  • Das bedeutet: Auch bei einem verzerrenden Kanal kann es Sonderfälle geben, bei denen tatsächlich $y(t) = \alpha \cdot x(t - \tau)$ gilt.


Als Testsignale werden an den Systemeingang angelegt:

  • ein Diracpuls $x_1(t)$ im Zeitabstand $T_0 = 1 \ \rm ms$ gemäß
$$x_1(t) = \sum_{n = - \infty}^{+\infty} \delta ( t - n \cdot T_0) ,$$
dessen Spektralfunktion ebenfalls ein Diracpuls ist, und zwar mit Abstand $f_0 = 1/T_0 = 1 \ \rm kHz$:
$$X_1(f) = T_0 \cdot \sum_{k = - \infty}^{+\infty} \delta ( f - k \cdot f_0) ,$$
  • ein Cosinussignal mit der Frequenz $f_2 = 250 \ \rm Hz$:
$$x_2(t) = \cos(2 \pi \cdot f_2 \cdot t) ,$$
  • die Summe zweier Cosinussignale mit den Frequenzen $f_2 = 250 \ \rm Hz$ und $f_3 = 1250 \ \rm Hz$:
$$x_3(t) = \cos(2 \pi \cdot f_2 \cdot t) + \cos(2 \pi \cdot f_3 \cdot t) .$$

Hinweise:

  • Die Aufgabe gehört zum Kapitel Lineare Verzerrungen.
  • Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.
  • Um Ihnen einige Rechnungen zu ersparen, wird folgendes Ergebnis für den Parametersatz $z_1 = 1$, $T_1 = 0$, $z_2 =0.5$ und $T_2 = 1 \ \rm ms$ vorweggenommen:

$$|H(f = f_2)| = |H(f = f_3)| = \sqrt{1.25} \approx 1.118, \; \; \; \; b(f = f_2) = b(f = f_3) = \arctan (0.5) \approx 0.464.$$


Fragebogen

1

Welche der nachfolgenden Aussagen sind zutreffend?

Der Parametersatz „$z_1 = 1$, $T_1 = 0$, $z_2 =0$” ist der einzig mögliche zur Beschreibung des idealen Kanals.
Jeder verzerrungsfreie Kanal wird durch die beiden Kombinationen „$z_1 \ne 0, \; z_2 = 0 $” bzw. „„$z_1 = 0, \; z_2 \ne 0 $”
Die Werte „$z_1 \ne 0$” und „$z_2 \ne 0$” führen zu einem verzerrungsfreien Kanal, wenn $T_1$ und $T_2$ bestmöglich angepasst sind.

2

Es gelte $z_1 = 1$, $T_1 = 0$, $z_2 =0.5$ und $T_2 = 1 \ \rm ms$. Berechnen Sie den Frequenzgang $H(f)$ dieses Kanals. Welche Werte gibt es bei Vielfachen von $1 \ \rm kHz$?

${\rm Re}[H(f = n \cdot 1 \ {\rm kHz})] \ =$

${\rm Im}[H(f = n \cdot 1 \ {\rm kHz})] \ =$

3

Am Eingang des Systems mit gleichen Parametern wie in der Teilaufgabe (2) liegt nun der Diracpuls $x_1(t)$ an. Welche Aussagen treffen für das Ausgangssignal $y_1(t)$ zu?

$y_1(t)$ ist gegenüber $x_1(t)$ um eine Konstante gedämpft/verstärkt.
$y_1(t)$ ist gegenüber $x_1(t)$ verschoben.
$y_1(t)$ weist gegenüber $x_1(t)$ Verzerrungen auf.

4

Berechnen Sie das Signal $y_2(t)$ als Systemantwort auf das Cosinussignal $x_2(t)$. Welcher Signalwert tritt zum Zeitpunkt $t = 0$ auf?

$y_2(t = 0) \ =$

5

Welche Aussagen treffen bezüglich der Signale x3(t) und y3(t) zu?

$y_3(t)$ weist gegenüber $x_3(t)$ keine Verzerrungen auf.
$y_3(t)$ weist gegenüber $x_3(t)$ Dämpfungsverzerrungen auf.
$y_3(t)$ weist gegenüber $x_3(t)$ Phasenverzerrungen auf.


Musterlösung

1.  Mit z1 = 1, T1 = 0 und z2 = 0 ist h(t) = δ(t) und dementsprechend H(f) = 1, so dass stets y(t) = x(t) gelten wird. Jede verzerrungsfreie Kanalimpulsantwort h(t) besteht aus einer einzigen Diracfunktion, zum Beispiel bei t = T1. Dieser Fall ist im Modell durch z2 = 0 berücksichtigt. Damit lautet der Frequenzgang:
$$H(f)= z_1\cdot {\rm e}^{-{\rm j}\cdot \hspace{0.05cm}2 \pi f T_1},$$
und es wird y(t) = z1 · x(tT1) gelten. Dagegen wird der Kanal immer dann zu linearen Verzerrungen führen, wenn gleichzeitig z1 und z2 von 0 verschieden sind. Richtig sind demnach die Aussagen 1 und 2.
2.  Die Fouriertransformation der Impulsantwort h(t) führt auf die Gleichung:
$$H(f) = z_1\cdot {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}2 \pi f T_1}+ z_2\cdot {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}2 \pi f T_2} .$$
Mit z1 = 1, T1 = 0, z2 = 0.5, T2 = 1 ms erhält man daraus:
$$H(f) =1 + 0.5 \cdot {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}2 \pi f T_2}.$$
Aufgeschlüsselt nach Real– und Imaginärteil liefert dies:
$${\rm Re}[H(f)] = 1 + 0.5 \cdot \cos(2 \pi f \cdot 1\,{\rm ms}),\\ {\rm Im}[H(f)] = -0.5 \cdot \sin(2 \pi f \cdot 1\,{\rm ms}).$$
Bei der Frequenz f = f1 = 1 kHz – und auch allen Vielfachen davon – ist der Realteil gleich 1.5 und der Imaginärteil verschwindet.
3.  Aus dem Ergebnis aus b) folgt weiter, dass bei allen Vielfachen von f1 = 1 kHz der Betragsfunktion |H(f)| = 1.5 und die Phasenfunktion b(f) = 0 ist. Damit ist für diese diskreten Frequenzwerte auch die Phasenlaufzeit jeweils 0. Da aber das Spektrum X1(f) des Diracpulses genau bei diesen Frequenzen Spektrallinien aufweist, gilt y(t) = 1.5 · x(t). Damit ist allein die erste Antwort richtig.
4.  Die Betragsfunktion lautet:
$$|H(f)| = \sqrt{{\rm Re}[H(f)]^2 + {\rm Im}[H(f)]^2} =\\ = \sqrt{1 + 0.25 \cdot \cos^2(2 \pi f \cdot T_2)+ \cos(2 \pi f \cdot T_2) + 0.25 \cdot \sin^2(2 \pi f \cdot T_2)}=\\ = \sqrt{1.25 + \cos(2 \pi f \cdot T_2) }.$$
Für die Frequenz f2 = 0.25 kHz erhält man somit:
$$|H(f)| = \sqrt{1.25 + \cos(\frac{\pi}{2} ) }= \sqrt{1.25} = 1.118.$$
Die Phasenfunktion lautet allgemein bzw. bei der Frequenz f2:
$$b(f) = - {\rm arctan}\hspace{0.1cm}\frac{{\rm Im}[H(f)]}{{\rm Re}[H(f)]} = - {\rm arctan}\hspace{0.1cm}\frac{-0.5 \cdot \sin(2 \pi f T_2)}{1+0.5 \cdot \cos(2 \pi f T_2)},$$
$$b(f = f_2) = - {\rm arctan}\hspace{0.1cm}\frac{-0.5 \cdot \sin( \pi/2)}{1+0.5 \cdot \cos(\pi/2)}={\rm arctan}\hspace{0.1cm}\frac{0.5}{1} = 0.464.$$
Damit beträgt die Phasenlaufzeit für diese Frequenz:
$$\tau_2 = \frac {b(f_2)}{2 \pi f_2} = \frac {0.464}{2 \pi \cdot 0.25\,{\rm kHz}} \approx 0.3\,{\rm ms},$$
und es gilt für das Ausgangssignal:
$$y_2(t) = 1.118 \cdot \cos(2 \pi \cdot 0.25\,{\rm kHz}\cdot (t - 0.3\,{\rm ms})).$$
Der Signalwert zum Nullzeitpunkt ist somit:
$$y_2(t=0) = 1.118 \cdot \cos(-2 \pi \cdot 0.25\,{\rm kHz} \cdot 0.3\,{\rm ms}) \approx 1.118 \cdot 0.891 \hspace{0.15cm}\underline{= 0.996}.$$
5.  Beide Frequenzen werden mit dem gleichen Dämpfungsfaktor α = 1.118 beaufschlagt; daher sind keine Dämpfungsverzerrungen festzustellen.
Mit f3 = 1.25 kHz und T2 = 1 ms ergibt sich für die Phasenfunktion:
$$b(f = f_3) = - {\rm arctan}\hspace{0.1cm}\frac{-0.5 \cdot \sin( 2.5 \pi)}{1+0.5 \cdot \cos(2.5 \pi)}= 0.464 = b(f = f_2),$$
also genau der gleiche Wert wie bei der Frequenz f2 = 0.25 kHz. Trotzdem kommt es aber nun zu Phasenverzerrungen, da für f3 die Phasenlaufzeit nur mehr τ3 = 60 μs beträgt.
Für das Ausgangssignal kann also geschrieben werden:
$$y_3(t) = 1.118 \cdot \cos(2 \pi f_2 \cdot (t - 0.3\,{\rm ms}) + 1.118 \cdot \cos(2 \pi f_3 \cdot (t - 0.06\,{\rm ms}) = \\ = 1.118 \cdot \cos(2 \pi f_2 \cdot t - 27^\circ) + 1.118 \cdot \cos(2 \pi f_3 \cdot t - 27^\circ).$$
Es gibt also Phasenverzerrungen ⇒ Antwort 3, obwohl für beide Schwingungen φ2 = φ3 = 27° gilt. Damit keine Phasenverzerrungen auftreten, müssten die Phasenlaufzeiten τ2 und τ3 gleich sein und die Phasenwerte φ2 und φ3 linear mit den zugehörigen Frequenzen ansteigen.