Difference between revisions of "Aufgaben:Exercise 2.6: Two-Way Channel"

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'''(2)'''&nbsp; Die Fouriertransformation der Impulsantwort <i>h</i>(<i>t</i>) führt auf die Gleichung:
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'''(2)'''&nbsp; Die Fouriertransformation der Impulsantwort $h(t)$ führt auf die Gleichung:
 
$$H(f) =  z_1\cdot {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}2 \pi f T_1}+ z_2\cdot {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}2 \pi f T_2}
 
$$H(f) =  z_1\cdot {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}2 \pi f T_1}+ z_2\cdot {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}2 \pi f T_2}
 
   .$$
 
   .$$
  
Mit <i>z</i><sub>1</sub> = 1, <i>T</i><sub>1</sub> = 0, <i>z</i><sub>2</sub> = 0.5, <i>T</i><sub>2</sub> = 1 ms erhält man daraus:
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Mit erhält man daraus:
 
$$H(f) =1 + 0.5 \cdot {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}2 \pi f T_2}.$$
 
$$H(f) =1 + 0.5 \cdot {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}2 \pi f T_2}.$$
  
 
Aufgeschlüsselt nach Real&ndash; und Imaginärteil liefert dies:
 
Aufgeschlüsselt nach Real&ndash; und Imaginärteil liefert dies:
$${\rm Re}[H(f)] = 1 + 0.5 \cdot \cos(2 \pi f \cdot 1\,{\rm  ms}),\\
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$${\rm Re}[H(f)] = 1 + 0.5 \cdot \cos(2 \pi f \cdot 1\,{\rm  ms}),$$
{\rm Im}[H(f)] = -0.5 \cdot \sin(2 \pi f \cdot 1\,{\rm  ms}).$$
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$${\rm Im}[H(f)] = -0.5 \cdot \sin(2 \pi f \cdot 1\,{\rm  ms}).$$
  
Bei der Frequenz <i>f</i> = <i>f</i><sub>1</sub> = 1 kHz &ndash; und auch allen Vielfachen davon &ndash; ist <u>der Realteil gleich 1.5 und der Imaginärteil verschwindet</u>.
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Bei der Frequenz $f = f_1 =1 \ \rm kHz$ &ndash; und auch allen Vielfachen davon &ndash; ist <u>der Realteil gleich 1.5 und der Imaginärteil verschwindet</u>.
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'''(3)'''&nbsp; Aus diesem Ergebnis  folgt weiter, dass bei allen Vielfachen von $f_1 =1 \ \rm kHz$ die Betragsfunktion $|H(f)|$ = 1.5 und die Phasenfunktion $b(f) = 0$ ist. Damit ist für diese diskreten Frequenzwerte auch die Phasenlaufzeit jeweils $0$.
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Da aber das Spektrum $X_1(f)$ des Diracpulses genau bei diesen Frequenzen Spektrallinien aufweist, gilt $y_1(t) = 1.5 \cdot x_1(t)$. Damit ist <u>allein die erste Antwort</u> richtig.
  
'''(3)'''&nbsp; Aus dem Ergebnis aus b) folgt weiter, dass bei allen Vielfachen von <i>f</i><sub>1</sub> = 1 kHz der Betragsfunktion |<i>H</i>(<i>f</i>)| = 1.5 und die Phasenfunktion <i>b</i>(<i>f</i>) = 0 ist. Damit ist für diese diskreten Frequenzwerte auch die Phasenlaufzeit jeweils 0. Da aber das Spektrum <i>X</i><sub>1</sub>(<i>f</i>) des Diracpulses genau bei diesen Frequenzen Spektrallinien aufweist, gilt <i>y</i>(<i>t</i>) = 1.5 &middot; <i>x</i>(<i>t</i>). Damit ist <u>allein die erste Antwort</u> richtig.
 
  
 
'''(4)'''&nbsp; Die Betragsfunktion lautet:
 
'''(4)'''&nbsp; Die Betragsfunktion lautet:
$$|H(f)| = \sqrt{{\rm Re}[H(f)]^2 + {\rm Im}[H(f)]^2} =\\
+
$$|H(f)| = \sqrt{{\rm Re}[H(f)]^2 + {\rm Im}[H(f)]^2} $$
   = \sqrt{1 + 0.25 \cdot \cos^2(2 \pi f \cdot T_2)+ \cos(2 \pi f \cdot T_2) +  0.25 \cdot \sin^2(2 \pi f \cdot T_2)}=\\
+
$$ßRightarrow \; |H(f)|   = \sqrt{1 + 0.25 \cdot \cos^2(2 \pi f \cdot T_2)+ \cos(2 \pi f \cdot T_2) +  0.25 \cdot \sin^2(2 \pi f \cdot T_2)}
 
   = \sqrt{1.25 +  \cos(2 \pi f \cdot T_2) }.$$
 
   = \sqrt{1.25 +  \cos(2 \pi f \cdot T_2) }.$$
  
Für die Frequenz <i>f</i><sub>2</sub> = 0.25 kHz erhält man somit:
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Für die Frequenz $f_2 =0.25 \ \rm kHz$ erhält man somit:
 
$$|H(f)| = \sqrt{1.25 +  \cos(\frac{\pi}{2} ) }= \sqrt{1.25} = 1.118.$$
 
$$|H(f)| = \sqrt{1.25 +  \cos(\frac{\pi}{2} ) }= \sqrt{1.25} = 1.118.$$
  
Die Phasenfunktion lautet allgemein bzw. bei der Frequenz <i>f</i><sub>2</sub>:
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Die Phasenfunktion lautet allgemein bzw. bei der Frequenz $f_2 =0.25 \ \rm kHz$:
 
$$b(f) = - {\rm arctan}\hspace{0.1cm}\frac{{\rm Im}[H(f)]}{{\rm
 
$$b(f) = - {\rm arctan}\hspace{0.1cm}\frac{{\rm Im}[H(f)]}{{\rm
 
Re}[H(f)]} = - {\rm arctan}\hspace{0.1cm}\frac{-0.5 \cdot \sin(2
 
Re}[H(f)]} = - {\rm arctan}\hspace{0.1cm}\frac{-0.5 \cdot \sin(2
 
\pi f T_2)}{1+0.5 \cdot \cos(2 \pi f T_2)},$$
 
\pi f T_2)}{1+0.5 \cdot \cos(2 \pi f T_2)},$$
:$$b(f = f_2)  = - {\rm arctan}\hspace{0.1cm}\frac{-0.5 \cdot \sin(
+
$$b(f = f_2)  = - {\rm arctan}\hspace{0.1cm}\frac{-0.5 \cdot \sin(
 
\pi/2)}{1+0.5 \cdot \cos(\pi/2)}={\rm
 
\pi/2)}{1+0.5 \cdot \cos(\pi/2)}={\rm
 
arctan}\hspace{0.1cm}\frac{0.5}{1} = 0.464.$$
 
arctan}\hspace{0.1cm}\frac{0.5}{1} = 0.464.$$
  
:Damit beträgt die Phasenlaufzeit für diese Frequenz:
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Damit beträgt die Phasenlaufzeit für diese Frequenz:
:$$\tau_2 = \frac {b(f_2)}{2 \pi f_2}  = \frac {0.464}{2 \pi \cdot
+
$$\tau_2 = \frac {b(f_2)}{2 \pi f_2}  = \frac {0.464}{2 \pi \cdot
 
0.25\,{\rm  kHz}} \approx 0.3\,{\rm  ms},$$
 
0.25\,{\rm  kHz}} \approx 0.3\,{\rm  ms},$$
  
:und es gilt für das Ausgangssignal:
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und es gilt für das Ausgangssignal:
:$$y_2(t) = 1.118 \cdot \cos(2 \pi \cdot 0.25\,{\rm  kHz}\cdot (t -
+
$$y_2(t) = 1.118 \cdot \cos(2 \pi \cdot 0.25\,{\rm  kHz}\cdot (t -
 
0.3\,{\rm  ms})).$$
 
0.3\,{\rm  ms})).$$
  
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0.3\,{\rm  ms}) \approx 1.118 \cdot  0.891 \hspace{0.15cm}\underline{= 0.996}.$$
 
0.3\,{\rm  ms}) \approx 1.118 \cdot  0.891 \hspace{0.15cm}\underline{= 0.996}.$$
  
'''(5)'''&nbsp; Beide Frequenzen werden mit dem gleichen Dämpfungsfaktor <i>&alpha;</i> = 1.118 beaufschlagt; daher sind keine Dämpfungsverzerrungen festzustellen.
 
  
Mit <i>f</i><sub>3</sub> = 1.25 kHz und <i>T</i><sub>2</sub> = 1 ms ergibt sich für die Phasenfunktion:
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'''(5)'''&nbsp; Beide Frequenzen werden mit dem gleichen Dämpfungsfaktor $\alpha = 1.118$ beaufschlagt; daher sind keine Dämpfungsverzerrungen festzustellen. Mit $f_3 = 1.25 \ \rm kHz$ und $T_2 = 1 \ \rm ms$ ergibt sich für die Phasenfunktion:
 
$$b(f = f_3)  = - {\rm arctan}\hspace{0.1cm}\frac{-0.5 \cdot \sin(
 
$$b(f = f_3)  = - {\rm arctan}\hspace{0.1cm}\frac{-0.5 \cdot \sin(
 
2.5 \pi)}{1+0.5 \cdot \cos(2.5 \pi)}= 0.464 = b(f = f_2),$$
 
2.5 \pi)}{1+0.5 \cdot \cos(2.5 \pi)}= 0.464 = b(f = f_2),$$
  
also genau der gleiche Wert wie bei der Frequenz <i>f</i><sub>2</sub> = 0.25 kHz. Trotzdem kommt es aber nun zu Phasenverzerrungen, da für <i>f</i><sub>3</sub> die Phasenlaufzeit nur mehr <i>&tau;</i><sub>3</sub> = 60 &mu;s beträgt.
+
also genau der gleiche Wert wie bei der Frequenz $f_2 = 0.25 \ \rm kHz$. Trotzdem kommt es aber nun zu Phasenverzerrungen, da für $f_3$ die Phasenlaufzeit nur mehr $\tau = 60 &mu; \rm s$ beträgt.
  
 
Für das Ausgangssignal kann also geschrieben werden:
 
Für das Ausgangssignal kann also geschrieben werden:
 
$$y_3(t) = 1.118 \cdot \cos(2 \pi f_2 \cdot (t - 0.3\,{\rm  ms}) +
 
$$y_3(t) = 1.118 \cdot \cos(2 \pi f_2 \cdot (t - 0.3\,{\rm  ms}) +
 +
1.118
 +
\cdot \cos(2 \pi f_3 \cdot (t - 0.06\,{\rm  ms}) = $$
 +
$$\Rightarrow \; \; y_3(t) = 1.118 \cdot \cos(2 \pi f_2 \cdot (t - 0.3\,{\rm  ms}) +
 
1.118
 
1.118
 
\cdot \cos(2 \pi f_3 \cdot (t - 0.06\,{\rm  ms}) = \\
 
\cdot \cos(2 \pi f_3 \cdot (t - 0.06\,{\rm  ms}) = \\
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\cos(2 \pi f_3 \cdot  t - 27^\circ).$$
 
\cos(2 \pi f_3 \cdot  t - 27^\circ).$$
  
Es gibt also Phasenverzerrungen&nbsp;&#8658;&nbsp;<u>Antwort 3</u>, obwohl für beide Schwingungen <i>&phi;</i><sub>2</sub> = <i>&phi;</i><sub>3</sub> = 27&deg; gilt. Damit keine Phasenverzerrungen auftreten, müssten die Phasenlaufzeiten <i>&tau;</i><sub>2</sub> und <i>&tau;</i><sub>3</sub> gleich sein und die Phasenwerte <i>&phi;</i><sub>2</sub> und <i>&phi;</i><sub>3</sub> linear mit den zugehörigen Frequenzen ansteigen.
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Es gibt also Phasenverzerrungen &nbsp;&#8658;&nbsp; <u>Antwort 3</u>, obwohl für beide Schwingungen $\varphi_2 = \varphi_3= 27^\circ$ gilt. Damit keine Phasenverzerrungen auftreten, müssten  
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*die Phasenlaufzeiten $\tau_2$ und $\tau_3$  gleich sein,
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*die Phasenwerte $\varphi_2$ und $\varphi_3$ linear mit den zugehörigen Frequenzen ansteigen.
 
{{ML-Fuß}}
 
{{ML-Fuß}}
  

Revision as of 18:55, 3 February 2017

Zweiwegekanal

Der so genannte Zweiwegekanal wird durch folgende Impulsantwort charakterisiert (mit $T_1 < T_2$): $$h(t) = z_1 \cdot \delta ( t - T_1) + z_2 \cdot \delta ( t - T_2).$$

  • Bis auf wenige Kombinationen der Systemparameter $z_1$, $T_1$, $z_2$ und $T_2$ wird dieser Kanal zu linearen Verzerrungen führen.
  • Man spricht nur dann von einem verzerrungsfreien Kanal, wenn durch ihn kein einziges Eingangssignal verzerrt wird.
  • Das bedeutet: Auch bei einem verzerrenden Kanal kann es Sonderfälle geben, bei denen tatsächlich $y(t) = \alpha \cdot x(t - \tau)$ gilt.


Als Testsignale werden an den Systemeingang angelegt:

  • ein Diracpuls $x_1(t)$ im Zeitabstand $T_0 = 1 \ \rm ms$ gemäß
$$x_1(t) = \sum_{n = - \infty}^{+\infty} \delta ( t - n \cdot T_0) ,$$
dessen Spektralfunktion ebenfalls ein Diracpuls ist, und zwar mit Abstand $f_0 = 1/T_0 = 1 \ \rm kHz$:
$$X_1(f) = T_0 \cdot \sum_{k = - \infty}^{+\infty} \delta ( f - k \cdot f_0) ,$$
  • ein Cosinussignal mit der Frequenz $f_2 = 250 \ \rm Hz$:
$$x_2(t) = \cos(2 \pi \cdot f_2 \cdot t) ,$$
  • die Summe zweier Cosinussignale mit den Frequenzen $f_2 = 250 \ \rm Hz$ und $f_3 = 1250 \ \rm Hz$:
$$x_3(t) = \cos(2 \pi \cdot f_2 \cdot t) + \cos(2 \pi \cdot f_3 \cdot t) .$$

Hinweise:

  • Die Aufgabe gehört zum Kapitel Lineare Verzerrungen.
  • Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.
  • Um Ihnen einige Rechnungen zu ersparen, wird folgendes Ergebnis für den Parametersatz $z_1 = 1$, $T_1 = 0$, $z_2 =0.5$ und $T_2 = 1 \ \rm ms$ vorweggenommen:

$$|H(f = f_2)| = |H(f = f_3)| = \sqrt{1.25} \approx 1.118, \; \; \; \; b(f = f_2) = b(f = f_3) = \arctan (0.5) \approx 0.464.$$


Fragebogen

1

Welche der nachfolgenden Aussagen sind zutreffend?

Der Parametersatz „$z_1 = 1$, $T_1 = 0$, $z_2 =0$” ist der einzig mögliche zur Beschreibung des idealen Kanals.
Jeder verzerrungsfreie Kanal wird durch die beiden Kombinationen „$z_1 \ne 0, \; z_2 = 0 $” bzw. „„$z_1 = 0, \; z_2 \ne 0 $”
Die Werte „$z_1 \ne 0$” und „$z_2 \ne 0$” führen zu einem verzerrungsfreien Kanal, wenn $T_1$ und $T_2$ bestmöglich angepasst sind.

2

Es gelte $z_1 = 1$, $T_1 = 0$, $z_2 =0.5$ und $T_2 = 1 \ \rm ms$. Berechnen Sie den Frequenzgang $H(f)$ dieses Kanals. Welche Werte gibt es bei Vielfachen von $1 \ \rm kHz$?

${\rm Re}[H(f = n \cdot 1 \ {\rm kHz})] \ =$

${\rm Im}[H(f = n \cdot 1 \ {\rm kHz})] \ =$

3

Am Eingang des Systems mit gleichen Parametern wie in der Teilaufgabe (2) liegt nun der Diracpuls $x_1(t)$ an. Welche Aussagen treffen für das Ausgangssignal $y_1(t)$ zu?

$y_1(t)$ ist gegenüber $x_1(t)$ um eine Konstante gedämpft/verstärkt.
$y_1(t)$ ist gegenüber $x_1(t)$ verschoben.
$y_1(t)$ weist gegenüber $x_1(t)$ Verzerrungen auf.

4

Berechnen Sie das Signal $y_2(t)$ als Systemantwort auf das Cosinussignal $x_2(t)$. Welcher Signalwert tritt zum Zeitpunkt $t = 0$ auf?

$y_2(t = 0) \ =$

5

Welche Aussagen treffen bezüglich der Signale x3(t) und y3(t) zu?

$y_3(t)$ weist gegenüber $x_3(t)$ keine Verzerrungen auf.
$y_3(t)$ weist gegenüber $x_3(t)$ Dämpfungsverzerrungen auf.
$y_3(t)$ weist gegenüber $x_3(t)$ Phasenverzerrungen auf.


Musterlösung

(1)  Mit $z_1 = 1$, $T_1 = 0$ und $z_2 =0$ ist $h(t) = \delta(t)$ und dementsprechend $H(f) = 1$, so dass stets $y(t) = x(t)$ gelten wird. Jede verzerrungsfreie Kanalimpulsantwort $h(t))$ besteht aus einer einzigen Diracfunktion, zum Beispiel bei $t = T_1$. Dieser Fall ist im Modell durch $z_2 =0$ berücksichtigt. Damit lautet der Frequenzgang: $$H(f)= z_1\cdot {\rm e}^{-{\rm j}\cdot \hspace{0.05cm}2 \pi f T_1},$$

und es wird $y(t) = z_1 \cdot x(t- T_1)$ gelten. Dagegen wird der Kanal immer dann zu linearen Verzerrungen führen, wenn gleichzeitig $z_1$ und $z_2$ von $0$ verschieden sind. Richtig sind demnach die Aussagen 1 und 2.


(2)  Die Fouriertransformation der Impulsantwort $h(t)$ führt auf die Gleichung: $$H(f) = z_1\cdot {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}2 \pi f T_1}+ z_2\cdot {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}2 \pi f T_2} .$$

Mit erhält man daraus: $$H(f) =1 + 0.5 \cdot {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}2 \pi f T_2}.$$

Aufgeschlüsselt nach Real– und Imaginärteil liefert dies: $${\rm Re}[H(f)] = 1 + 0.5 \cdot \cos(2 \pi f \cdot 1\,{\rm ms}),$$ $${\rm Im}[H(f)] = -0.5 \cdot \sin(2 \pi f \cdot 1\,{\rm ms}).$$

Bei der Frequenz $f = f_1 =1 \ \rm kHz$ – und auch allen Vielfachen davon – ist der Realteil gleich 1.5 und der Imaginärteil verschwindet.


(3)  Aus diesem Ergebnis folgt weiter, dass bei allen Vielfachen von $f_1 =1 \ \rm kHz$ die Betragsfunktion $|H(f)|$ = 1.5 und die Phasenfunktion $b(f) = 0$ ist. Damit ist für diese diskreten Frequenzwerte auch die Phasenlaufzeit jeweils $0$.

Da aber das Spektrum $X_1(f)$ des Diracpulses genau bei diesen Frequenzen Spektrallinien aufweist, gilt $y_1(t) = 1.5 \cdot x_1(t)$. Damit ist allein die erste Antwort richtig.


(4)  Die Betragsfunktion lautet: $$|H(f)| = \sqrt{{\rm Re}[H(f)]^2 + {\rm Im}[H(f)]^2} $$ $$ßRightarrow \; |H(f)| = \sqrt{1 + 0.25 \cdot \cos^2(2 \pi f \cdot T_2)+ \cos(2 \pi f \cdot T_2) + 0.25 \cdot \sin^2(2 \pi f \cdot T_2)} = \sqrt{1.25 + \cos(2 \pi f \cdot T_2) }.$$

Für die Frequenz $f_2 =0.25 \ \rm kHz$ erhält man somit: $$|H(f)| = \sqrt{1.25 + \cos(\frac{\pi}{2} ) }= \sqrt{1.25} = 1.118.$$

Die Phasenfunktion lautet allgemein bzw. bei der Frequenz $f_2 =0.25 \ \rm kHz$: $$b(f) = - {\rm arctan}\hspace{0.1cm}\frac{{\rm Im}[H(f)]}{{\rm Re}[H(f)]} = - {\rm arctan}\hspace{0.1cm}\frac{-0.5 \cdot \sin(2 \pi f T_2)}{1+0.5 \cdot \cos(2 \pi f T_2)},$$ $$b(f = f_2) = - {\rm arctan}\hspace{0.1cm}\frac{-0.5 \cdot \sin( \pi/2)}{1+0.5 \cdot \cos(\pi/2)}={\rm arctan}\hspace{0.1cm}\frac{0.5}{1} = 0.464.$$

Damit beträgt die Phasenlaufzeit für diese Frequenz: $$\tau_2 = \frac {b(f_2)}{2 \pi f_2} = \frac {0.464}{2 \pi \cdot 0.25\,{\rm kHz}} \approx 0.3\,{\rm ms},$$

und es gilt für das Ausgangssignal: $$y_2(t) = 1.118 \cdot \cos(2 \pi \cdot 0.25\,{\rm kHz}\cdot (t - 0.3\,{\rm ms})).$$

Der Signalwert zum Nullzeitpunkt ist somit: $$y_2(t=0) = 1.118 \cdot \cos(-2 \pi \cdot 0.25\,{\rm kHz} \cdot 0.3\,{\rm ms}) \approx 1.118 \cdot 0.891 \hspace{0.15cm}\underline{= 0.996}.$$


(5)  Beide Frequenzen werden mit dem gleichen Dämpfungsfaktor $\alpha = 1.118$ beaufschlagt; daher sind keine Dämpfungsverzerrungen festzustellen. Mit $f_3 = 1.25 \ \rm kHz$ und $T_2 = 1 \ \rm ms$ ergibt sich für die Phasenfunktion: $$b(f = f_3) = - {\rm arctan}\hspace{0.1cm}\frac{-0.5 \cdot \sin( 2.5 \pi)}{1+0.5 \cdot \cos(2.5 \pi)}= 0.464 = b(f = f_2),$$

also genau der gleiche Wert wie bei der Frequenz $f_2 = 0.25 \ \rm kHz$. Trotzdem kommt es aber nun zu Phasenverzerrungen, da für $f_3$ die Phasenlaufzeit nur mehr $\tau = 60 \ μ \rm s$ beträgt.

Für das Ausgangssignal kann also geschrieben werden: $$y_3(t) = 1.118 \cdot \cos(2 \pi f_2 \cdot (t - 0.3\,{\rm ms}) + 1.118 \cdot \cos(2 \pi f_3 \cdot (t - 0.06\,{\rm ms}) = $$ $$\Rightarrow \; \; y_3(t) = 1.118 \cdot \cos(2 \pi f_2 \cdot (t - 0.3\,{\rm ms}) + 1.118 \cdot \cos(2 \pi f_3 \cdot (t - 0.06\,{\rm ms}) = \\ = 1.118 \cdot \cos(2 \pi f_2 \cdot t - 27^\circ) + 1.118 \cdot \cos(2 \pi f_3 \cdot t - 27^\circ).$$

Es gibt also Phasenverzerrungen  ⇒  Antwort 3, obwohl für beide Schwingungen $\varphi_2 = \varphi_3= 27^\circ$ gilt. Damit keine Phasenverzerrungen auftreten, müssten

  • die Phasenlaufzeiten $\tau_2$ und $\tau_3$ gleich sein,
  • die Phasenwerte $\varphi_2$ und $\varphi_3$ linear mit den zugehörigen Frequenzen ansteigen.