Difference between revisions of "Aufgaben:Exercise 5.4Z: On the Hanning Window"

Revision as of 15:19, 17 February 2017

In dieser Aufgabe sollen wichtige Eigenschaften des häufig verwendeten Hanning–Fensters hergeleitet werden. Die zeitkontinuierliche Darstellung im Intervall von $–T_{\rm P}/2$ bis $+T_{\rm P}/2$ lautet hier wie folgt: $$w(t)= {\rm cos}^2(\pi \cdot {t}/{T_{\rm P}})= 0.5\cdot \left(1 + {\rm cos}(2\pi \cdot {t}/{T_{\rm P}}) \right ) \hspace{0.05cm}.$$ Außerhalb des symmetrischen Zeitbereichs der Dauer $T_{\rm P}$ ist $w(t) \equiv 0$.

Die obere Grafik zeigt die zeitdiskrete Darstellung $w(\nu) = w({\nu} \cdot T_{\rm A})$, wobei $T_{\rm A}$ um den Faktor $N = 32$ kleiner ist als $T_{\rm P}$. Der Definitionsbereich der diskreten Zeitvariablen $ν$ reicht von $–16$ bis $+15$.

In der unteren Grafik ist die Fouriertransformierte $W(f)$ der zeitkontinuierlichen Fensterfunktion $w(t)$ logarithmisch dargestellt. Die Abszisse ist hierbei auf $f_{\rm A} = 1/T_{\rm P}$ normiert ist. Man erkennt:

Die äquidistanten Werte $W({\mu} \cdot f_{\rm A})$ sind $0$ mit Ausnahme von $μ = 0$ und $μ = ±1$.
Die Hauptkeule erstreckt sich somit auf den Frequenzbereich $|f| ≤ 2 · f_{\rm A}$.
$W(f)$ ist außerhalb der Hauptkeule betragsmäßig für $f = ±2.5 · f_{\rm A}$ am größten.
Somit gilt hier für den minimalen Abstand zwischen Haupt– und Seitenkeulen:

$$A_{\rm H/S} = 20 \cdot {\rm lg}\hspace{0.15cm} \frac{|W(0)|}{|W(2.5 \cdot f_{\rm A})|} \hspace{0.15cm}{\rm (in}\hspace{0.1cm}{\rm dB)}\hspace{0.05cm}.$$

Hinweise:

Die Aufgabe gehört zum Kapitel Spektralanalyse.
Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.

Fragebogen

$G(f_1 = 1 \ \text{kHz}) =$

$\text{V}$

$G(f_1 = 1.125 \ \text{kHz}) =$

$\text{V}$

	Zur Gewichtung wurde das Rechteckfenster verwendet.
	Zur Gewichtung wurde das Hanning–Fenster verwendet.
	Es wurde der DFT–Parameter $T_{\rm P} = 4\ \text{ms}$ verwendet.
	Das DFT–Spektrum $Y_{\rm A}(f)$ ist identisch mit dem Spektrum $X(f)$.

	$Y_{\rm B}(f)$ergibt sich bei Rechteckfensterung.
	$Y_{\rm B}(f)$ ergibt sich mit dem Hanning-Fenster.

Musterlösung

Solution

1. Richtig sind die Lösungsvorschläge 1 und 4:

Bei Verwendung des Hanning–Fensters müssten selbst dann drei Diracfunktionen zu erkennen sein, auch wenn $x(t)$ nur eine Frequenz beinhaltet ⇒ es wurde das Rechteckfenster verwendet.
Mit $T_{\rm P} = 4 \ \text{ms}$ ergibt sich für die Frequenzauflösung $f_{\rm A}= 1/T_{\rm P} = 0.25 \ \text{kHz}$ Damit liegt die Frequenz $f_2$ nicht im vorgegebenen Raster und $Y(f)$ würde sich aus sehr vielen Diraclinien zusammensetzen. Das heißt: die dritte Aussage ist falsch.
Wie aus der nachfolgenden Grafik hervorgeht, hat $x(t)$ die Periodendauer $T_{\rm 0} = 8 \ \text{ms}$. Wählt man den DFT–Parameter gleich $T_{\rm P} = 4 \ \text{ms}$ (oder ein ganzzahliges Vielfaches davon), so stimmt die periodische Fortsetzung ${\rm P}\{ x(t)\} $ im Intervall $|t| \leq T_{\rm P}/2$ mit $x(t)$ überein, so dass sich die Gewichtungsfunktion $w(t)$ nicht störend auswirkt: Das DFT–Spektrum $Y(f)$ stimmt somit mit dem tatsächlichen Spektrum überein.

2. Wegen $T_{\rm 0} = 8 \ \text{ms}$ setzt sich das Hanning–Spektrum $W(f)$ aus drei Diracfunktionen bei positiven Frequenzen und drei dazu achsensymmetrischen Diracs bei negativen Frequenzen zusammen. Für die positiven Frequenzen lautet die Spektralfunktion:

$$W(f) =0.5\cdot {\rm \delta}(f) + 0.25\cdot {\rm \delta}(f-f_{\rm A})+ 0.25\cdot {\rm \delta}(f+f_{\rm A})\hspace{0.05cm}.$$

Das Ausgangsspektrum ergibt sich aus der Faltung zwischen $X(f)$ und $W(f)$. Bei positiven Frequenzen ergeben sich nun vier Diracs mit folgenden Gewichten:

$$\begin{align*} G(f = 0.875\,{\rm kHz}) & = 1\, {\rm V}\cdot 0.25 = 0.250\, {\rm V}, \\ G(f = f_1 = 1.000\,{\rm kHz}) & = 1\, {\rm V}\cdot 0.5 + 0.5\, {\rm V}\cdot 0.25 \hspace{0.15 cm}\underline{ = 0.625\, {\rm V}}, \\ G(f = f_2 = 1.125\,{\rm kHz}) & = 1\, {\rm V}\cdot 0.25 + 0.5\, {\rm V}\cdot 0.5 \hspace{0.15 cm}\underline{= 0.500\, {\rm V}}, \\ G(f = 1.250\,{\rm kHz}) & = 0.5\, {\rm V}\cdot 0.25 = 0.125\, {\rm V} \hspace{0.05cm}.\end{align*}$$

Die folgende Grafik zeigt die Abschwächung der Ränder durch die Gewichtungsfunktion $w(t)$ des Hanning–Fensters.

3. Das Rechteck–Fenster liefert dann ein sehr stark verfälschtes Ergebnis, wenn die Fensterbreite $T_{\rm P}$ (wie hier) nicht an die Frequenz des Cosinussignals angepasst ist. In diesem Fall ist das Hanning–Fenster besser geeignet. Daraus folgt: Richtig ist der zweite Lösungsvorschlag.

@@ Line 3: / Line 3: @@
 }}
-[[File:P_ID1166__Sig_A_5_4_neu.png|250px|right|Beispiel für die Spektralanalyse]]
+[[File:P_ID1168__Sig_Z_5_4.png|250px|right|Hanning-Fenster]]
-Gegeben sei der prinzipielle Zeitverlauf eines periodischen Signals:
+In dieser Aufgabe sollen wichtige Eigenschaften des häufig verwendeten Hanning–Fensters hergeleitet werden. Die zeitkontinuierliche Darstellung im Intervall von $–T_{\rm P}/2$ bis $+T_{\rm P}/2$ lautet hier wie folgt:
+$$w(t)= {\rm cos}^2(\pi \cdot
-$$x(t)   =   A_1 \cdot \cos (2 \pi \cdot f_1 \cdot t)  +  A_2 \cdot \cos (2 \pi \cdot f_2 \cdot t) \hspace{0.05cm}.$$
+{t}/{T_{\rm P}})=  0.5\cdot \left(1 + {\rm cos}(2\pi \cdot
+{t}/{T_{\rm P}}) \right )
+\hspace{0.05cm}.$$
+Außerhalb des symmetrischen Zeitbereichs der Dauer $T_{\rm P}$ ist $w(t) \equiv 0$.
-Unbekannt und damit zu schätzen seien dessen Parameter $A_1$, $f_1$, $A_2$ und $f_2$.
+Die obere Grafik zeigt die zeitdiskrete Darstellung $w(\nu) = w({\nu}  \cdot T_{\rm A})$, wobei $T_{\rm A}$ um den Faktor $N = 32$ kleiner ist als $T_{\rm P}$. Der Definitionsbereich der diskreten Zeitvariablen $ν$ reicht von $–16$ bis $+15$.
-Nach Gewichtung des Signals mit der Fensterfunktion $w(t)$ wird das Produkt $y(t) = x(t) \cdot w(t)$ einer [[Signaldarstellung/Diskrete_Fouriertransformation_(DFT)|Diskreten Fouriertransformation]] (DFT) mit den Parametern $N = 512$ und $T_{\rm P}$ unterworfen. Die Zeitdauer $T_{\rm P}$ des zu analysierenden  Signalausschnitts kann vom Benutzer beliebig eingestellt werden.
+In der unteren Grafik ist die Fouriertransformierte $W(f)$ der zeitkontinuierlichen Fensterfunktion $w(t)$ logarithmisch dargestellt. Die Abszisse ist hierbei auf $f_{\rm A} = 1/T_{\rm P}$ normiert ist. Man erkennt:
+*Die äquidistanten Werte $W({\mu}  \cdot f_{\rm A})$ sind $0$ mit Ausnahme von $μ = 0$ und $μ = ±1$.
+*Die Hauptkeule erstreckt sich somit auf den Frequenzbereich $|f| ≤ 2 · f_{\rm A}$.
+*$W(f)$ ist außerhalb der Hauptkeule betragsmäßig für $f = ±2.5 · f_{\rm A}$ am größten.
+*Somit gilt hier für den minimalen Abstand zwischen Haupt– und Seitenkeulen:
-Für die Fensterung stehen folgende Funktionen zur Verfügung, die jeweils für $|t| > T_{\rm P}/2$ identisch 0 sind:
+$$A_{\rm H/S} = 20 \cdot {\rm lg}\hspace{0.15cm}
-*Das Rechteckfenster:
+ \frac{|W(0)|}{|W(2.5 \cdot f_{\rm A})|} \hspace{0.15cm}{\rm (in}\hspace{0.1cm}{\rm dB)}\hspace{0.05cm}.$$
-$${w} (\nu)   = \left\{ \begin{array}{c} 1 \\
-\\  \end{array} \right.\quad
-\begin{array}{*{10}c}    {\rm{f\ddot{u}r}}
-\\    \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c}
--N/2 \le \nu < N/2 \hspace{0.05cm}, \\
-{\rm sonst} \hspace{0.05cm}, \\
-\end{array}$$
-$$W(f) ={1}/{f_{\rm A}}\cdot {\rm si}(\pi \cdot
-{f}/{f_{\rm A}})\hspace{0.05cm},$$
-*das Hanning–Fenster:
-$${w} (\nu)   = \left\{ \begin{array}{c} 0.5 + 0.5 \cdot \cos (2 \pi \cdot {\nu}/{N}) \\
-\\  \end{array} \right.\quad
-\begin{array}{*{10}c}    {\rm{f\ddot{u}r}}
-\\    \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c}
--N/2 \le \nu < N/2 \hspace{0.05cm}, \\
-{\rm sonst} \hspace{0.05cm}, \\
-\end{array}$$
-$$W(f) ={0.5}/{f_{\rm A}}\cdot {\rm si}(\pi \cdot
-\frac{f}{f_{\rm A}})+ {0.25}/{f_{\rm A}}\cdot {\rm si}(\pi
-\cdot \frac{f-f_{\rm A}}{f_{\rm A}})+ {0.5}/{f_{\rm A}}\cdot
-{\rm si}(\pi \cdot \frac{f+f_{\rm A}}{f_{\rm A}})\hspace{0.05cm}.$$
-Beachten Sie, dass die Frequenzauflösung $f_{\rm A}$ gleich dem Kehrwert des einstellbaren Parameters $T_{\rm P}$ ist. $W(f)$ ist die Fouriertransformierte der zeitkontinuierlichen Fensterfunktion $w(t)$, während die oben angegebene Funktion $w(ν)$ die zeitdiskrete Gewichtungsfunktion angibt.
-Im Laufe der Aufgabe wird auf verschiedene Spektralfunktionen $Y(f)$ Bezug genommen, zum Beispiel auf
-$$Y_{\rm A}(f) = 1\, {\rm V}\cdot {\rm \delta} (f \pm  1\,\,{\rm kHz})+
-.5\,\, {\rm V}\cdot {\rm \delta} (f \pm  1.125\,\,{\rm kHz})
- \hspace{0.05cm}.$$
-In der obigen Grafik sind zwei weitere Spektralfunktionen $Y_{\rm B}(f)$ und $Y_{\rm C}(f)$ abgebildet, die sich ergeben, wenn ein $1 \ \text{kHz}$–Signal mittels DFT analysiert wird und der DFT–Parameter $T_{\rm P} = 8.5 \ \text{ms}$ ungünstig gewählt ist.
-Für eines der Bilder ist das Rechteckfenster zugrundegelegt, für das andere das Hanning–Fenster. Nicht angegeben wird, welche Spektralfunktion zu welchem Fenster gehört.
 ''Hinweise:''
@@ Line 62: / Line 31: @@
 <quiz display=simple>
+{Wie lautet $Y(f)$ bei Verwendung des Hanning–Fensters und  $T_{\rm P} = 8 \ \text{ms}$, wenn das Eingangsspektrum $X(f) = Y_{\rm A}(f)$ anliegt? Geben Sie die Gewichte der Diraclinien bei $f_1= 1\ \text{kHz}$ und $f_2 = 1.125\ \text{kHz}$ an.
+|type="{}"}
+$G(f_1 = 1 \ \text{kHz}) &nbsp;=$ { 0.625 3% } &nbsp;$\text{V}$
+$G(f_1 = 1.125 \ \text{kHz})  &nbsp;=$ { 0.5 3% } &nbsp;$\text{V}$
 {Welche der folgenden Aussagen treffen mit Sicherheit zu, wenn die DFT das Ausgangsspektrum $Y_{\rm A}(f)$ anzeigt?
@@ Line 70: / Line 44: @@
 + Das DFT–Spektrum $Y_{\rm A}(f)$ ist identisch mit dem Spektrum $X(f)$.
-{Wie lautet $Y(f)$ bei Verwendung des Hanning–Fensters und  $T_{\rm P} = 8 \ \text{ms}$, wenn das Eingangsspektrum $X(f) = Y_{\rm A}(f)$ anliegt? Geben Sie die Gewichte der Diraclinien bei $f_1= 1\ \text{kHz}$ und $f_2 = 1.125\ \text{kHz}$ an.
-|type="{}"}
-$G(f_1 = 1 \ \text{kHz}) &nbsp;=$ { 0.625 3% } &nbsp;$\text{V}$
-$G(f_1 = 1.125 \ \text{kHz})  &nbsp;=$ { 0.5 3% } &nbsp;$\text{V}$
 {Wir betrachten das $1\ \text{kHz}$–Cosinussignal $x(t)$. Welches Spektrum - $Y_{\rm B}(f)$ oder $Y_{\rm C}(f)$ – ergibt sich mit dem Rechteck– bzw. dem Hanning–Fenster, wenn der DFT-Parameter  $T_{\rm P} = 8.5 \ \text{ms}$ ungünstig gewählt ist?