Difference between revisions of "Aufgaben:Exercise 1.1Z: Sum of Two Ternary Signals"
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| − | Gegeben seien zwei dreistufige Nachrichtenquellen $X$ und $Y$, deren Ausgangssignale jeweils nur die Werte –1, 0 und +1 annehmen können. Die Signalquellen sind statistisch voneinander unabhängig. Eine einfache Schaltung bildet nun das Summensignal $S = X + Y$. | + | Gegeben seien zwei dreistufige Nachrichtenquellen $X$ und $Y$, deren Ausgangssignale jeweils nur die Werte $–1$, $0$ und $+1$ annehmen können. Die Signalquellen sind statistisch voneinander unabhängig. |
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| + | Bei der Signalquelle $X$ treten die Werte $–1$, $0$ und $+1$ mit gleicher Wahrscheinlichkeit auf. | ||
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{Wie groß sind die Auftrittswahrscheinlichkeiten der Signalwerte von $Y$? Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass $Y = 0$ ist ? | {Wie groß sind die Auftrittswahrscheinlichkeiten der Signalwerte von $Y$? Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass $Y = 0$ ist ? | ||
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| − | $Pr(Y=0) = $ { 0.5 3% } | + | $Pr(Y=0) \ = $ { 0.5 3% } |
| − | {Wieviele unterschiedliche Signalwerte $I$ kann das Summensignal $S$ annehmen? Welche sind dies? | + | {Wieviele unterschiedliche Signalwerte $(I)$ kann das Summensignal $S$ annehmen? Welche sind dies? |
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| − | $ I = $ { 5 3% } | + | $ I \ = $ { 5 3% } |
| − | {Mit welchen Wahrscheinlichkeiten treten die in | + | {Mit welchen Wahrscheinlichkeiten treten die in der Teilaufgabe (2) ermittelten Werte auf? Wie wahrscheinlich ist der Maximalwert $S_{\rm max}$? |
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| − | $ Pr(S = S_\max ) = $ { 0.0833 3% } | + | $ Pr(S = S_{\rm max} ) \ = $ { 0.0833 3% } |
Revision as of 14:01, 20 February 2017
Gegeben seien zwei dreistufige Nachrichtenquellen $X$ und $Y$, deren Ausgangssignale jeweils nur die Werte $–1$, $0$ und $+1$ annehmen können. Die Signalquellen sind statistisch voneinander unabhängig.
- Eine einfache Schaltung bildet nun das Summensignal $S = X + Y$.
Bei der Signalquelle $X$ treten die Werte $–1$, $0$ und $+1$ mit gleicher Wahrscheinlichkeit auf.
- Bei der Quelle ist $Y$ der Signalwert $0$ doppelt so wahrscheinlich wie die beiden anderen Werte $–1$ bzw. $+1$.
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Einige grundlegende Definitionen der Wahrscheinlichkeitsrechnung.
- Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.
- Lösen Sie die Teilaufgaben (3) und (4) nach der klassischen Definition. Berücksichtigen Sie trotzdem die unterschiedlichen Auftrittshäufigkeiten des Signals $Y$.
- Der Inhalt dieses Abschnitts ist in einem Lernvideo zusammengefasst:
Fragebogen
Musterlösung
- 1.Da die Wahrscheinlichkeiten von ±1 gleich sind und $Pr(Y = 0) = 2 * Pr(Y = 1)$ gilt, erhält man:
$Pr(Y = 1) + Pr(Y = 0) + Pr(Y = -1) = 1$
$ \Rightarrow 1/2*Pr(Y = 0) + Pr(Y = 0) + 1/2*Pr(Y = 0) = 1$
$ \Rightarrow PR(Y = 0) = 1/2 $
- 2. $S$ kann insgesamt 5 Werte annehmen, nämlich –2, –1, 0, +1 und +2
- 3.Da $Y$ nicht gleichverteilt ist, kann man hier die "klassische Definition der Wahrscheinlichkeit" (eigentlich) nicht anwenden.
Teilt man $Y$ jedoch gemäß dem Bild in vier Bereiche auf, wobei man zwei der Bereiche dem Ereignis $Y = 0$ zuordnet, so kann man die klassische Definition dennoch anwenden. Man erhält dann:
$Pr(S = 0) = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$,
$Pr(S = -1) = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}$,
$Pr(S = +1) = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}$,
$Pr(S = -2) = \frac{1}{12}, Pr(S = +2) = \frac{1}{12}$
$\Rightarrow Pr(S = S_\max) = 1/12 = 0.0833$.
- 4. Aus obiger Darstellung ist auch ersichtlich, dass das Differenzsignal $D$ und das Summensignal $S$ die gleichen Werte mit gleichen Wahrscheinlichkeiten annehmen. Dies war zu erwarten, da $Pr(Y = +1)$ gleich $Pr(Y = –1)$ vorgegeben ist ⇒ Lösungsvorschlag 1.
