Aufgaben:Exercise 2.2Z: Discrete Random Variables

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Gegeben seien drei diskrete Zufallsgrößen $a$, $b$ und $c$, die als die Momentanwerte der dargestellten Signale definiert seien. Diese besitzen folgende Eigenschaften:

• Die Zufallsgröße $a$ kann die Werte $+1$ und $-1$ mit gleicher Wahrscheinlichkeit annehmen.
• Auch die Zufallsgröße $b$ ist zweipunktverteilt, aber mit ${\rm Pr}(b = 1) = p$ und ${\rm Pr}(b = 0) = 1 - p$.
• Die Wahrscheinlichkeiten von $c$ seien ${\rm Pr}(c = 0) = 1/2$ und ${\rm Pr}(c = +1) = Pr(c = -1) =1/4$.
• Zwischen diesen drei Zufallsgrößen $a$, $b$ und $c$ bestehen keine statistischen Abhängigkeiten.
• Aus den Zufallsgrößen $a$, $b$ und $c$ wird eine weitere Zufallsvariable $d=a-2 b+c$ gebildet.

Die Grafik zeigt Ausschnitte dieser vier Zufallsgrößen. Es ist zu erkennen, dass $d$ alle ganzzahligen Werte zwischen $-4$ und $+2$ annehmen kann.

Hinweise:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel Momente einer diskreten Zufallsgröße.
• Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.
• Eine Zusammenfassung der Theamatik bietet das folgende Lernvideo:

Bedeutung und Berechnung der Momente bei diskreten Zufallsgrößen

Fragebogen

1

Wie groß ist die Streuung der Zufallsgröße $a$?

$\sigma_a \ =$

2

Wie groß ist die Streuung der Zufallsgröße $b$? Setzen Sie $p = 0.25$.

$p = 0.25\hspace{-0.1cm}:\hspace{0.3cm} \sigma_b \ =$

3

Wie groß ist die Streuung der Zufallsgröße $c$?

$\sigma_c \ =$

4

Berechnen Sie den Mittelwert $m_d$ der Zufallsgröße $d$ für $p = 0.25$.

$p = 0.25\hspace{-0.1cm}:\hspace{0.3cm} m_d\ =$

5

Wie groß ist der quadratische Mittelwert $m_{2d}$ dieser Zufallsgröße.

$p = 0.25\hspace{-0.1cm}:\hspace{0.3cm} m_\text{2d}$ =

6

Wie groß ist die Streuung $\sigma_d$>?

$p = 0.25\hspace{-0.1cm}:\hspace{0.3cm} \sigma_d$ =

Musterlösung

Solution

1.  Aufgrund der Symmetrie gilt:

$$\rm \it m_{\it a}=\rm 0; \hspace{0.5cm}\it m_{\rm 2\it a}=\rm 0.5\cdot (-1)^2 + 0.5\cdot (1)^2{ = 1}.$$

Daraus erhält man mit dem Satz von Steiner:

$$\it\sigma_a^{\rm 2} = \rm\sqrt{1-0^2}=1 \hspace{0.5cm}bzw. \hspace{0.5cm}\it\sigma_a\hspace{0.15cm} \underline{=\rm 1}.$$

2.  Allgemein gilt für das Moment k-ter Ordnung:

$$ \it m_{\it k}=(\rm 1-\it p)\rm \cdot 0^{\it k} + \it p\cdot \rm 1^{\it k}=\it p.$$

Daraus folgt mit p = 1/4:

$$\it m_{\it b}= \it m_{\rm 2\it b}= \it p, \hspace{0.5cm} \it \sigma_{\it b}=\sqrt{\it p\cdot (\rm 1- p)}\hspace{0.15cm} \underline{=\rm 0.433} .$$

3.  Für die Zufallsgröße c gilt:

$$\rm \it m_{\it c} = \rm 0\hspace{0.1cm} (symmetrisch\hspace{0.1cm}um\hspace{0.1cm}0), \hspace{0.5cm}\it m_{\rm 2\it c}= \rm \frac{1}{4}\cdot(-1)^2+\frac{1}{2}\cdot 0^2+\frac{1}{4}\cdot (1)^2=\frac{1}{2}.$$

$$ \Rightarrow \hspace{0.5cm}\sigma_{\it c}=\rm \sqrt{1/2}\hspace{0.15cm} \underline{=0.707}.$$

4.  Nach den allgemeinen Regeln für Erwartungswerte gilt mit p = 0.25:

$$m_{\it d} = \rm E[\it a-\rm 2\it b+\it c]=\rm E[\it a] \hspace{0.1cm} -\hspace{0.1cm}\rm 2 \hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm}\rm E[\it b]\hspace{0.1cm}+\hspace{0.1cm}\rm E[\it c] \\ = \it m_{\it a}\hspace{0.1cm}-\hspace{0.1cm}\rm 2\hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm}\it m_{\it b}\hspace{0.1cm}+\hspace{0.1cm}\it m_{\it c} = \rm 0-2\hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm}\it p + \rm 0 \hspace{0.15cm} \underline{= -0.5}.$$

5.  Analog zu Punkt 4. erhält man für den quadratischen Mittelwert:

$$m_{\rm 2\it d}=\rm E[( a-\rm 2\it b+\it c)^{\rm 2}] = \rm E[\it a^{\rm 2}]\hspace{0.1cm}+\hspace{0.1cm}\rm 4\hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm}\rm E[\it b^{\rm 2}]\hspace{0.1cm}+\hspace{0.1cm}\rm E[\rm \it c^{\rm 2}]\hspace{0.1cm}\\ - \hspace{0.1cm}\rm 4\hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm}\rm E[\it a\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}b]\hspace{0.1cm}+\hspace{0.1cm}\rm 2\hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm}\rm E[\it a\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}c]\hspace{0.1cm}-\hspace{0.1cm}\rm 4\hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm}\rm E[\it b\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}c].$$

Da aber a und b statistisch voneinander unabhängig sind, gilt auch:

$$\rm E[\it a\cdot b] = \rm E[\it a] \cdot \rm E[\it b]= \it m_{\it a}\cdot \it m_{\it b} = \rm 0, \hspace{0.1cm} da\hspace{0.1cm} \it m_{\it a}=\rm 0.$$

Gleiches gilt für die anderen gemischten Terme. Daher erhält man mit p = 0.25:

$$ \it m_{\rm 2\it d}=\it m_{\rm 2\it a}+\rm 4\cdot\it m_{\rm 2\it b}+\it m_{\rm 2\it c}=\rm 1+4\cdot \it p+\rm 0.5\hspace{0.15cm} \underline{=\rm 2.5}.$$

6.  Für allgemeines p bzw. für p = 0.25 ergibt sich:

$$\it \sigma_{\it d}^{\rm 2}=\rm1.5+4\cdot \it p - \rm 4 \cdot \it p^{\rm 2}=\rm 2.25 \hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm} \it \sigma_{\it d}\hspace{0.15cm} \underline{=\rm 1.5}.$$

Die maximale Varianz ergäbe sich für p = 0.5 zu σ_d² = 2.5.