Aufgaben:Exercise 3.3: Moments for Cosine-square PDF

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Wie in Aufgabe 3.1 und Aufgabe 3.2 betrachten wir die auf den Wertebereich von $-2$ bis $+2$ beschränkte Zufallsgröße $x$ mit folgender WDF in diesem Abschnitt: $$f_x(x)= {1}/{2}\cdot \cos^2({\pi}/{4}\cdot { x}).$$

Daneben betrachten wir eine zweite Zufallsgröße $y$ , die nur Werte zwischen $0$ und $2$ mit folgender WDF liefert: $$f_y(y)=\sin^2({\pi}/{2}\cdot y).$$

Beide Dichtefunktionen sind in der Grafik dargestellt. Außerhalb der Bereiche $-2 < x < +2$   bzw.   $0 < x < +2$ gilt jeweils $f_x(x) = 0$   bzw.   $f_y(y) = 0$.

Weiter ist anzumerken, dass die beiden Zufallsgrößen als (normierte) Momentanwerte der zugehörigen Zufallssignale $x(t)$ bzw. $y(t)$ aufgefasst werden können.

Hinweise:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel Erwartungswerte und Momente.
• Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.
• Für die Lösung dieser Aufgabe können Sie das folgende unbestimmte Integral benutzen:

$$x^{2}\cdot {\cos}(ax)\,{\rm d}x=\frac{2 x}{ a^{ 2}}\cdot \cos(ax)+\frac({x^{\rm 2}}{\it a} - \frac{\rm 2}{\it a^{\rm 3}})\cdot \rm sin(\it ax \rm ) .$$

Fragebogen

1

Welche der folgenden Aussagen treffen bei jeder beliebigen WDF $f_x(x)$ zu?
Verwendet sind folgende Größen:   $m_1$: linearer Mittelwert, $m_2$: quadratischer Mittelwert, $\sigma^2$: Varianz.

	$m_2 = 0$,   falls $m_1 \ne 0$.
	$m_2 = 0$,   falls $m_1 = 0$.
	$m_1 = 0$,   falls $m_2 = 0$.
	$m_2 > \sigma^2$,   falls $m_1 \ne 0$.
	$m_1 = 0$,   falls $f_x(-x) = f_x(x)$.
	$f_x(-x) = f_x(x)$,   falls $m_1 = 0$.

2

Wie groß ist der Gleichanteil (lineare Mittelwert) des Signals $x(t)$?

$m_x \ = $

3

Wie groß ist der Effektivwert des Signals $x(t)$?

$\sigma_x \ = $

4

Die Zufallsgröße $y$ lässt sich aus $x$ ableiten. Welche Zuordnung gilt?

	$y = 1+x/2.$
	$y = 2x.$
	$y = x/2-1.$

5

Wie groß ist der Gleichanteil des Signals $y(t)$?

$m_y\ = $

6

Wie groß ist der Effektivwert des Signals $y(t)$?

$\sigma_y\ = $

Musterlösung

Solution

1.  Unter allen Umständen richtig sind die Aussagen 3, 4 und 5. Die erste Aussage ist nie erfüllt, wie aus dem Satz von Steiner ersichtlich ist. Die zweite Aussage gilt nur in dem einen Sonderfall x = 0. Es gibt aber auch mittelwertfreie Zufallsgrößen mit unsymmetrischer WDF. Das bedeutet: Die Aussage 6 trifft nicht immer zu.

2.  Aufgrund der WDF-Symmetrie bezüglich x = 0 ergibt sich für den linearen Mittelwert m_x = 0.

3.  Der Effektivwert des Signals x(t) ist gleich der Streuung σ_x bzw. gleich der Wurzel aus der Varianz σ_x². Da die Zufallsgröße x den Mittelwert m_x = 0 aufweist, ist die Varianz nach dem Satz von Steiner gleich dem quadratischen Mittelwert. Dieser wird in Zusammenhang mit Signalen auch als die Leistung (bezogen auf 1 Ω) bezeichnet. Somit gilt:

$$\sigma_x^{\rm 2}=\int_{-\infty}^{+\infty}x^{\rm 2}\cdot f_x(x)\hspace{0.1cm}{\rm d}x=2 \cdot \int_{\rm 0}^{\rm 2}\frac{x^{\rm 2}}{\rm 2}\cdot \rm cos^2(\frac{\pi}{\rm 4}\cdot\it x)\it\hspace{0.1cm} {\rm d}x.$$

Mit der Beziehung cos²(α) = 0.5 · (1 + cos(2α)) folgt daraus:

$$\sigma_x^{\rm 2}=\int_{\rm 0}^{\rm 2}\frac{x^{\rm 2}}{\rm 2}\it \hspace{0.1cm}{\rm d}x + \int_{\rm 0}^{\rm 2}\frac{x^{\rm 2}}{\rm 2}\rm\cdot cos(\frac{\pi}{\rm 2}\cdot\it x)\it \hspace{0.1cm} {\rm d}x.$$

Diese beiden Standardintegrale findet man in Tabellen (bzw. auf dem Angabenblatt). Man erhält mit a = π/2:

$$\sigma_x^{\rm 2}=\left[\frac{x^{\rm 3}}{\rm 6} + \frac{x}{a^2}\cdot {\rm cos}(a \cdot \it x) + \left( \frac{x^{\rm2}}{{\rm2}a} - \frac[[:Template:\rm 1]]{a^{\rm3}} \right){\rm sin}(a \cdot \it x)\right]_{x=0}^{x=2}$$

$$\Rightarrow \hspace{0.5cm} \sigma_{x}^{\rm 2}=\frac{\rm 4}{\rm 3}-\frac{\rm 8}{\rm \pi^2}\approx 0.524\hspace{0.5cm} \Rightarrow \hspace{0.5cm}\sigma_x \hspace{0.15cm}\underline{\approx 0.722}.$$

4.  Richtig ist der erstgenannte Vorschlag. Die Variante y = 2x würde eine zwischen -4 und +4 verteilte Zufallsgröße liefern. Beim letzten Vorschlag wäre der Mittelwert m_y = –1.

5.  Aus der Grafik auf dem Angabenblatt ist bereits offensichtlich, dass m_y = 1 gilt.

6.  Der Mittelwert ändert nichts an der Varianz und an der Streuung. Durch die Stauchung um den Faktor 2 wird die Streuung gegenüber Teilaufgabe c) ebenfalls um diesen Faktor kleiner:

$$\sigma_y=\sigma_x/\rm 2\hspace{0.15cm}\underline{\approx 0.361}.$$