Aufgaben:Exercise 3.7Z: Error Performance

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Jeder Betreiber von ISDN-Systemen muss gewisse Mindestanforderungen hinsichtlich der Bitfehlerquote (BER) einhalten, die zum Beispiel in der CCITT-Empfehlung G.821 unter dem Namen Error Performance spezifiziert sind.

Rechts sehen Sie einen Auszug aus dieser Empfehlung:

• Diese besagt unter Anderem, dass – über eine ausreichend lange Zeit gemittelt – mindestens 99.8% aller Einsekunden-Intervalle eine Bitfehlerquote kleiner $10^{-3}$ (ein Promille) aufweisen müssen.
• Bei einer Bitrate von 64 kbit/s entspricht dies der Bedingung, dass in einer Sekunde (und somit bei $N = 64\hspace{0.05cm}000$ übertragenen Symbolen) nicht mehr als 64 Bitfehler auftreten dürfen:

$$\rm Pr(\it f \le \rm 64) \ge \rm 0.998.$$

Hinweise:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel Gaußverteilte Zufallsgröße.
• Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.
• Gehen Sie für die ersten drei Teilaufgaben stets von der Bitfehlerwahrscheinlichkeit $p = 10^{-3}$ aus. In der gesamten Aufgabe gelte zudem $N = 64\hspace{0.05cm}000$.
• In der Aufgabe 3.7 wurde darauf hingewiesen, dass unter gewissen Bedingungen – die hier alle erfüllt sind – die Binomialverteilung durch eine Gaußverteilung mit gleichem Mittelwert und gleicher Streuung approximiert werden kann. Verwenden Sie diese Näherung bei der Teilaufgabe (4).

Fragebogen

1

Welche der folgenden Aussagen treffen hinsichtlich der Zufallsgröße $f$ zu?

	Die Zufallsgröße $f$ ist binomialverteilt.
	$f$ kann durch eine Poissonverteilung angenähert werden.

2

Welcher Wert ergibt sich für den Mittelwert der Zufallsgröße $f$?

$m_f \ = $

3

Wie groß ist die Streuung? Verwenden Sie geeignete Näherungen.

$\sigma_f \ = $

4

Berechnen Sie Wahrscheinlichkeit, dass nicht mehr als $64$ Bitfehler auftreten. Verwenden Sie hierzu die Gaußnäherung.

${\rm Pr}(f ≤ 64) \ = $

5

Wie groß darf die Bitfehlerwahrscheinlichkeit $p_\text{B, max}$ höchstens sein, damit die Bedingung „Nur in höchstens 0.2% der Einsekunden-Intervalle 64 (oder mehr) Bitfehler” eingehalten werden kann? Es gilt ${\rm Q}(2.9) \approx 0.002$.

$p_\text{B, max}\ = $

Musterlösung

Solution

1.  Beide Aussagen sind richtig. Bei f handelt es sich um den klassischen Fall einer binomialverteilten Zufallsgröße, nämlich der Summe über N Binärwerte (0 oder 1). Da das Produkt N · p = 64 und dadurch sehr viel größer als 1 ist, kann die Binomialverteilung mit guter Näherung durch eine Poissonverteilung mit der Rate λ = 64 angenähert werden.

2.  Der Mittelwert ergibt sich zu m_f = N · p = 64 unabhängig davon, ob man von der Binomial- oder der Poissonverteilung ausgeht.

3.  Für die Streuung erhält man:

$$\it \sigma_f=\rm\sqrt{\rm 64000\cdot 10^{-3}\cdot 0.999}\hspace{0.15cm}\underline{\approx\sqrt{64}=8}.$$

Der Fehler durch Anwendung der Poisson– anstelle der Binomialverteilung ist kleiner als 0.0005.

4.  Bei einer Gaußschen Zufallsgröße f mit Mittelwert 64 ist die Wahrscheinlichkeit Pr(f ≤ 64) etwa 50%. Anmerkung: Bei einer kontinuierlichen Zufallsgröße wäre die Wahrscheinlichkeit exakt 0.5. Da f nur ganzzahlige Werte annehmen kann, ist sie hier geringfügig größer.

5.  Mit λ = N · p lautet die entsprechende Bedingung:

$$\rm Q\big (\frac{\rm 64-\it \lambda}{\sqrt{\it \lambda}} \big )\le \rm 0.002\hspace{0.5cm}\rm bzw.\hspace{0.5cm}\frac{\rm 64-\it \lambda}{\sqrt{\it \lambda}}>\rm 2.9.$$

Der Maximalwert von λ kann nach folgender Gleichung ermittelt werden:

$$\it \lambda+\rm 2.9\cdot\sqrt{\it\lambda}-\rm 64 = \rm 0.$$

Die Lösung dieser quadratischen Gleichung lautet:

$$\sqrt{\it \lambda}=\frac{\rm -2.9\pm\rm\sqrt{\rm 8.41+256}}{\rm 2}=\rm 6.68.$$

Daraus folgt direkt λ = 44.6 und p_max = 0.69 · 10 ^–3. Die zweite Lösung obiger Gleichung ist negativ und muss nicht weiter berücksichtigt werden.