Aufgaben:Exercise 4.3Z: Dirac-shaped "2D-PDF"

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In der Grafik ist die zweidimensionale Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion $f_{xy}(x, y)$ der zwei diskreten Zufallsgrößen $x$ und $y$ dargestellt.

• Diese 2D–WDF besteht aus acht Diracpunkten, durch Kreuze markiert. Die Zahlenwerte geben die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten an.
• Es ist zu erkennen, dass sowohl $x$ als auch $y$ alle ganzzahligen Werte zwischen den Grenzen $-2$ und $+2$ annehmen können.
• Die Varianzen der beiden Zufallsgrößen sind wie folgt gegeben:   $\sigma_x^2 = 2$,   $\sigma_y^2 = 1.4$.

Hinweise:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel Zweidimensionale Zufallsgrößen.
• Bezuig genommen wird auch auf das Kapitel Momente einer diskreten Zufallsgröße
• Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.

Fragebogen

1

Welche der folgenden Aussagen trefen hinsichtlich der Zufallsgröße $x$ zu?

	Die Wahrscheinlichkeiten für $-2$, $-1$ $0$, $+1$ und $+2$ sind gleich.
	Die Zufallsgröße $x$ ist mittelwertfrei ($m_x = 0$).
	Die Wahrscheinlichkeit ${\rm Pr}(x \le 1)$ ist $0.9$.

2

Welche der folgenden Aussagen treffen hinsichtlich der Zufallsgröße $y$ zu?

	Die Wahrscheinlichkeiten für $-2$, $-1$ $0$, $+1$ und $+2$ sind gleich.
	Die Zufallsgröße $y$ ist mittelwertfrei ($m_y = 0$).
	Die Wahrscheinlichkeit ${\rm Pr}(y \le 1)$ ist $0.9$.

3

Berechnen Sie den Wert der zweidimensionalen VTF an der Stelle $(+1, +1)$.

$F_{xy}(+1, +1) \ =$

4

Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass $x \le 1$ gilt, unter der Bedingung, dass gleichzeitig $y \le 1$ ist.

${\rm Pr}(x ≤ 1\hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}y ≤ 1)\ =$

5

Berechnen Sie das gemeinsame Moment $m_{xy}$ der Zufallsgrößen $x$ und $y$.

$m_{xy}\ =$

6

Berechnen Sie den Korrelationskoeffizienten $\rho_{xy}$ und geben Sie die Gleichung der Korrelationsgeraden $K(x)$ an.
Wie groß ist deren Winkel zur $x$-Achse?

$\rho_{xy}\ =$

$\theta_{y\hspace{0.05cm}→\hspace{0.05cm} x}\ =$ $\ \rm Grad$

7

Welche der nachfolgenden Aussagen sind zutreffend?

	Die Zufallsgrößen $x$ und $y$ sind statistisch unabhängig.
	Man erkennt bereits aus der vorgegebenen 2D-WDF, dass $x$ und $y$ statistisch voneinander abhängen.
	Aus dem berechneten Korrelationskoeffizienten $\rho_{xy}$ kann man auf die statistische Abhängigkeit zwischen $x$ und $y$ schließen.

Musterlösung

Solution

1.  Die Randwahrscheinlichkeitsdichtefunktion f_x(x) erhält man aus der 2D–WDF f_xy(x, y) durch Integration über y. Für alle möglichen Werte x ∈ {–2, –1, 0, 1, 2} sind die Wahrscheinlichkeiten gleich 0.2, und es gilt Pr(x ≤ 1) = 0.8. Der Mittelwert ist m_x = 0. Richtig sind somit die beiden ersten Antworten.

2.  Durch Integration über x erhält man die rechts skizzierte WDF. Aufgrund der Symmetrie ergibt sich der Mittelwert m_y = 0. Die gesuchte Wahrscheinlichkeit Pr(y ≤ 1) ist 0.9. Richtig sind also die Lösungsvorschläge 2 und 3.

3. Definitionsgemäß gilt:

$$F_{xy}(r_x, r_y) = \rm Pr((\it x \le r_x)\cap(\it y\le r_y)).$$

Für r_x = r_y = 1 folgt daraus:

$$F_{xy}(\rm 1, \rm 1) = \rm Pr((\it x \le \rm 1)\cap(\it y\le \rm 1)).$$

Wie aus der 2D–WDF auf der Angabenseite zu ersehen, ist diese Wahrscheinlichkeit gleich 0.8.

4.  Hierfür kann mit dem Satz von Bayes auch geschrieben werden:

$$ \rm Pr(\it x \le \rm 1)\hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm} \it y \le \rm 1) = \frac{ \rm Pr((\it x \le \rm 1)\cap(\it y\le \rm 1))}{ \rm Pr(\it y\le \rm 1)} = \it \frac{F_{xy}(\rm 1, \rm 1)}{F_{y}(\rm 1)}.$$

Mit den Ergebnissen aus (2) und (3) folgt daraus Pr(x ≤ 1 | y ≤ 1) = 0.8/0.9 = 8/9 = 0.889.

5.  Entsprechend der Definition gilt für das gemeinsame Moment:

$$m_{xy} = \rm E[\it x\cdot y] = \sum\limits_{i} \rm Pr(\it x_i \cap y_i)\cdot \it x_i\cdot y_i. $$

Es verbleiben fünf Diracfunktionen mit x_i · y_i ≠ 0:

$$m_{xy} = \rm 0.1\cdot (-2) (-1) + 0.2\cdot(-1) (-1)+ 0.2\cdot 1\cdot 1 + 0.1\cdot 2\cdot 1+ 0.1\cdot 2\cdot 2\hspace{0.15cm}\underline{=\rm 1.2}.$$

6.  Für den Korrelationskoeffizienten gilt:

$$\rho_{xy} = \frac{\mu_{xy}}{\sigma_x\cdot \sigma_y} = \frac{1.2}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{1.4}}=0.717.$$

Hier ist berücksichtigt, dass wegen m_x = m_y = 0 die Kovarianz μ_xy gleich dem Moment m_xy ist.

Die Gleichung der Korrelationsgeraden lautet:

$$y=\frac{\sigma_y}{\sigma_x}\cdot \rho_{xy}\cdot x = \frac{\mu_{xy}}{\sigma_x^{\rm 2}}\cdot x = \rm 0.6\cdot \it x.$$

Im Bild ist die Gerade y = K(x) eingezeichnet. Der Winkel zwischen Korrelationsgerade und x-Achse beträgt θ_y→x = arctan(0.6) ≈ 31°.

7.  Bei statistischer Unabhängigkeit müsste f_xy(x, y) = f_x(x) · f_y(y) gelten, was hier nicht erfüllt ist. Aus der Korreliertheit (folgt aus ρ_xy = 0.6) kann direkt auf die statistische Abhängigkeit geschlossen werden, denn Korrelation bedeutet eine Sonderform (nämlich linear) der statistischen Abhängigkeit. Richtig sind die Lösungsvorschläge 2 und 3.