Difference between revisions of "Aufgaben:Exercise 5.3: 1st order Digital Filter"
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:$$\left\langle {x_\nu } \right\rangle = \left\langle {1,\;0,\;0,\;0,\;...} \right\rangle .$$ | :$$\left\langle {x_\nu } \right\rangle = \left\langle {1,\;0,\;0,\;0,\;...} \right\rangle .$$ | ||
− | + | Aufgrund dieser speziellen Eingangsfolge beschreibt die Folge $\left\langle {y_\nu } \right\rangle$ am Filterausgang gleichzeitig die zeitdiskrete Impulsantwort des Filters. Der Abstand der Abtastwerte beträgt hierbei $T_{\rm A} = 1 \hspace{0.05cm} \rm \mu s$. | |
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===Fragebogen=== | ===Fragebogen=== |
Revision as of 17:15, 18 April 2017
Wir betrachten die nebenstehende Filteranordnung mit den Koeffizienten $a_0$, $a_1$ und $b_1$, die jeweils Werte zwischen $0$ und $1$ annehmen können.
Das Eingangssignal $x(t)$ sei ein einziger Diracimpuls mit dem Einheitsgewicht „1” ⇒ $x(t) = \delta(t)$, was der folgenden zeitdiskreten Darstellung entspricht:
- $$\left\langle {x_\nu } \right\rangle = \left\langle {1,\;0,\;0,\;0,\;...} \right\rangle .$$
Aufgrund dieser speziellen Eingangsfolge beschreibt die Folge $\left\langle {y_\nu } \right\rangle$ am Filterausgang gleichzeitig die zeitdiskrete Impulsantwort des Filters. Der Abstand der Abtastwerte beträgt hierbei $T_{\rm A} = 1 \hspace{0.05cm} \rm \mu s$.
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Stochastische_Signaltheorie/Digitale_Filter|Digitale Filter]].
- Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.
Fragebogen
Musterlösung
- 1. Das Filter ist nichtrekursiv, wenn die Rückführung entfällt: b1 = 0. Sind zusätzlich a0 = 1 und a1 = 0, so sind die Folgen 〈xν〉 und 〈yν〉 und damit natürlich auch die Signale x(t) und y(t) gleich. Mit a0 = 0 und a1 = 1 ist y(t) = x(t – TA) um TA verzögert, mit a1 = 0.5 zusätzlich gedämpft. Verzögerung und Dämpfung haben jedoch keine Verzerrung zur Folge. Richtig sind somit die Lösungsvorschläge 2 und 3.
- 2. Zum Zeitpunkt ν = 0 ist yν = xν = 1. Für alle weiteren Zeitpunkte ν gilt xν = 0 und somit auch:
- $$y_\nu = b_1 \cdot y_{\nu - 1} = {b_1 }^\nu .$$
- Insbesondere ist y3 = b13 = 0.63= 0.216.
- 3. Entsprechend der Aufgabenstellung muss gelten:
- $$y_{M + 1} = {b_1} ^{M + 1} < 0.001.$$
- Dies führt zum Ergebnis:
- $$M + 1 \ge \frac{{\lg \left( {0.001} \right)}}{{\lg \left( {0.6} \right)}} = \frac{ - 3}{ - 0.222} \approx 13.51.\quad \Rightarrow \quad \hspace{0.15cm} \underline{M = 13}.$$
- Die Überprüfung der Werte y13 ≈ 0.0013 und y14 ≈ 0.0008 bestätigt dieses Ergebnis.
- 4. Aufgrund der Linearität des vorliegenden Filters erhält man das gleiche Ergebnis, wenn man das Filter gegenüber Punkt b) nicht verändert (a1 = 0) und dafür die Eingangsfolge
- $$\left\langle {x_\nu } \right\rangle = \left\langle {1,\; - 0.5,\;0,\;0,\;...} \right\rangle$$
- berücksichtigt. Man erhält dann allgemein für ν > 0:
- $$y_\nu = {b_1} ^\nu + a_1 \cdot {b_1} ^{\nu - 1} = \left( {b_1 + a_1 } \right) \cdot {b_1} ^{\nu - 1} .$$
- Mit b1 = 0.6 und a1 = –0.5 ergibt sich daraus
- $$y_\nu = 0.1\cdot {0.6} ^{\nu - 1} ,$$
- und somit die Folge:
- $$\left\langle {y_\nu } \right\rangle = \left\langle {1,\;0.1,\;0.06,\;0.036,\;...} \right\rangle .$$
- Der gesuchte Wert ist y4 = 0.036.