Aufgaben:Exercise 3.5Z: Kullback-Leibler Distance again

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Die Wahrscheinlichkeitsfunktion lautet:

$$P_X(X) = [\hspace{0.03cm}0.25\hspace{0.03cm}, \hspace{0.03cm} 0.25\hspace{0.03cm},\hspace{0.03cm} 0.25 \hspace{0.03cm}, \hspace{0.03cm} 0.25\hspace{0.03cm}]\hspace{0.05cm}$$

Die Zufallsgröße $X$ ist also gekennzeichnet durch

• den Symbolumfang $M=4$,
• gleiche Wahrscheinlichkeiten $P_X(1) = P_X(2) = P_X(3) = P_X(4) = 1/4$ .

Die Zufallsgröße $Y$ ist stets eine Näherung für $X$. Sie wurde per Simulation aus einer Gleichverteilung gewonnen, wobei jeweils nur $N$ Zufallswerte ausgewertet wurden. Das heißt: $P_Y(1)$, ... ,$P_Y(4)$ sind im herkömmlichen Sinn keine Wahrscheinlichkeiten. Sie beschreiben vielmehr relative Häufigkeiten.

Das Ergebnis der sechsten Versuchsreihe (mit $N=1000$) wird demnach durch die folgende Wahrscheinlichkeitsfunktion zusammengefasst:

$$P_Y(X) = [\hspace{0.05cm}0.225\hspace{0.05cm}, \hspace{0.05cm} 0.253\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0.250 \hspace{0.05cm}, \hspace{0.05cm} 0.272\hspace{0.05cm}] \hspace{0.05cm}$$

Bei dieser Schreibweise ist bereits berücksichtigt, dass die Zufallsgrößen $X$ und $Y$ auf dem gleichen Alphabet $X = \{1, 2, 3, 4\}$ basieren.

Mit diesen Voraussetzungen gilt für die relative Entropie (englisch: Informational Divergence) zwischen den beiden Wahrscheinlichkeitsfunktionen $P_X(.)$ und $P_Y(.)$ :

$$D(P_X \hspace{0.05cm}|| \hspace{0.05cm} P_Y) = {\rm E}_X \hspace{-0.1cm}\left [ {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{P_X(X)}{P_Y(X)}\right ] \hspace{0.2cm}=\hspace{0.2cm} \sum_{\mu = 1}^{M} P_X(\mu) \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{P_X(\mu)}{P_Y(\mu)} \hspace{0.05cm}.$$

Man bezeichnet $D( P_X\hspace{0.05cm} || \hspace{0.05cm}P_Y)$ als (erste) Kullback–Leibler–Distanz.

• Diese ist ein Maß für die Ähnlichkeit zwischen den beiden Wahrscheinlichkeitsfunktionen $P_X(.)$ und $P_Y(.)$.
• Die Erwartungswertbildung geschieht hier hinsichtlich der (tatsächlich gleichverteilten) Zufallsgröße $X$. Dies wird durch die Nomenklatur $E_X[.]$ angedeutet.

Eine zweite Form der Kullback–Leibler–Distanz ergibt sich durch die Erwartungswertbildung hinsichtlich der Zufallsgröße $Y \Rightarrow E_Y[.]$:

$$D(P_Y \hspace{0.05cm}|| \hspace{0.05cm} P_X) = {\rm E}_Y \hspace{-0.1cm} \left [ {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{P_Y(X)}{P_X(X)}\right ] \hspace{0.2cm}=\hspace{0.2cm} \sum_{\mu = 1}^M P_Y(\mu) \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{P_Y(\mu)}{P_X(\mu)} \hspace{0.05cm}.$$

Hinweise:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel Einige Vorbemerkungen zu den 2D-Zufallsgrößen.
• Insbesondere wird Bezug genommen auf die Seite Relative Entropie – Kullback-Leibler-Distanz.
• Die Angaben der Entropie $H(Y)$ und der Kullback–Leibler–Distanz $D( P_X \hspace{0.05cm}|| \hspace{0.05cm}P_Y)$ in obiger Grafik sind in „bit” zu verstehen.
• Die in der Grafik mit „???" versehenen Felder sollen von Ihnen in dieser Aufgabe ergänzt werden.
• Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.

Fragebogen

1

Welche Entropie besitzt die Zufallsgröße $X$ ?

$H(X)\ = \ $ $\ \rm bit$

2

Wie groß sind die Entropien der Zufallsgrößen $Y$ (Näherungen für $X$)?

$N=10^3\text{:} \ H(Y) \ = \ $ $\ \rm bit$

$N=10^2\text{:} \ H(Y) \ = \ $ $\ \rm bit$

$N=10^1\text{:} \ H(Y) \ = \ $ $\ \rm bit$

3

Berechnen Sie die folgenden Kullback–Leibler–Distanzen.

$N=10^3\text{:} \ D( P_X \hspace{0.05cm}|| \hspace{0.05cm} P_Y) \ = \ $ $\ \rm bit$

$N=10^2\text{:} \ D( P_X \hspace{0.05cm}|| \hspace{0.05cm} P_Y) \ = \ $ $\ \rm bit$

$N=10^1\text{:} \ D( P_X \hspace{0.05cm}|| \hspace{0.05cm} P_Y) \ = \ $ $\ \rm bit$

4

Liefert $D(P_Y\hspace{0.05cm}|| \hspace{0.05cm} P_X)$ jeweils exakt das gleiche Ergebnis?

	Ja.
	Nein.

5

Welche Aussagen gelten für die Kullback–Leibler–Distanzen bei $N = 4$?

	Es gilt $D(P_X \hspace{0.05cm}|| \hspace{0.05cm} P_Y) = 0$.
	Es gilt $D(P_X\hspace{0.05cm}|| \hspace{0.05cm} P_Y) = 0.5 \ \rm bit$
	$D(P_X\hspace{0.05cm}|| \hspace{0.05cm} P_Y)$ ist unendlich groß
	Es gilt $D(P_Y\hspace{0.05cm}|| \hspace{0.05cm} P_X) = 0$.
	Es gilt $D(P_Y\hspace{0.05cm}|| \hspace{0.05cm} P_X) = 0.5 \ \rm bit$.
	$D(P_Y\hspace{0.05cm}|| \hspace{0.05cm} P_X)$ ist unendlich groß.

6

Ändern sich sowohl $H(Y)$ als auch $D(P_X\hspace{0.05cm}|| \hspace{0.05cm} P_Y)$ monoton mit $N$?

	Ja,
	Nein.

Musterlösung

Solution

(1)  Bei gleichen Wahrscheinlichkeiten gilt mit $M = 4$:   $H(X) = {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} M \hspace{0.15cm} \underline {= 2\,{\rm (bit)}} \hspace{0.05cm}.$

(2)  Die Wahrscheinlichkeiten für die empirisch ermittelten Zufallsgrößen $Y$ weichen im Allgemeinen (nicht immer!) von der Gleichverteilung um so mehr ab, je kleiner der Parameter $N$ ist. Man erhält

• $N = 1000 \Rightarrow P_Y(Y) = [0.225, 0.253, 0.250, 0.272]$:

$$H(Y) \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm} 0.225 \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{1}{0.225} + 0.253 \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{1}{0.253} + 0.250 \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{1}{0.250} + 0.272 \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{1}{0.272} \hspace{0.15cm} \underline {= 1.9968\,{\rm (bit)}} \hspace{0.05cm},$$

• $N = 100\Rightarrow P_Y(Y) = [0.24, 0.16, 0.30, 0.30]$:

$$H(Y) = ... \hspace{0.15cm} \underline {= 1.9410\,{\rm (bit)}} \hspace{0.05cm},$$

• $N = 10 \Rightarrow P_Y(Y) = [0.5, 0.1, 0.3, 0.1]$:

$$H(Y) = ... \hspace{0.15cm} \underline {= 1.6855\,{\rm (bit)}} \hspace{0.05cm}.$$

(3)  Die Gleichung für die gesuchte Kullback–Leibler–Distanz lautet:

$$D(P_X \hspace{0.05cm}|| \hspace{0.05cm} P_Y) = \sum_{\mu = 1}^{4} P_X(\mu) \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{P_X(\mu)}{P_Y(\mu)} = \frac{1/4}{{\rm lg} \hspace{0.1cm}(2)} \cdot \left [ {\rm lg} \hspace{0.1cm} \frac{0.25}{P_Y(1)} + \frac{0.25}{P_Y(2)} + \frac{0.25}{P_Y(3)} + \frac{0.25}{P_Y(4)} \right ] $$

$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} D(P_X \hspace{0.05cm}|| \hspace{0.05cm} P_Y) = \frac{1}{4 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm}(2)} \cdot \left [ {\rm lg} \hspace{0.1cm} \frac{0.25^4}{P_Y(1) \cdot P_Y(2)\cdot P_Y(3)\cdot P_Y(4)} \right ] \hspace{0.05cm}.$$

Der Logarithmus zur Basis 2   ⇒   $\log_2(.)$ wurde zur einfachen Nutzung des Taschenrechners durch den Zehnerlogarithmus 2   ⇒   $\lg(.)$ ersetzt. Man erhält die folgenden numerischen Ergebnisse:

• für $N=1000$:

$$D(P_X \hspace{0.05cm}|| \hspace{0.05cm} P_Y) = \frac{1}{4 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm}(2)} \cdot \left [ {\rm lg} \hspace{0.1cm} \frac{0.25^4}{0.225 \cdot 0.253\cdot 0.250\cdot 0.272} \right ] \hspace{0.15cm} \underline {= 3.28 \cdot 10^{-3}\,{\rm (bit)}} \hspace{0.05cm},$$

• für $N=100$:

$$D(P_X \hspace{0.05cm}|| \hspace{0.05cm} P_Y) = \frac{1}{4 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm}(2)} \cdot \left [ {\rm lg} \hspace{0.1cm} \frac{0.25^4}{0.24 \cdot 0.16\cdot 0.30\cdot 0.30} \right ] \hspace{0.15cm} \underline {= 4.42 \cdot 10^{-2}\,{\rm (bit)}} \hspace{0.05cm},$$

• für $N=10$:

$$D(P_X \hspace{0.05cm}|| \hspace{0.05cm} P_Y) = \frac{1}{4 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm}(2)} \cdot \left [ {\rm lg} \hspace{0.1cm} \frac{0.25^4}{0.5 \cdot 0.1\cdot 0.3\cdot 0.1} \right ] \hspace{0.15cm} \underline {= 3.45 \cdot 10^{-1}\,{\rm (bit)}} \hspace{0.05cm}.$$

(4)  Richtig ist Nein, wie am Beispiel $N = 100$ gezeigt werden soll:

$$D(P_Y \hspace{0.05cm}|| \hspace{0.05cm} P_X) = \sum_{\mu = 1}^M P_Y(\mu) \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{P_Y(\mu)}{P_X(\mu)} = 0.24\cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{0.24}{0.25} + 0.16\cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{0.16}{0.25} +2 \cdot 0.30\cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{0.30}{0.25} = 0.0407\,{\rm (bit)}\hspace{0.05cm}.$$

In der Teilaufgabe (c) haben wir stattdessen $D(P_X\hspace{0.05cm}|| \hspace{0.05cm} P_Y) = 0.0442$ erhalten. Das bedeutet auch: Der Name „Distanz” ist etwas irreführend. Danach würde man eigentlich $D(P_Y\hspace{0.05cm}|| \hspace{0.05cm} P_X)$ = $D(P_X\hspace{0.05cm}|| \hspace{0.05cm} P_Y)$ erwarten.

(5)  Mit $P_Y(X) = [0, 0.25, 0.5, 0.25]$ erhält man:

$$D(P_X \hspace{0.05cm}|| \hspace{0.05cm} P_Y) = 0.25\cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{0.25}{0} + 2 \cdot 0.25\cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{0.25}{0.25}+0.25\cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{0.25}{0.50}\hspace{0.05cm}.$$

Aufgrund des ersten Terms ergibt sich für $D(P_X\hspace{0.05cm}|| \hspace{0.05cm}P_Y)$ ein unendlich großer Wert. Für die zweite Kullback–Leibler–Distanz gilt:

$$D(P_Y \hspace{0.05cm}|| \hspace{0.05cm} P_X) = 0\cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{0}{0.25} + 2 \cdot 0.25\cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{0.25}{0.25}+ 0.50\cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{0.5}{0.25} \hspace{0.05cm}.$$

Nach einer Grenzwertbetrachtung erkennt man, dass der erste Term das Ergebnis $0$ liefert. Auch der zweite Term ergibt sich zu $0$, und man erhält als Endergebnis:

$$D(P_Y \hspace{0.05cm}|| \hspace{0.05cm} P_X) = 0.50\cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} (2) \hspace{0.15cm} \underline {= 0.5\,{\rm (bit)}} \hspace{0.05cm}.$$

Richtig sind somit die Aussagen 3 und 5:

• Auch aus diesem Extrembeispiel wird deutlich, dass sich $D(P_Y\hspace{0.05cm}|| \hspace{0.05cm} P_X)$ stets von $D(P_X\hspace{0.05cm}|| \hspace{0.05cm} P_Y)$ unterscheidet.
• Nur für den Sonderfall $P_Y = P_X$ sind beide Kullback–Leibler–Distanzen gleich, nämlich Null.
• Die nebenstehende Tabelle zeigt das vollständige Ergebnis dieser Aufgabe.

(6)  Richtig ist Nein. Die Tendenz ist zwar eindeutig: Je größer $N$ ist,

• desto mehr nähert sich $H(Y)$ im Prinzip dem Endwert $H(X) = 2 \ \rm bit$ an.
• um so kleiner werden die Distanzen $D(P_X\hspace{0.05cm}|| \hspace{0.05cm} P_Y)$ und $D(P_Y\hspace{0.05cm}|| \hspace{0.05cm} P_X)$.

Man erkennt aus der Tabelle aber auch, dass es Ausnahmen gibt:

• Die Entropie $H(Y)$ ist für $N = 1000$ kleiner als für $N = 400$,
• Die Distanz $D(P_X\hspace{0.05cm}|| \hspace{0.05cm}P_Y)$ ist für $N = 1000$ größer als für $N = 400$.

Der Grund hierfür ist, dass das hier dokumentierte empirische Experiment mit $N = 400$ eher zu einer Gleichverteilung geführt hat als das Experiment mit $N = 1000$.

Würde man dagegen sehr (unendlich) viele Versuche mit $N = 400$ und $N = 1000$ starten und über diese mitteln, ergäbe sich tatsächlich der eigentlich erwartete monotone Verlauf.