Mobile Communications/Multi-Path Reception in Mobile Communications

1. Mobile Communications
2. Frequenzselektive Übertragungskanäle
3. Multi-Path Reception in Mobile Communications

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Zeitinvariante Beschreibung des Zweiwegekanals

Wir gehen von dem in der Grafik dargestellten Szenario aus. Dabei wird vorausgesetzt:

Zeitinvariante Betrachtung des Zweiwegekanals

• Sender und Empfänger sind ruhend. Dann ist sowohl die Kanal–Übertragungsfunktion als auch die Impulsantwort zeitunabhängig. Für alle Zeiten $t$ gilt $H(f, \hspace{0.05cm}t) = H(f)$ und $h(\tau, \hspace{0.05cm}t) = h(\tau)$.
  

• Ein Zweiwegekanal: Das Sendesignal $s(t)$ erreicht den Empfänger auf direktem Pfad mit der Weglänge $d_1$ und es gibt ein Echo aufgrund des reflektierenden Erdbodens (Distanz $d_2$).

Hinweis: Die hier behandelte Thematik ist Gegenstand des Applets Auswirkungen von Mehrwegeempfang.

Somit gilt für das Empfangssignal:

\[r(t) = r_1(t) + r_2(t) = k_1 \cdot s( t - \tau_1) + k_2 \cdot s( t - \tau_2) \hspace{0.05cm},\]

wobei die folgenden Aussagen zu beachten sind:

• Das über den Direktpfad empfangene Signal $r_1(t)$ ist gegenüber dem Sendesignal $s(t)$ um den Faktor $k_1$ gedämpft und um die Laufzeit $\tau_1$ verzögert.
  

• Der Dämpfungsfaktor $k_1$ wird mit dem Pfadverlustmodell berechnet. $k_1$ ist um so kleiner und somit der Verlust um so größer, je größer die Sendefrequenz $f_{\rm S}$, die Distanz $d_1$ und der Exponent $\gamma$ sind.
  

• Die Laufzeit $\tau_1 = d_1/c$ nimmt proportional mit der Wegelänge $d_1$ zu. Beispielsweise ergibt sich für die Distanz $d_1 = 3 \ \rm km$ mit der Lichtgeschwindigkeit $c = 3 \cdot 10^8 \ \rm m/s$ die Verzögerung $\tau_1 = 10 \ \rm \mu s$.
  

• Wegen der größeren Weglänge $(d_2 > d_1)$ weist der zweite Pfad eine größere Dämpfung auf   ⇒   kleinerer Vorfaktor   ⇒   $(|k_2| < |k_1|)$ und dementsprechend auch eine größere Laufzeit $(\tau_2 > \tau_1)$.
  

• Außerdem ist zu berücksichtigen, dass die Reflexion an Gebäuden oder dem Erdboden zu einer Phasendrehung um $\pi \ (180^\circ)$ führt. Damit wird der Faktor $k_2$ negativ. Im Folgenden wird allerdings das negative Vorzeichen von $k_2$ außer Acht gelassen.
  
  

Einfaches zeitinvariantes Modell des Zweiwegekanals

Für die Frequenzselektivität haben Pfadverlust (gekennzeichnet durch $k_1$) und Grundlaufzeit $\tau_1$ keine Bedeutung. Entscheidend sind hier Pfaddverlustunterschiede und Laufzeitdifferenzen.

Ersatzmodell für den Zweiwegekanal

Wir beschreiben nun den Zweiwegekanal mit den neuen Kenngrößen $k_0 = |k_2 /k_1 |$ und $\tau_0 = \tau_2 - \tau_1$ wie folgt:

\[r(t) = r_1(t) + k_0 \cdot r_1( t - \tau_0) \hspace{0.5cm}{\rm mit} \hspace{0.5cm} r_1(t) = k_1 \cdot s( t - \tau_1)\hspace{0.05cm}.\]

Die Grafik veranschaulicht die Gleichung.

Mit den weiteren Vereinfachungen $k_1 = 1$ und $\tau_1 = 0$   ⇒   $r_1(t) = s(t)$ erhält man:

\[r(t) = s(t) + k_0 \cdot s( t - \tau_0) \hspace{0.05cm}.\]

Aus diesem vereinfachten Modell (ohne den grau hinterlegten Block in der Grafik) lassen sich wichtige Beschreibungsgrößen einfach berechnen:

• Wendet man den Verschiebungssatz an, so kommt man zur Übertragungsfunktion

\[H(f) = {R(f)}/{S(f)} = 1 + k_0 \cdot {\rm e}^{ - {\rm j} \cdot 2 \pi f \cdot \tau_0} \hspace{0.05cm}.\]

• Durch Fourierrücktransformation erhält man dann die Impulsantwort

\[h(\tau) = 1 + k_0 \cdot \delta(\tau - \tau_0) \hspace{0.05cm}.\]

$\text{Beispiel 1:}$  Wir betrachten einen Zweiwegekanal mit Verzögerungszeit $\tau_0 = 2 \ \rm \mu s$ und verschiedene Dämpfungsfaktoren $k_0$ zwischen $0$ und $1$.

Betrag der Übertragungsfunktion eines Zweiwegekanals (τ₀ = 10 μs)

Die Grafik zeigt den Betrag der Übertragungsfunktion im Bereich zwischen $\pm 1000 \ \rm kHz$.

Man erkennt aus dieser Darstellung:

• Die Übertragungsfunktion $H(f)$ und auch deren Betrag ist periodisch mit $1/\tau_0 = 500 \ \rm kHz$.

• Diese Frequenzperiode ist hier gleichzeitig die sogenannte Kohärenzbandbreite .
  

• Die Schwankungen um den Mittelwert $\vert H(f) \vert = 1$ sind um so stärker, je größer der (relative) Beitrag $k_0$ des Nebenpfades (also das Echo) ist.

Kohärenzbandbreite in Abhängigkeit von M

Wir modifizieren nun das Zweiwegemodell dahingehend, dass wir mehr als zwei Pfade zulassen, wie es auch für den Mobilfunk zutrifft. Allgemein lautet somit das Mehrwege–Kanalmodell:

\[r(t) = \sum_{m = 1}^{M}\hspace{0.15cm} k_m \cdot s( t - \tau_m) \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} h(\tau) = \sum_{m = 1}^{M}\hspace{0.15cm} k_m \cdot \delta( \tau - \tau_m) \hspace{0.05cm}.\]

Wir vergleichen nun den Zweiwegekanal $(M = 2)$ mit den Parametern

\[\tau_1 = 1\,\,{\rm \mu s}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} k_1 = 0.8\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} \tau_2 = 3\,\,{\rm \mu s}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} k_2 = 0.6\]

und den folgenden Dreiwegekanal $(M = 3)$:

\[\tau_1 = 1\,\,{\rm \mu s}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} k_1 = 0.8\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} \tau_2 = 3\,\,{\rm \mu s}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} k_2 \approx 0.43\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} \tau_3 = 9\,\,{\rm \mu s}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} k_3 \approx 0.43 \hspace{0.05cm}.\]

Bei den gewählten Konstanten weisen beide Kanäle den quadratischen Mittelwert ${\rm E}[k_m^2] = 1$ auf.

Betragsfrequenzgang bei M = 2 (blau) und M = 3 (rot)

Die Grafik zeigt die Betragsfunktionen $ |H(f)|$ beider Kanäle und die zugehörigen Impulsantworten $h(\tau)$. Man erkennt aus diesen Darstellungen:

• Beim blauen Kanal $(M = 2)$ treten die Diracfunktionen in einem Bereich der Breite $\Delta \tau_{\rm max} = 2 \ \rm \mu s$ auf. Beim roten Kanal $(M = 3)$ ist dieser Wert viermal so groß:   $\Delta \tau_{\rm max} = 8 \ \rm \mu s$.
  

• Als erste Näherung für die noch zu definierende Kohärenzbandbreite $B_{\rm K}$ verwendet man oft $1/ \Delta \tau_{\rm max}$, die allerdings vom richtigen Wert um den Faktor $2$ und mehr abweichen kann.
  

• Die durch das Hochkomma bezeichnete einfache Näherung ergibt sich beim blauen Kanal zu $B_{\rm K}\hspace{0.01cm}'= 500 \ \rm kHz$, beim roten Kanal ist diese mit $B_{\rm K}\hspace{0.01cm}'= 125 \ \rm kHz$ um den Faktor $4$ kleiner.
  

• Allgemein gilt: Ist die Signalbandbreite $B_{\rm S} = 1/T_{\rm S}$ sehr viel kleiner als $B_{\rm K}$, so kann der Kanal für dieses System als nichtfrequenzselektiv betrachtet werden ($T_{\rm S}$ bezeichnet die Symboldauer).
  

• Anders ausgedrückt: Bei gegebenem $B_{\rm S}$ spielt die Frequenzselektivität eine um so größere Rolle, je kleiner die Kohärenzbandbreite $B_{\rm K}$ bzw. je größer die maximale Verzögerung $\Delta \tau_{\rm max}$ ist.
  

• Das bedeutet auch: Die Frequenzselektivität wird oft durch das längste Echo bestimmt. Viele kurze Echos mit der Gesamtenergie $E$ sind weniger störend als ein langes Echo gleicher Energie $E$.
  

Berücksichtigung der Zeitvarianz

Bisher wurden die Dämpfungsfaktoren k_m als konstant angenommen. Für den Mobilfunk ist dieses Kanalmodell aber nur dann richtig, wenn sich Sender und Empfänger nicht bewegen. Für einen sich bewegenden Teilnehmer müssen diese konstanten Faktoren k_m durch die zeitvarianten Größen z_m(t) ersetzt werden, die jeweils auf Zufallsprozessen basieren. Es ist zu beachten:

• Die Beträge der komplexen Gewichtsfaktoren z_m(t) sind rayleighverteilt entsprechend Kapitel 1.2 oder – bei Sichtverbindung – riceverteilt, wie in Kapitel 1.4 beschrieben.
  

• Die Bindungen innerhalb des Zufallsprozesses z_m(t) hängen über das Jakes–Spektrum mit den Mobilitätseigenschaften (Geschwindigkeit, Fahrtrichtung, usw.) zusammen.
  
  

Die obere Grafik zeigt das allgemeingültige Modell für den Mobilfunkkanal. „Allgemeingültig” allerdings nur unter Vorbehalt, wie auf der nächsten Seite ausgeführt wird. Zum Verständnis des Bildes verweisen wir auf das Kapitel 1.2. Zu beachten ist: Die M Hauptpfade des Modells sind gekennzeichnet durch große Laufzeitunterschiede, während die komplexen Koeffizienten z_m(t) sich aus der Summe vieler Nebenpfade ergeben, deren Verzögerungszeiten näherungsweise gleich τ_m sind.

In der unteren Grafik ist beispielhaft eine 2D–Impulsantwort dargestellt, wobei M = 3 zeitvariante Pfade berücksichtigt sind. Das Bild zeigt h(τ, t) in Abhängigkeit der Verzögerungszeit τ zu einem festen Zeitpunkt t, in der rechten Grafik ist die Betrachtungsrichtung um 90° gedreht. Aufgrund der farblichen Zuordnungen müsste die Darstellung verständlich sein.

Die Bildbeschreibung folgt auf der nächsten Seite.

Berücksichtigung der Zeitvarianz (2)

Untersuchungen haben ergeben, dass im Mobilfunk gleichzeitig nicht mehr als vier oder fünf Hauptpfade wirksam sind. Die nachfolgende Grafik gilt für M = 3 Pfade mit zeitvariantem Verhalten, bei denen die Empfangsleistung mit größer werdender Verzögerung im statistischen Mittel abnimmt. Dargestellt sind wie auf der vorherigen Seite zwei verschiedene Ansichten. Das linke Bild zeigt h(τ, t) in Abhängigkeit der Verzögerungszeit τ, in der rechten Grafik ist die Betrachtungsrichtung um 90° gedreht.

Für diese Grafik ist das Mobilfunkkanalmodell der letzten Seite zugrundegelegt. Man erkennt aus diesem Bild auch die Schwachstelle des Modells: Zwar sind die Koeffizienten z_m(t) variabel, aber die Verzögerungszeiten τ_m sind fest vorgegeben. Dies entspricht nicht der Realität, wenn die Funkverbindung aufgrund der sich bewegenden Mobilstation in einer sich ändernden Umgebung erfolgt.

Man hilft sich, indem man das Modell der letzten Seite wie folgt modifiziert:

• Man wählt die Anzahl M ' der (möglichen) Hauptpfade sehr viel größer, als es erforderlich wäre, und setzt τ_m = m · Δτ. Die inkrementelle (minimal auflösbare) Verzögerung Δτ = T_S ergibt sich aus der Abtastrate und damit der Bandbreite B_S = 1/T_S des Sendesignals.
  

• Die Maximalverzögerung τ_max = M ' · Δτ dieses modifizierten Kanalmodells ergibt sich aus dem Kehrwert der Kohärenzbandbreite B_K. Damit ist die Anzahl der zu berücksichtigenden Pfade durch M ' = B_S/B_K eindeutig festgelegt.
  
  

Auch hier liefern meist nicht mehr als 5 Pfade gleichzeitig einen relevanten Beitrag zur Impulsantwort. Der Vorteil gegenüber dem ersten Modell ist, dass für die Verzögerungen nun alle Werte τ_m ≤ τ_max mit einer zeitlichen Auflösung von Δτ möglich sind.

Am Ende von Kapitel 2.3 werden wir nochmals auf dieses allgemeine Modell zurückkommen.

Aufgaben

A2.2 Einfaches Zweiwege–Modell

Zusatzaufgaben:2.2 Realer Zweiwegekanal

A2.3 Noch ein Mehrwegekanal

A2.4 h(τ, t) und H(f, t)