Aufgaben:Exercise 3.3: Noise at Channel Equalization

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Wir betrachten zwei unterschiedliche Systemvarianten, die beide NRZ–Rechteck–Sendeimpulse benutzen und durch AWGN–Rauschen beeinträchtigt werden. In beiden Fällen wird zur Rauschleistungsbegrenzung ein Gaußtiefpass

$$H_{\rm G}(f) = {\rm exp}(- \pi \cdot \frac{f^2}{(2f_{\rm G})^2})$$

mit der normierten Grenzfrequenz $f_G \cdot T = 0.35$ verwendet, so dass beide Systeme mit $\ddot{o}(T_D = 0) = 0.478 \cdot s_0$ auch die gleiche Augenöffnung aufweisen. Die pro Bit aufgewendete Sendeenergie $E_B = s_0^2 \cdot T$ ist um den Faktor $10^9$ größer als die Rauschleistungsdichte $N_0$ ⇒ $10\cdot {\rm lg} \, E_B/N_0 = 90 \, {\rm dB}$. Die beiden Systeme unterscheiden sich wie folgt.

• Der Kanalfrequenzgang von System A ist frequenzunabhängig: $H_K(f) = \alpha$. Für das Empfangsfilter ist demnach $H_E(f) = H_G(f)/\alpha$ anzusetzen, so dass für die Detektionsrauschleistung gilt:

$$\sigma_d^2 = {N_0}/{2} \cdot \int_{-\infty}^{+\infty} |H_{\rm E}(f)|^2 \,{\rm d} f = \frac{N_0 \cdot f_{\rm G}}{\sqrt{2} \cdot \alpha^2} \hspace{0.05cm}.$$

• Dagegen ist für System B ein Koaxialkabel mit der charakteristischen Dämpfung (bei der halben Bitrate) $a_* = 80 \, {\rm dB}$ (bzw. $9.2 \, {\rm Np}$) vorausgesetzt, so dass für den Betragsfrequenzgang gilt:

$$|H_{\rm K}(f)| = {\rm exp}(- 9.2 \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}\sqrt{2 f T})\hspace{0.05cm}.$$

• Somit lautet die Gleichung für die Rauschleistungsdichte vor dem Entscheider (mit $f_G \cdot T = 0.35$):

$${\it \Phi}_{d{\rm N}}(f) = {N_0}/{2} \cdot \frac{|H_{\rm G }(f)|^2}{|H_{\rm K}(f)|^2} = {N_0}/{2} \cdot {\rm exp}\left [18.4 \cdot \sqrt{2 f T} - 2\pi \cdot \frac{(f \cdot T)^2}{(2 \cdot 0.35)^2} \right ] \hspace{0.05cm}.$$

Dieser Funktionsverlauf ist in obiger Grafik rot dargestellt. Die Rauchleistungsdichte für das System A ist blau gezeichnet.

Für das System B wurde messtechnisch die ungünstigste Fehlerwahrscheinlichkeit

$$p_{\rm U} = {\rm Q} \left( \sqrt{\rho_{\rm U}} \right) \hspace{0.2cm}{\rm mit} \hspace{0.2cm} \rho_{\rm U} = \frac{[\ddot{o}(T_{\rm D})/2]^2}{ \sigma_d^2}$$

bestimmt. Die Messung ergab $p_U = 4 \cdot 10^{\rm -8}$, was dem Störabstand $10 \cdot {\rm lg} \, \rho_U = 14.8 \, {\rm dB}$ entspricht.

Hinweis: Die Aufgabe bezieht sich auf das Kapitel 3.3.

Fragebogen

1

Welcher Störeffektivwert tritt bei System B auf?

${\rm System \, B\:} \sigma_d/s_0$ =

2

Welcher Störeffektivwert tritt bei System A auf, wenn dieses zur genau gleichen (ungünstigsten) Fehlerwahrscheinlichkeit wie das System A führt?

${\rm System \, A:} \sigma_d/s_0$ =

3

Mit welchem Dämpfungsfaktor \alpha ist das System A dem System B bezüglich der (ungünstigsten) Fehlerwahrscheinlichkeit äquivalent?

${\rm System \, A: 20 \cdot lg} \,\alpha$ = ${\rm dB}$

4

Wie groß ist die auf $N_0/2$ bezogene Rauschleistungsdichte (bei $f = 0$) vor dem Entscheider für das System A und System B?

${\rm System A:} \,\Phi_{\rm dN} (f = 0)/(N_0/2) $ = $\cdot 10^6$

${\rm System B:} \,\Phi_{\rm dN} (f = 0)/(N_0/2) $ = $\cdot 10^0$

5

Für den Rest der Aufgabe betrachten wir ausschließlich das System B. Bei welcher Frequenz $f_{\rm max} besitzt $\Phi_{\rm dN}(f)$ sein Maximum?

${\rm System B:} f_{\rm max} \cdot T$ =

6

Um welchen Faktor ist die Rauschleistungsdichte bei der Frequenz $f_{\rm max}$ größer als bei $f = 0$?

$\Phi_{\rm dN}(f_{\rm max}/\Phi_{\rm dN}(0)$ = $\cdot 10^6$

Musterlösung

Solution

(1)  (2)  (3)  (4)  (5)  (6)