Difference between revisions of "Aufgaben:Exercise 1.2Z: Bit Error Measurement"
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− | '''(4)''' | + | $$N = 64000{\rm :} \hspace{0.52cm} \varepsilon_{\rm rel}= \frac{h_{\rm B}- p_{\rm B}}{h_{\rm B}} |
− | '''(5)''' | + | = \frac{0.0779-0.0786}{0.0786}\hspace{0.1cm}\underline {\approx -0.9\% }\hspace{0.05cm}$$ |
− | '''(6)''' | + | $$N = 1600000{\rm :} \hspace{0.2cm} \varepsilon_{\rm rel}= \frac{h_{\rm B}- p_{\rm B}}{h_{\rm B}}= \frac{0.0782-0.0786}{0.0786}\hspace{0.1cm}\underline {\approx -0.5\% } \hspace{0.05cm}.$$ |
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+ | '''(4)''' Aufgrund der kleineren Fehlerwahrscheinlichkeit ergeben sich nun kleinere Werte als unter (2): | ||
+ | $$N = 64000{\rm :} \hspace{0.52cm} \sigma_h = \sqrt{{p}/{N}}= \sqrt{\frac{0.336 \cdot 10^{-4}}{6.4 \cdot 10^{4}}}\hspace{0.1cm}\underline {\approx | ||
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+ | $$ N = 1600000{\rm :} \hspace{0.2cm} \sigma_h = \sqrt{{p}/{N}}= \sqrt{\frac{0.336 \cdot 10^{-4}}{1.6 \cdot 10^{6}}}\hspace{0.1cm}\underline {\approx | ||
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+ | '''(5)''' Trotz der deutlich kleineren Streuung <i>σ<sub>h</sub></i> ergeben sich für 10 · lg <i>E</i><sub>B</sub>/<i>N</i><sub>0</sub> = 9 dB aufgrund der kleineren Fehlerwahrscheinlichkeit größere relative Abweichungen als für 10 · lg <i>E</i><sub>B</sub>/<i>N</i><sub>0</sub> = 0 dB: | ||
+ | $$N = 64000{\rm :} \hspace{0.52cm} \varepsilon_{\rm rel}= \frac{h_{\rm B}- p_{\rm B}}{h_{\rm B}}= \frac{0.625 \cdot 10^{-4} - 0.336 \cdot 10^{-4}}{0.336 \cdot 10^{-4}}\hspace{0.1cm}\underline { \approx 86\% } \hspace{0.05cm},$$ | ||
+ | $$N = 1600000{\rm :} \hspace{0.2cm} \varepsilon_{\rm rel}= \frac{h_{\rm B}- p_{\rm B}}{h_{\rm B}}= \frac{0.325 \cdot 10^{-4} - 0.336 \cdot 10^{-4}}{0.336 \cdot 10^{-4}}\hspace{0.1cm}\underline {\approx -3.3\%}\hspace{0.05cm}.$$ | ||
+ | '''(6)''' Die Anzahl <i>n</i><sub>B</sub> der gemessenen Bitfehler sollte mindestens 100 betragen. Deshalb gilt näherungsweise (Rundungsfehler sind zu berücksichtigen): | ||
+ | $$n_{\rm B} = {p_{\rm B}}\cdot {N} > 100 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} | ||
+ | p_{\rm B} > \frac{100}{1.6 \cdot 10^6} = 0.625 \cdot 10^{-4}\hspace{0.05cm}.$$ | ||
+ | Daraus folgt weiter, dass bei der Simulation für 10 · lg <i>E</i><sub>B</sub>/<i>N</i><sub>0</sub> <u>= 8 dB</u> noch ausreichend viele Bitfehler aufgetreten sind (<i>n</i><sub>B</sub> = 315), während für 10 · lg <i>E</i><sub>B</sub>/<i>N</i><sub>0</sub> = 9 dB im Mittel nur mehr <i>n</i><sub>B</sub> = 52 Fehler zu erwarten sind. Für diesen dB–Wert müsste etwa die doppelte Anzahl an Bits simuliert werden. | ||
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Revision as of 17:38, 24 October 2017
Die Bitfehlerwahrscheinlichkeit $$p_{\rm B} = {1}/{2} \cdot{\rm erfc} \left( \sqrt{\frac{E_{\rm B}}{N_0}}\right)$$ eines Binärsystems wurde durch eine Messung der Bitfehlerquote (BER) $$h_{\rm B} = \frac {n_{\rm B}}{N}$$ simulativ ermittelt. Oftmals wird hB auch Bitfehlerhäufigkeit genannt.
In obigen Gleichungen bedeuten
- EB : Energie pro Bit,
- N0 : AWGN–Rauschleistungsdichte,
- nB : Anzahl der aufgetretenen Bitfehler,
- N : Anzahl der simulierten Bit einer Versuchsreihe.
Die Tabelle zeigt die Ergebnisse einiger Versuchsreihen mit N = 64000, N = 128000 und N = 1.6 Millionen. Die letzte mit N → ∞ benannte Spalte gibt die Bitfehlerwahrscheinlichkeit pB wieder.
Im Fragebogen zur Aufgabe wird auf folgende Eigenschaften Bezug genommen:
- Die Bitfehlerhäufigkeit hB ist in erster Näherung eine gaußverteilte Zufallsgröße mit dem Mittelwert mh = pB und der Varianz σh2 ≈ pB/N.
- Die relative Abweichung der Bitfehlerhäufigkeit von der Wahrscheinlichkeit beträgt
$$\varepsilon_{\rm rel}= \frac {h_{\rm B}-p_{\rm B}}{p_{\rm B}}\hspace{0.05cm}.$$
- Als eine grobe Faustregel zur erforderlichen Genauigkeit gilt, dass die Anzahl nB der gemessenen Bitfehler mindestens 100 sein sollte.
Hinweis: Die Aufgabe bezieht sich auf den Lehrstoff von Kapitel 1.2 .
Fragebogen
Musterlösung
(2) Bei 10 · lg EB/N0 = 0 dB, also EB = N0, erhält man folgende Werte: $$N=64000{\rm :} \hspace{0.52cm} \sigma_h = \sqrt{{p}/{N}}= \sqrt{\frac{0.0786}{64000}}\hspace{0.1cm}\underline {\approx 1.1 \cdot10^{-3}}\hspace{0.05cm},$$ $$N = 1600000{\rm :} \hspace{0.2cm} \sigma_h = \sqrt{{p}/{N}}= \sqrt{\frac{0.0786}{1600000}}\hspace{0.1cm}\underline {\approx 2.2 \cdot10^{-4}}\hspace{0.05cm}.$$
(3) Hierfür ergeben sich mit 10 · lg EB/N0 = 0 dB folgende Werte: $$N = 64000{\rm :} \hspace{0.52cm} \varepsilon_{\rm rel}= \frac{h_{\rm B}- p_{\rm B}}{h_{\rm B}} = \frac{0.0779-0.0786}{0.0786}\hspace{0.1cm}\underline {\approx -0.9\% }\hspace{0.05cm}$$ $$N = 1600000{\rm :} \hspace{0.2cm} \varepsilon_{\rm rel}= \frac{h_{\rm B}- p_{\rm B}}{h_{\rm B}}= \frac{0.0782-0.0786}{0.0786}\hspace{0.1cm}\underline {\approx -0.5\% } \hspace{0.05cm}.$$
(4) Aufgrund der kleineren Fehlerwahrscheinlichkeit ergeben sich nun kleinere Werte als unter (2): $$N = 64000{\rm :} \hspace{0.52cm} \sigma_h = \sqrt{{p}/{N}}= \sqrt{\frac{0.336 \cdot 10^{-4}}{6.4 \cdot 10^{4}}}\hspace{0.1cm}\underline {\approx 2.3 \cdot 10^{-5}}\hspace{0.05cm},$$ $$ N = 1600000{\rm :} \hspace{0.2cm} \sigma_h = \sqrt{{p}/{N}}= \sqrt{\frac{0.336 \cdot 10^{-4}}{1.6 \cdot 10^{6}}}\hspace{0.1cm}\underline {\approx 4.6 \cdot10^{-6}}\hspace{0.05cm}.$$ (5) Trotz der deutlich kleineren Streuung σh ergeben sich für 10 · lg EB/N0 = 9 dB aufgrund der kleineren Fehlerwahrscheinlichkeit größere relative Abweichungen als für 10 · lg EB/N0 = 0 dB: $$N = 64000{\rm :} \hspace{0.52cm} \varepsilon_{\rm rel}= \frac{h_{\rm B}- p_{\rm B}}{h_{\rm B}}= \frac{0.625 \cdot 10^{-4} - 0.336 \cdot 10^{-4}}{0.336 \cdot 10^{-4}}\hspace{0.1cm}\underline { \approx 86\% } \hspace{0.05cm},$$ $$N = 1600000{\rm :} \hspace{0.2cm} \varepsilon_{\rm rel}= \frac{h_{\rm B}- p_{\rm B}}{h_{\rm B}}= \frac{0.325 \cdot 10^{-4} - 0.336 \cdot 10^{-4}}{0.336 \cdot 10^{-4}}\hspace{0.1cm}\underline {\approx -3.3\%}\hspace{0.05cm}.$$ (6) Die Anzahl nB der gemessenen Bitfehler sollte mindestens 100 betragen. Deshalb gilt näherungsweise (Rundungsfehler sind zu berücksichtigen): $$n_{\rm B} = {p_{\rm B}}\cdot {N} > 100 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} p_{\rm B} > \frac{100}{1.6 \cdot 10^6} = 0.625 \cdot 10^{-4}\hspace{0.05cm}.$$ Daraus folgt weiter, dass bei der Simulation für 10 · lg EB/N0 = 8 dB noch ausreichend viele Bitfehler aufgetreten sind (nB = 315), während für 10 · lg EB/N0 = 9 dB im Mittel nur mehr nB = 52 Fehler zu erwarten sind. Für diesen dB–Wert müsste etwa die doppelte Anzahl an Bits simuliert werden.