Difference between revisions of "Aufgaben:Exercise 1.2Z: Bit Error Measurement"

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'''(3)'''&nbsp;Hierfür ergeben sich mit 10 &middot; lg <i>E</i><sub>B</sub>/<i>N</i><sub>0</sub> = 0 dB folgende Werte:
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$$N  =  64000{\rm :} \hspace{0.52cm} \varepsilon_{\rm rel}= \frac{h_{\rm B}-  p_{\rm B}}{h_{\rm B}}
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= \frac{0.0779-0.0786}{0.0786}\hspace{0.1cm}\underline {\approx -0.9\% }\hspace{0.05cm}$$
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'''(4)'''&nbsp;Aufgrund der kleineren Fehlerwahrscheinlichkeit ergeben sich nun kleinere Werte als unter (2):
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$$N  =  64000{\rm :} \hspace{0.52cm} \sigma_h = \sqrt{{p}/{N}}= \sqrt{\frac{0.336 \cdot 10^{-4}}{6.4 \cdot 10^{4}}}\hspace{0.1cm}\underline {\approx
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$$ N  =  1600000{\rm :} \hspace{0.2cm} \sigma_h = \sqrt{{p}/{N}}= \sqrt{\frac{0.336 \cdot 10^{-4}}{1.6 \cdot 10^{6}}}\hspace{0.1cm}\underline {\approx
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'''(5)'''&nbsp;Trotz der deutlich kleineren Streuung <i>&sigma;<sub>h</sub></i> ergeben sich für 10 &middot; lg <i>E</i><sub>B</sub>/<i>N</i><sub>0</sub> = 9 dB aufgrund der kleineren Fehlerwahrscheinlichkeit größere relative Abweichungen als für 10 &middot; lg <i>E</i><sub>B</sub>/<i>N</i><sub>0</sub> = 0 dB:
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$$N  =  64000{\rm :} \hspace{0.52cm} \varepsilon_{\rm rel}= \frac{h_{\rm B}-  p_{\rm B}}{h_{\rm B}}= \frac{0.625 \cdot 10^{-4} - 0.336 \cdot 10^{-4}}{0.336 \cdot 10^{-4}}\hspace{0.1cm}\underline { \approx 86\% } \hspace{0.05cm},$$
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$$N  =  1600000{\rm :} \hspace{0.2cm} \varepsilon_{\rm rel}= \frac{h_{\rm B}-  p_{\rm B}}{h_{\rm B}}= \frac{0.325 \cdot 10^{-4} - 0.336 \cdot 10^{-4}}{0.336 \cdot 10^{-4}}\hspace{0.1cm}\underline {\approx -3.3\%}\hspace{0.05cm}.$$
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'''(6)'''&nbsp;Die Anzahl <i>n</i><sub>B</sub> der gemessenen Bitfehler sollte mindestens 100 betragen. Deshalb gilt näherungsweise (Rundungsfehler sind zu berücksichtigen):
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$$n_{\rm B} =  {p_{\rm B}}\cdot {N} > 100 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}
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p_{\rm B} > \frac{100}{1.6 \cdot 10^6} = 0.625 \cdot 10^{-4}\hspace{0.05cm}.$$
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Daraus folgt weiter, dass bei der Simulation für 10 &middot; lg <i>E</i><sub>B</sub>/<i>N</i><sub>0</sub> <u>= 8 dB</u> noch ausreichend viele Bitfehler aufgetreten sind (<i>n</i><sub>B</sub> = 315), während für 10 &middot; lg <i>E</i><sub>B</sub>/<i>N</i><sub>0</sub> = 9 dB im Mittel nur mehr <i>n</i><sub>B</sub> = 52 Fehler zu erwarten sind. Für diesen dB&ndash;Wert müsste etwa die doppelte Anzahl an Bits simuliert werden.
  
 
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Revision as of 17:38, 24 October 2017


P ID1265 Dig Z 1 2.png

Die Bitfehlerwahrscheinlichkeit $$p_{\rm B} = {1}/{2} \cdot{\rm erfc} \left( \sqrt{\frac{E_{\rm B}}{N_0}}\right)$$ eines Binärsystems wurde durch eine Messung der Bitfehlerquote (BER) $$h_{\rm B} = \frac {n_{\rm B}}{N}$$ simulativ ermittelt. Oftmals wird hB auch Bitfehlerhäufigkeit genannt.

In obigen Gleichungen bedeuten

  • EB : Energie pro Bit,
  • N0 : AWGN–Rauschleistungsdichte,
  • nB : Anzahl der aufgetretenen Bitfehler,
  • N : Anzahl der simulierten Bit einer Versuchsreihe.

Die Tabelle zeigt die Ergebnisse einiger Versuchsreihen mit N = 64000, N = 128000 und N = 1.6 Millionen. Die letzte mit N → ∞ benannte Spalte gibt die Bitfehlerwahrscheinlichkeit pB wieder.

Im Fragebogen zur Aufgabe wird auf folgende Eigenschaften Bezug genommen:

  • Die Bitfehlerhäufigkeit hB ist in erster Näherung eine gaußverteilte Zufallsgröße mit dem Mittelwert mh = pB und der Varianz σh2pB/N.
  • Die relative Abweichung der Bitfehlerhäufigkeit von der Wahrscheinlichkeit beträgt

$$\varepsilon_{\rm rel}= \frac {h_{\rm B}-p_{\rm B}}{p_{\rm B}}\hspace{0.05cm}.$$

  • Als eine grobe Faustregel zur erforderlichen Genauigkeit gilt, dass die Anzahl nB der gemessenen Bitfehler mindestens 100 sein sollte.

Hinweis: Die Aufgabe bezieht sich auf den Lehrstoff von Kapitel 1.2 .


Fragebogen

1

Welche der nachfolgenden Aussagen sind zutreffend?

Die Genauigkeit der BER–Messung ist unabhängig von N.
Je größer N ist, desto genauer ist im Mittel die BER–Messung.
Je größer N ist, desto genauer ist jede einzelne BER–Messung.

2

Geben Sie die Streuung σh für verschiedene N an. 10 · lg EB/N0 = 0 dB.

$N = 64.000: σ_h$ =

$\cdot 10^{ -3 }\ $
$N = 1.600.000: σ_h $ =

$\cdot 10^{ -4 }\ $

3

Wie groß ist die jeweilige relative Abweichung für 10 · lg EB/N0 = 0 dB?

$N = 64.000: ε_{rel} $=

$\% $
$N = 1.600.000: ε_{rel} $=

$\% $

4

Geben Sie die Streuung σh für verschiedene N an. 10 · lg EB/N0 = 9 dB.

$N = 64.000: σ_h $=

$\cdot 10^{ -5 }\ $
$N = 1.600.000: σ_h $=

$\cdot 10^{ -6 }\ $

5

Wie groß ist die jeweilige relative Abweichung für 10 · lg EB/N0 = 9 dB?

$N = 64.000: ε_{rel} $=

$\% $
$N = 1.600.000: ε_{rel} $=

$\% $

6

Bis zu welchem (logarithmischen) EB/N0–Wert ist N = 1.6 Millionen aufgrund der Bedingung $n_B$ $\ge$ 100 ausreichend?

Maximum für 10 · lg $EB/N0 $=

$dB $


Musterlösung

(1) Natürlich wird die Genauigkeit der BER–Messung durch den Parameter N in starkem Maße beeinflusst. Es besteht jedoch kein deterministischer Zusammenhang zwischen der Anzahl der simulierten Bit und der Genauigkeit der BER–Messung, wie z. B. die Ergebnisse für 10 · lg EB/N0 = 6 dB zeigen: Bei N = 64000 (hB = 0.258 · 10–2) ist die Abweichung vom tatsächlichen Wert 0.239 · 10–2 geringer als bei N = 128000 (hB = 0.272 · 10–2). Richtig ist also der zweite Lösungsvorschlag: Im statistischen Mittel wird die BER–Messung natürlich besser, wenn man N erhöht: Nur die Aussage 2 trifft zu.

(2) Bei 10 · lg EB/N0 = 0 dB, also EB = N0, erhält man folgende Werte: $$N=64000{\rm :} \hspace{0.52cm} \sigma_h = \sqrt{{p}/{N}}= \sqrt{\frac{0.0786}{64000}}\hspace{0.1cm}\underline {\approx 1.1 \cdot10^{-3}}\hspace{0.05cm},$$ $$N = 1600000{\rm :} \hspace{0.2cm} \sigma_h = \sqrt{{p}/{N}}= \sqrt{\frac{0.0786}{1600000}}\hspace{0.1cm}\underline {\approx 2.2 \cdot10^{-4}}\hspace{0.05cm}.$$

(3) Hierfür ergeben sich mit 10 · lg EB/N0 = 0 dB folgende Werte: $$N = 64000{\rm :} \hspace{0.52cm} \varepsilon_{\rm rel}= \frac{h_{\rm B}- p_{\rm B}}{h_{\rm B}} = \frac{0.0779-0.0786}{0.0786}\hspace{0.1cm}\underline {\approx -0.9\% }\hspace{0.05cm}$$ $$N = 1600000{\rm :} \hspace{0.2cm} \varepsilon_{\rm rel}= \frac{h_{\rm B}- p_{\rm B}}{h_{\rm B}}= \frac{0.0782-0.0786}{0.0786}\hspace{0.1cm}\underline {\approx -0.5\% } \hspace{0.05cm}.$$

(4) Aufgrund der kleineren Fehlerwahrscheinlichkeit ergeben sich nun kleinere Werte als unter (2): $$N = 64000{\rm :} \hspace{0.52cm} \sigma_h = \sqrt{{p}/{N}}= \sqrt{\frac{0.336 \cdot 10^{-4}}{6.4 \cdot 10^{4}}}\hspace{0.1cm}\underline {\approx 2.3 \cdot 10^{-5}}\hspace{0.05cm},$$ $$ N = 1600000{\rm :} \hspace{0.2cm} \sigma_h = \sqrt{{p}/{N}}= \sqrt{\frac{0.336 \cdot 10^{-4}}{1.6 \cdot 10^{6}}}\hspace{0.1cm}\underline {\approx 4.6 \cdot10^{-6}}\hspace{0.05cm}.$$ (5) Trotz der deutlich kleineren Streuung σh ergeben sich für 10 · lg EB/N0 = 9 dB aufgrund der kleineren Fehlerwahrscheinlichkeit größere relative Abweichungen als für 10 · lg EB/N0 = 0 dB: $$N = 64000{\rm :} \hspace{0.52cm} \varepsilon_{\rm rel}= \frac{h_{\rm B}- p_{\rm B}}{h_{\rm B}}= \frac{0.625 \cdot 10^{-4} - 0.336 \cdot 10^{-4}}{0.336 \cdot 10^{-4}}\hspace{0.1cm}\underline { \approx 86\% } \hspace{0.05cm},$$ $$N = 1600000{\rm :} \hspace{0.2cm} \varepsilon_{\rm rel}= \frac{h_{\rm B}- p_{\rm B}}{h_{\rm B}}= \frac{0.325 \cdot 10^{-4} - 0.336 \cdot 10^{-4}}{0.336 \cdot 10^{-4}}\hspace{0.1cm}\underline {\approx -3.3\%}\hspace{0.05cm}.$$ (6) Die Anzahl nB der gemessenen Bitfehler sollte mindestens 100 betragen. Deshalb gilt näherungsweise (Rundungsfehler sind zu berücksichtigen): $$n_{\rm B} = {p_{\rm B}}\cdot {N} > 100 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} p_{\rm B} > \frac{100}{1.6 \cdot 10^6} = 0.625 \cdot 10^{-4}\hspace{0.05cm}.$$ Daraus folgt weiter, dass bei der Simulation für 10 · lg EB/N0 = 8 dB noch ausreichend viele Bitfehler aufgetreten sind (nB = 315), während für 10 · lg EB/N0 = 9 dB im Mittel nur mehr nB = 52 Fehler zu erwarten sind. Für diesen dB–Wert müsste etwa die doppelte Anzahl an Bits simuliert werden.