Difference between revisions of "Aufgaben:Exercise 1.3Z: Threshold Optimization"

Revision as of 18:22, 24 October 2017

In dieser Aufgabe wird ein bipolares Binärsystem mit AWGN–Rauschen („Additive White Gaussian Noise”) betrachtet, so dass für die Bitfehlerwahrscheinlichkeit $$p_{\rm B} = {\rm Q} \left( \frac{s_0}{\sigma_d}\right)= \frac[[:Template:1]]{2} \cdot {\rm erfc} \left( \frac{s_0}{\sqrt{2} \cdot \sigma_d}\right) \hspace{0.05cm}$$ gilt. Hierbei sind folgende Funktionen verwendet: $$\rm Q (\it x) = \frac{\rm 1}{\sqrt{\rm 2\pi}}\int_{\it x}^{+\infty}\rm e^{\it -u^{\rm 2}/\rm 2}\,d \it u \hspace{0.05cm},$$ $${\rm erfc} (\it x) = \frac{\rm 2}{\sqrt{\rm \pi}}\int_{\it x}^{+\infty}\rm e^{\it -u^{\rm 2}}\,d \it u \hspace{0.05cm}.$$

Fragebogen

Musterlösung

Solution

(1) (2) (3) (4) (5) (6)

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-[[File: P_ID1267__Dig_A_1_3.png|right]]
+[[File:P_ID1268__Dig_Z_1_3.png|right]]
-Wir betrachten hier drei Varianten eines binären bipolaren AWGN&ndash;Übertragungssystems, die sich hinsichtlich des Sendegrundimpulses <i>g</i><sub><i>s</i></sub>(<i>t</i>) sowie der Impulsantwort <i>h</i><sub>E</sub>(<i>t</i>) des Empfangsfilters unterscheiden:
+In dieser Aufgabe wird ein bipolares Binärsystem mit AWGN&ndash;Rauschen (&bdquo;Additive White Gaussian Noise&rdquo;) betrachtet, so dass für die Bitfehlerwahrscheinlichkeit
-*Beim System A sind beide Zeitfunktionen <i>g<sub>s</sub></i>(<i>t</i>) und <i>h</i><sub>E</sub>(<i>t</i>) rechteckförmig, lediglich die Impulshöhen (<i>s</i><sub>0</sub> bzw. 1/<i>T</i>) sind unterschiedlich.
+$$p_{\rm B} =   {\rm Q} \left( \frac{s_0}{\sigma_d}\right)= \frac{{1}}{2} \cdot {\rm erfc} \left( \frac{s_0}{\sqrt{2} \cdot \sigma_d}\right) \hspace{0.05cm}$$
-*Das System B unterscheidet sich vom System A durch einen dreieckförmigen Sendegrundimpuls mit <i>g<sub>s</sub></i>(<i>t</i> = 0) = <i>s</i><sub>0</sub>.
+gilt. Hierbei sind folgende Funktionen verwendet:
-*Das System C hat den gleichen Sendegrundimpuls wie das System A, während die Impulsantwort mit <i>h</i><sub>E</sub>(<i>t</i> = 0) = 1/<i>T</i> dreieckförmig verläuft.
+$$\rm Q (\it x)  =  \frac{\rm 1}{\sqrt{\rm 2\pi}}\int_{\it
-Die absolute Breite der hier betrachteten Rechteck&ndash; und Dreieckfunktionen beträgt jeweils <i>T</i> = 10 &mu;s. Die Bitrate ist <i>R</i> = 100 kbit/s. Die weiteren Systemparameter sind wie folgt gegeben:
+x}^{+\infty}\rm e^{\it -u^{\rm 2}/\rm 2}\,d \it u
-$$s_0 = 6 \,\,\sqrt{W}\hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm}  N_0 = 2 \cdot 10^{-5} \,\,{\rm W/Hz}\hspace{0.05cm}.$$
+\hspace{0.05cm},$$
-<b>Hinweis:</b> Die Aufgabe bezieht sich auf das [[Digitalsignalübertragung/Fehlerwahrscheinlichkeit_bei_Basisbandübertragung| Kapitel1.2]] des vorliegenden Buches. Zur Bestimmung von Fehlerwahrscheinlichkeiten können Sie das folgende Interaktionsmodul verwenden:
+$${\rm erfc} (\it x)  =  \frac{\rm 2}{\sqrt{\rm
+\pi}}\int_{\it x}^{+\infty}\rm e^{\it -u^{\rm 2}}\,d \it u
-[[Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen]]
+\hspace{0.05cm}.$$
-Berücksichtigen Sie bei der Berechnung der Detektionsstörleistung das Theorem von Wiener–Chintchine:
-$$ \sigma _d ^2  = \frac{N_0 }{2} \cdot \int_{ - \infty }^{
-+ \infty } {\left| {H_{\rm E}( f )} \right|^2
-\hspace{0.1cm}{\rm{d}}f} = \frac{N_0 }{2} \cdot \int_{ -
-\infty }^{ + \infty } {\left| {h_{\rm E}( t )} \right|^2
-\hspace{0.1cm}{\rm{d}}t}\hspace{0.05cm}.$$
 ===Fragebogen===

	Falsch
	Richtig