Aufgaben:3.Zehn Maximum-Likelihood-Baumdiagramm

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Signale und Baumdiagramm

Wie in Aufgabe A3.9 betrachten wir die gemeinsame Entscheidung dreier Binärsymbole (Bits) mittels des Korrelationsempfängers. Die möglichen Sendesignale $s_0(t), \ ... \ , \ s_7(t)$ seien bipolar. In der Grafik sind die Funktionen $s_0(t)$, $s_1(t)$, $s_2(t)$ und $s_3(t)$ dargestellt. Die blauen Kurvenverläufe gelten dabei für rechteckförmige NRZ–Sendeimpulse.

Darunter gezeichnet ist das so genannte Baumdiagramm für diese Konstellation unter der Voraussetzung, dass das Signal $s_3(t)$ gesendet wurde. Dargestellt sind hier im Bereich von $0$ bis $3T$ die Funktionen

$$i_i(t) = \int_{0}^{t} s_3(\tau) \cdot s_i(\tau) \,{\rm d} \tau \hspace{0.3cm}( i = 0, ... , 7)\hspace{0.05cm}.$$

Der Korrelationsempfänger vergleicht die Endwerte $I_i = i_i(3T)$ miteinander und sucht den größtmöglichen Wert $I_j$. Das zugehörige Signal $s_j(t)$ ist dann dasjenige, das gemäß dem Maximum–Likelihood–Kriterium am wahrscheinlichsten gesendet wurde.

Anzumerken ist, dass der Korrelationsempfänger im allgemeinen die Entscheidung anhand der korrigierten Größen $W_i = I_i \ – E_i/2$ trifft. Da aber bei bipolaren Rechtecken alle Sendesignale ($i = 0, \ ... \ , \ 7$) die genau gleiche Energie

$$E_i = \int_{0}^{3T} s_i^2(t) \,{\rm d} t$$

aufweisen, liefern die Integrale $I_i$ genau die gleichen ML–Informationen wie die korrigierten Größen $W_i$.

Die roten Signalverläufe $s_i(t)$ ergeben sich aus den blauen durch Faltung mit der Impulsantwort $h_{\rm G}(t)$ eines Gaußtiefpasses mit der Grenzfrequenz $f_{\rm G} \cdot T = 0.35$. Jeder einzelne Rechteckimpuls wird verbreitert. Die roten Funktionsverläufe weise Impulsinterferenzen auf.

Hinweis:

• Die Aufgabe gehört zum Themebgebiet des Kapitels Optimale Empfängerstrategien.

Fragebogen

1

Geben Sie die folgenden normierten Endwerte $I_i/E_{\rm B}$ für Rechtecksignale (ohne Rauschen) an.

$I_0/E_{\rm B}$ =

$I_2/E_{\rm B}$ =

$I_4/E_{\rm B}$ =

$I_6/E_{\rm B}$ =

2

Welche Aussagen gelten bei Berücksichtigung eines Rauschenterms?

	Das Baumdiagramm ist weiter durch Geradenstücke beschreibbar.
	Ist $I_3$ der maximale $I_i§ \, –Wert, so entscheidet der Empfänger richtig.
	Es gilt unabhängig von der Stärke der Störungen $I_0 = I_6$.

3

Welche Aussagen gelten für die roten Signalverläufe (mit Impulsinterferenzen)?

	Das Baumdiagramm ist weiter durch Geradenstücke beschreibbar.
	Die Signalenergien $E_i(i = 0, \ ... \, \ 7$) sind dann unterschiedlich.
	Es sind sowohl die Entscheidungsgrößen $I_i$ als auch $W_i$ geeignet.

4

Wie sollte der Intergrationsbereich ($t_1$ bis $t_2$) gewählt werden?

	Ohne Impulsinterferenzen (blau) sind $t_1 = 0$, $t_2 = 3T$ bestmöglich.
	Mit Impulsinterferenzen (rot) sind $t_1 = 0$ und $t_2 = 3T$ bestmöglich.

Musterlösung

Solution

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.