Aufgaben:Exercise 4.1: About the Gram-Schmidt Process

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Zum Gram-Schmidt-Verfahren

Für die vier durch die Abbildung definierten Signale $s_1(t), \, ... \, , s_4(t)$ sind durch Anwendung des sog. Gram–Schmidt–Verfahrens die drei sich ergebenden Basisfunktionen $\varphi_1(t)$, $\varphi_2(t)$ und $\varphi_3(t)$ zu ermitteln, so dass für die Signale mit $i = 1, \, ... \, , 4$ geschrieben werden kann:

$$s_i(t) = s_{i1} \cdot \varphi_1(t) + s_{i2} \cdot \varphi_2(t) + s_{i3} \cdot \varphi_3(t)\hspace{0.05cm}.$$

In der Teilaufgabe (1) gelte $A^2 = 1 \ \rm mW$ und $T = 1 \ \rm \mu s$. In den späteren Teilaufgaben sind die Amplitude und die Zeit jeweils normierte Größen: $A = 1$, $T = 1$. Damit sind sowohl die Koeffizienten $s_{\it ij}$ als auch die Basisfunktionen $\varphi_{\it}(t)$ – jeweils mit $j = 1, 2, 3$ – dimensionslose Größen.

Hinweise:

• Die Aufgabe bezieht sich inhaltlich auf das Kapitel Signale, Basisfunktionen und Vektorräume.
• Auf der Seite 3a des Kapitels ist das Gram–Schmidt–Verfahren angegeben, auf der Seite 3b finden Sie ein Berechnungsbeispiel ähnlich zu dieser Aufgabe.

Fragebogen

1

Welche Einheiten besitzen die folgenden Größen mit $A^2 = 1 \ \rm mW$ und $T = 1 \ {\rm \mu s}$?

	Die Basisfunktionen $\varphi_j(t)$ sind dimensionslos.
	Die Basisfunktionen $\varphi_j(t)$ haben die Einheit ${\rm s}^{\rm –0.5}$.
	Die Koeffizienten $s_{\it ij}$ sind dimensionslos.
	Die Koeffizienten $s_{\it ij}$ haben die Einheit $({\rm Ws})^{\rm 0.5}$.

2

Führen Sie den ersten Schritt des Gram&ndashMSchmidt–Verfahrens durch. Wie für die weiteren Aufgaben gelte $A = 1$ und $T = 1$.

$s_{\rm 11}$ =

$s_{\rm 12}$ =

$s_{\rm 13}$ =

3

Wie lauten die Koeffizienten des Signals $s_2(t)$ mit $A = 1$ und $T = 1$?

$s_{\rm 21}$ =

$s_{\rm 22}$ =

$s_{\rm 23}$ =

4

Wie lauten die Koeffizienten des Signals $s_3(t)$ mit $A = 1$ und $T = 1$?

$s_{\rm 31}$ =

$s_{\rm 32}$ =

$s_{\rm 33}$ =

5

Wie lauten die Koeffizienten des Signals $s_4(t)$ mit $A = 1$ und $T = 1$?

$s_{\rm 41}$ =

$s_{\rm 42}$ =

$s_{\rm 43}$ =

Musterlösung

Solution

(1)  (2)  (3)  (4)  (5)  (6)