Aufgaben:Exercise 2.1: ACF and PSD with Coding

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Leistungsdichtespektrum bei Codierung

Wir betrachten das Digitalsignal

$$s(t) = \sum_{\nu = -\infty}^{+\infty} a_\nu \cdot g_s ( t - \nu \cdot T) \hspace{0.05cm},$$

wobei wir folgende Beschreibungsgrößen verwenden:

• $a_{\nu}$ sind die Amplitudenkoeffizienten,
• $g_{s}(t)$ gibt den Sendegrundimpuls an,
• $T$ ist die Symboldauer (Abstand der Impulse).

Zur Charakterisierung der spektralen Eigenschaften, die sich aufgrund der Codierung und der Impulsformung ergeben, verwendet man unter anderem

• die Autokorrelationsfunktion (AKF)

$$\varphi_s(\tau) = \sum_{\lambda = -\infty}^{+\infty}{1}/{T} \cdot \varphi_a(\lambda)\cdot \varphi^{^{\bullet}}_{gs}(\tau - \lambda \cdot T)\hspace{0.05cm},$$

• das Leistungsdichtespektrum (LDS)

$${\it \Phi}_s(f) = {1}/{T} \cdot {\it \Phi}_a(f) \cdot {\it \Phi}^{^{\bullet}}_{gs}(f) \hspace{0.05cm}.$$

Hierbei bezeichnet $\varphi_{a}(\lambda)$ die diskrete Autokorrelationsfunktion der Amplitudenkoeffizienten, die mit der spektralen Leistungsdichte $\Phi_{a}(f)$ über die Fouriertransformation zusammenhängt. Für diese gilt somit:

$${\it \Phi}_a(f) = \sum_{\lambda = -\infty}^{+\infty}\varphi_a(\lambda)\cdot {\rm e}^{- {\rm j}\hspace{0.05cm} 2 \pi f \hspace{0.02cm} \lambda T} \hspace{0.05cm}.$$

Weiterhin sind in obigen Gleichungen die Energie–AKF und das Energiespektrum verwendet:

$$\varphi^{^{\bullet}}_{gs}(\tau) = \int_{-\infty}^{+\infty} g_s ( t ) \cdot g_s ( t + \tau)\,{\rm d} t \hspace{0.4cm}\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet \hspace{0.4cm} {\it \Phi}^{^{\bullet}}_{gs}(f) = |G_s(f)|^2 \hspace{0.05cm}.$$

In der vorliegenden Aufgabe soll für die spektrale Leistungsdichte der Amplitudenkoeffizienten folgender Funktionsverlauf angenommen werden (siehe Grafik):

$${\it \Phi}_a(f) = {1}/{2} - {1}/{2} \cdot \cos (4 \pi f \hspace{0.02cm} T)\hspace{0.05cm}.$$

Für den Sendegrundimpuls werden folgende Annahmen getroffen:

• n der Teilfrage (2) sei $g_{s}(t)$ ein NRZ–Rechteckimpuls, so dass eine dreieckförmige Energie–AKF vorliegt, die auf den Bereich $|\tau| ≤ T$ beschränkt ist. Das Maximum ist dabei

$$\varphi^{^{\bullet}}_{gs}(\tau = 0) = s_0^2 \cdot T \hspace{0.05cm}.$$

• Für die Teilaufgabe (3) soll von einer Wurzel–Nyquist–Charakteristik mit Rolloff–Faktor $r = 0$ ausgegangen werden. In diesem Fall gilt:

$$|G_s(f)|^2 = \left\{ \begin{array}{c} s_0^2 \cdot T^2 \\ 0 \\ \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{1}c} {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array} \begin{array}{*{20}c} |f| < {1}/({2T}) \hspace{0.05cm}, \\ |f| > {1}/({2T}) \hspace{0.05cm}.\\ \end{array}$$

• Für numerische Berechnungen ist stets $s_{0}^{2} = 10 \ \rm mW$ zu verwenden.

Hinweis:

Die Aufgabe gehört zum Grundlagen der codierten Übertragung des vorliegenden Buches. Berücksichtigen Sie, dass die Sendeleistung $P_{\rm S}$ gleich der AKF $\varphi_{s}(\tau)$ an der Stelle $\tau = 0$ ist, aber auch als Integral über das LDS $\Phi_{s}(f)$ berechnet werden kann.

Fragebogen

1

Welche diskreten AKF–Werte $\varphi_{a}(\lambda)$ der Amplitudenkoeffizienten ergeben sich? Geben Sie die Zahlenwerte für $\lambda = 0$, $\lambda = 1$ und $\lambda = 2$ ein.

$\varphi_{a}(\lambda = 0) \ = \ $

$\varphi_{a}(\lambda = 1) \ = \ $

$\varphi_{a}(\lambda = 2) \ = \ $

2

Welche Sendeleistung ergibt sich mit dem NRZ–Sendegrundimpuls?

NRZ–Rechteck: $P_{\rm S} \ = \ $ $ \ \rm mW$

3

Wie groß ist die Sendeleistung bei Wurzel–Nyquist–Charakteristik $(r = 0)$?

Wurzel–Nyquist: $P_{\rm S} \ = \ $ $ \ \rm mW$

Musterlösung

Solution

(1)  (2)  (3)  (4)  (5)  (6)