Aufgaben:Exercise 4.17Z: Rayleigh and Rice Distribution

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Rice- und Rayleighverteilung

Für die Untersuchung von Nachrichtensystemen haben die Rayleigh– und die Rice–Verteilung eine große Bedeutung. Im Folgenden sei $y$ eine rayleigh– oder eine riceverteilte Zufallsgröße und $\eta$ jeweils eine Realisierung davon.

• Die Rayleighverteilung ergibt sich dabei für die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (kurz: WDF) einer Zufallsgröße $y$, die sich aus den beiden gaußverteilten und statistisch unabhängigen Komponenten $u$ und $\upsilon$ (beide mit der Streuung $\sigma_n$) wie folgt ergibt:

$$y = \sqrt{u^2 + v^2} \hspace{0.1cm} \Rightarrow \hspace{0.1cm} p_y (\eta) = \frac{\eta}{\sigma_n^2} \cdot {\rm exp } \left [ - \frac{\eta^2}{2 \sigma_n^2}\right ] \hspace{0.01cm}.$$

• Die Riceverteilung erhält man unter sonst gleichen Randbedingungen für den Anwendungsfall, dass bei einer der beiden Komponenten noch eine Konstante $C$ addiert wird:

$$y = \sqrt{(u+C)^2 + v^2} \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} p_y (\eta) = \frac{\eta}{\sigma_n^2} \cdot {\rm exp } \left [ - \frac{\eta^2 + C^2}{2 \sigma_n^2}\right ] \cdot {\rm I }_0 \left [ \frac{\eta \cdot C}{ \sigma_n^2}\right ] \hspace{0.05cm}.$$

In dieser Gleichung bezeichnet ${\rm I}_0(x)$ die modifizierte Besselfunktion nullter Ordnung.

In der Grafik sind die beiden Dichtefunktionen dargestellt, wobei allerdings nicht angegeben wird, ob $p_{\rm I}(\eta)$ bzw. $p_{\rm II}(\eta)$ zu einer Rayleigh– oder zu einer Riceverteilung gehören. Bekannt ist nur, dass je eine Rayleigh– und eine Riceverteilung dargestellt ist. Der Parameter $\sigma_n$ ist bei beiden gleich.

Für Ihre Entscheidung, ob Sie $p_{\rm I}(\eta)$ oder $p_{\rm II}(\eta)$ der Riceverteilung zuordnen, und für die Ermittlung der WDF–Parameter können Sie folgende Aussagen berücksichtigen:

• Für große Werte des Quotienten $C/\sigma_n$ lässt sich die Riceverteilung durch eine Gaußverteilung mit Mittelwert $C$ und Streuung $\sigma_n$ annähern.
• Die der Grafik zugrunde liegenden Werte von $C$ und $\sigma_n$ sind ganzzahlig.

Hinsichtlich der Rayleighverteilung ist zu beachten:

• Für beide Verteilungen ist das gleiche $\sigma_n$ zugrunde gelegt.
• Für die Streuung (Wurzel aus der Varianz) der Rayleighverteilung gilt:

$$\sigma_y = \sigma_n \cdot \sqrt{2 - {\pi}/{2 }} \hspace{0.2cm} \approx \hspace{0.2cm} 0.655 \cdot \sigma_n \hspace{0.05cm}.$$

• Für die Streuung/Varianz der Riceverteilung kann allgemein nur ein komplizierter Ausdruck mit hypergeometrischen Funktionen angegeben werden, ansonsten nur eine Näherung für $C >> \sigma_n$ entsprechend der Gaußverteilung.

Hinweise:

• Diese Aufgabe gehört zum Kapitel Trägerfrequenzsysteme mit nichtkohärenter Demodulation.
• Gegeben ist zudem das folgende Integral:

$$\int x \cdot {\rm e }^{-x^2} \,{\rm d} x = -{1}/{2} \cdot {\rm e }^{-x^2} + {\rm const. } $$

Fragebogen

1

Ordnen Sie die Grafiken der Rayleigh– bzw. Riceverteilung zu.

	$p_{\rm I}(\eta)$ entspricht der Rayleighverteilung, $p_{\rm II}(\eta)$ der Riceverteilung.
	$p_{\rm I}(\eta)$ entspricht der Riceverteilung, $p_{\rm II}(\eta)$ der Rayleighverteilung.

2

Geben Sie die Parameter der hier dargestellten Riceverteilung an.

$C \ = \ $

$\sigma_n \ = \ $

3

Welche Verteilung besitzt eine größere Varianz,

	die Rayleighverteilung,
	die Riceverteilung?

4

Berechnen Sie die Überschreitungswahrscheinlichkeiten der Rayleighverteilung

$C$ \ = \

${\rm Pr}(y > \sigma_n) \ = \ $

${\rm Pr}(y > 2\sigma_n) \ = \ $

${\rm Pr}(y > 3\sigma_n) \ = \ $

Musterlösung

Solution

(1)  (2)  (3)  (4)  (5)