Difference between revisions of "Aufgaben:Exercise 1.09: Extended Hamming Code"
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− | { | + | |
+ | {Geben Sie die Coderaten von $C_{1}$ und $C_{2}$ an. | ||
+ | |type="{}"} | ||
+ | $\C_{1}: \ \ \ R$ = { 0.571 3% } | ||
+ | $\C_{2}: \ \ \ R$ = { 0.5 3% } | ||
+ | |||
+ | |||
+ | {Geben Sie die minimalen Distanzen von $C_{1}$ und $C_{2}$ an. | ||
+ | |type="{}"} | ||
+ | $\C_{1}: \ \ \ d_{\rm min}$ = { 3 3% } | ||
+ | $\C_{2}: \ \ \ d_{\rm min}$ = { 4 3% } | ||
+ | |||
+ | |||
+ | {Welches Format besitzt die Prüfmatrix von $C_{2}$? | ||
+ | |type="{}"} | ||
+ | $\ { \boldsymbol{\rm H}}_{2}{\rm :} \ \ \ {\rm Spaltenzahl}$ = { 8 3% } | ||
+ | $\ { \boldsymbol{\rm H}}_{2}{\rm :} \ \ \ {\rm Zeilenzahl}$ = { 4 3% } | ||
+ | |||
+ | {Leiten Sie aus der Codetabelle die Gleichung für das Codebit $x_ {8} (= p_{4})$ ab. | ||
|type="[]"} | |type="[]"} | ||
− | - | + | |
− | + Richtig | + | - $x_{8} = 0.$ |
+ | - $x_{8} = x_{1}⊕x_{2}⊕x_{4}⊕x_{5}.$ | ||
+ | + $x_{8} = x_{1}⊕x_{2}⊕x_{3}⊕x_{4}⊕x_{5}⊕x_{6}⊕x_{7}.$ | ||
+ | |||
+ | {Welche Aussagen gelten für ${ \boldsymbol{\rm H}}_{2}$? ''Hinweis:'' Richtig sind 3 von 4 Antworten. | ||
+ | |type="[]"} | ||
+ | |||
+ | + Die erste Zeile lautet: $1 1 0 1 1 0 0 0$. | ||
+ | + Die zweite Zeile lautet: $0 1 1 1 0 1 0 0$. | ||
+ | - Die dritte Zeile lautet: $0 0 0 0 1 1 1 1$. | ||
+ | + Die letzte Zeile lautet: $1 1 1 1 1 1 1 1$. | ||
+ | |||
+ | {Welche Umformung ist für die letzte Zeile von ${ \boldsymbol{\rm H}}_{2}$ zulässig? | ||
+ | |type="[]"} | ||
+ | - $1 1 1 1 1 1 1 1 → 0 0 0 0 0 0 0 0,$ | ||
+ | + $1 1 1 1 1 1 1 1 → 1 1 1 0 0 0 0 1,$ | ||
+ | - $1 1 1 1 1 1 1 1 → 0 0 1 0 1 0 0 0.$ | ||
+ | |||
+ | {Geben Sie die zugehörige Generatormatrix ${ \boldsymbol{\rm G}}_{2}$ an. Welche Aussagen treffen zu? | ||
+ | |type="[]"} | ||
+ | - ${ \boldsymbol{\rm G}}_{2}$ hat gleiches Format wie die Matrix ${ \boldsymbol{\rm G}}_{1}$ des (7, 4)–Codes. | ||
+ | + ${ \boldsymbol{\rm G}}_{2}$ beginnt wie ${ \boldsymbol{\rm G}}_{1}$ mit einer Diagonalmatrix ${ \boldsymbol{\rm I}}_{4}$ . | ||
+ | + ${ \boldsymbol{\rm G}}_{2}$ hat im betrachteten Beispiel das gleiche Format wie ${ \boldsymbol{\rm H}}_{2}$ . | ||
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Revision as of 19:07, 7 December 2017
Es sollen zwei Codes miteinander verglichen werden, deren Codetabellen rechts angegeben sind. Die ersten vier Bit eines jeden Codewortes x geben das jeweilige Informationswort u wider (schwarze Schrift). Danach folgen $m = n – k$ Prüfbit (rote Schrift).
- Der systematische (7, 4)–Hamming–Code wurde bereits in Aufgabe 1.6 sowie Aufgabe 1.07 behandelt. Prüfmatrix und Generatormatrix dieses Codes sind wie folgt gegeben:
- $${ \boldsymbol{\rm H}}_1 = \begin{pmatrix} 1 &1 &0 &1 &1 &0 &0\\ 0 &1 &1 &1 &0 &1 &0\\ 1 &0 &1 &1 &0 &0 &1 \end{pmatrix}\hspace{0.05cm},$$
- $${ \boldsymbol{\rm G}}_1 = \begin{pmatrix} 1 &0 &0 &0 &1 &0 &1\\ 0 &1 &0 &0 &1 &1 &0\\ 0 &0 &1 &0 &0 &1 &1\\ 0 &0 &0 &1 &1 &1 &1 \end{pmatrix}\hspace{0.05cm}.$$
Im weiteren Verlauf der Aufgabe wird dieser (gelb hinterlegte) Code $C_{1}$ genannt.
- Die rechte Spalte in obiger Tabelle gibt einen Blockcode mit den Parametern $n = 8$ und $k = 4$ an, der in der Literatur meist als „erweiteter Hamming–Code” bezeichnet wird. Wir nennen diesen (grün hinterlegten) Code im Folgenden $C_{2}$ und bezeichnen dessen Prüfmatrix mit ${ \boldsymbol{\rm H}}_{2}$ und die dazugehörige Generatormatrix mit ${ \boldsymbol{\rm G}}_{2}$ .
Die Fragen zu dieser Aufgabe beziehen sich auf
- die Coderate,
- die minimale Distanz zwischen zwei Codeworten,
- die Prüfmatrix und die Generatormatrix des erweiterten (8, 4)–Hamming–Codes.
Hinweis :
Die Aufgabe gehört zu Kapitel Allgemeine Beschreibung linearer Blockcodes. Beachten Sie bei der Lösung, dass $C_{1}$ und $C_{2}$ jeweils systematische Codes sind. Die nachfolgende Aufgabe 1.09Z behandelt die Erweiterung von Codes in etwas allgemeinerer Form.
Fragebogen
Musterlösung
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.