Aufgaben:Exercise 1.2Z: Three-dimensional Representation of Codes

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Raum $\rm GF(2^3)$ und Code der Länge $n = 3$

Codes zur Fehlererkennung bzw. Fehlererkorrektur lassen sich sehr anschaulich im $n$–dimensionalen Raum darstellen. Wir beschränken uns hier auf binäre Codes der Länge $n = 3$:

$$\underline{x} = (x_{1}, x_{2}, x_{3}) \hspace{0.1cm} \in \hspace{0.1cm}{\rm GF}(2^3) \hspace{0.05cm},\hspace{0.5cm} x_i = \{0, 1 \}\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} i = 1, 2, 3\hspace{0.05cm}.$$

Allgemein gilt bei der Blockcodierung:

• Das Informationswort $\underline{u} = (u_{1}, u_{2}, \ \text{...} , \ u_{k})$ wird eindeutig in das Codewort $\underline{x} =(x_{1}, x_{2}, \ \text{...} , \ , x_{n})$ überführt.
• Die Coderate beträgt $R = k/n$.
• Die Hamming–Distanz $d_{\rm H}(x, \hspace{0.05cm}x\hspace{0.05cm}')$ zwischen zwei Codeworten $x ∈ \mathcal{C}$ und $x\hspace{0.05cm}' ∈ \mathcal{C}$ gibt die Anzahl der Bitpositionen an, in denen sich $x$ und $x\hspace{0.05cm}'$ unterscheiden.
• Die Minimaldistanz $d_{\rm min} = {\rm min}[d_{\rm H}(x, \hspace{0.05cm}x\hspace{0.05cm}')]$ ist ein Maß für die Korrekturfähigkeit eines Codes.
• Es können $e =d_{\rm min} – 1$ Fehler erkannt und $t =(d_{\rm min} – 1)/2$ Fehler korrigiert werden. Die letzte Aussage gilt allerdings nur für ungerades $d_{\rm min}$.

Hinweise:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel Zielsetzung der Kanalcodierung.
• Zusätzlich werden einige einfache Fragen zum Kapitel Beispiele binärer Blockcodes vorweg genommen.
• Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.

Fragebogen

1

Welche Aussagen gelten, wenn alle Punkte in $\rm GF(2^3)$ belegt sind?

	Es gilt die Zuordnung $\underline{u} = (u_{1}, u_{2}, u_{3})$ → $\underline{u} = (x_{1}, x_{2},x_{3})$.
	Es gilt die Identität $\underline{x} = \underline{u}$.
	Die Coderate ist $R = 1$.
	Die Minimaldistanz zwischen zwei Codeworten ist $d_{\rm min} = 2$.

2

Welche Aussagen gelten für einen (3, 2, 2)–Blockcode?

	Code $\mathcal{C}_{1} = \{(0, 0, 0), (0, 1, 1), (1, 0, 1), (1, 1, 0)\}$ ist möglich.
	Code $\mathcal{C}_{2} = \{(0, 0, 1), (0, 1, 0), (1, 0, 0), (1, 1, 1)\}$ ist möglich.
	Code $\mathcal{C}_{3} = \{(0, 0, 0), (0, 1, 1), (1, 0, 0), (1, 1, 1)\}$ ist möglich.

3

Welche Eigenschaften zeigt der in Teilaufgabe (2) definierte Code $\mathcal{C}_{1}$?

	Ein Bitfehler lässt sich erkennen.
	Ein Bitfehler kann korrigiert werden.

4

Welche Eigenschaften zeigt der Code $\mathcal{C}_{4}= \{(0, 0, 0), (1, 1, 1)\}$?

	Die Coderate beträgt $R = 1/4$.
	Die Coderate beträgt $R = 1/3$.
	Ein Bitfehler lässt sich erkennen.
	Ein Bitfehler kann korrigiert werden.

Musterlösung

Solution

(1)  Richtig sind die Aussagen 1 und 3:

• Bei dieser Belegung werden $k = 3$ Informationsbits auf $n = 3$ Codebits abgebildet   ⇒   $R = k/n = 1$.
• Die Aussage $\underline{x} = \underline{u} $ würde nur bei systematischer Codierung gelten.
• Prinzipiell möglich wäre zum Beispiel auch $(0, 0, 0)$   →   $(0, 1, 1)$.
• Die letzte Aussage ist mit Sicherheit falsch: Aus der Grafik erkennt man die Minimaldistanz $d_{\rm min} = 1$.

Zwei (3, 2, 2)–Blockcodes

(2)  Richtig sind die Aussagen 1 und 3:

• $\mathcal{C}_{1}$ und $\mathcal{C}_{2}$ beschreiben tatsächlich Codes mit der Rate $R = 2/3$ und der Minimaldistanz $d_{\rm min} = 2$.
• In der Grafik markieren die grünen Punkte den Code $\mathcal{C}_{1}$ und die blauen Punkte den Code $\mathcal{C}_{2}$.
• Beim Code $\mathcal{C}_{3}$ – ebenfalls mit Rate $R = 2/3$ – ist die minimale Distanz zwischen zwei Codeworten $d_{\rm min} = 1$, zum Beispiel zwischen $(0, 0, 0)$ und $(1, 0, 0)$ oder zwischen $(0, 1, 1)$ und $(1, 1, 1)$.

(3)  Richtig ist nur die Aussage 1:

• Mit der Minimaldistanz $d_{\rm min} = 2$ kann lediglich ein Bitfehler erkannt werden.
• In der oberen Grafik kennzeichnen die grünen Punkte zulässige Codeworte von $\mathcal{C}_{1}$. Wird ein blauer Punkt empfangen, so weist dies auf einen Übertragungsfehler hin.
• Eine Fehlerkorrektur ist mit $d_{\rm min} = 2$ dagegen nicht möglich.
• Der Code $\mathcal{C}_{1}$ entspricht dem Single Parity–check Code (3, 2, 2).

(3, 1, 3)–Blockcode

(4)  Richtig sind die Antworten 2, 3 und 4:

• $C_{4}$ beschreibt den (3, 1, 3)–Wiederholungscode.
• Bei diesem Code sind zwar zwei der insgesamt acht möglichen Punkte belegt, woraus man fälschlicherweise auf die Coderate $R = 1/4$ schließen könnte. Die Coderate berechnet sich aber gemäß $R = k/n = 1/3$.
• Aus der unteren Grafik erkennt man, dass wegen $d_{\rm min} = 3$ nun auch ein Bitfehler korrigiert werden kann.
• Bei der Decodierung werden alle hellgrünen Punkte (mit schwarzer Umrahmung) in den grünen Punkt $(0, 0, 0)$ überführt und alle hellblauen in den blauen Punkt $(1, 1, 1)$.
• Gleichzeitig können bis zu zwei Bitfehler erkannt werden (einer natürlich auch).