Difference between revisions of "Aufgaben:Exercise 2.15: Block Error Probability with AWGN"
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| − | soll die Berechnung der Blockfehlerwahrscheinlichkeit beim [[Bounded Distance Decoding]] (BDD) gezeigt werden. Die entsprechende Gleichung lautet: | + | soll die Berechnung der Blockfehlerwahrscheinlichkeit beim [[Kanalcodierung/Fehlerwahrscheinlichkeit_und_Anwendungsgebiete#Blockfehlerwahrscheinlichkeit_f.C3.BCr_RSC_und_BDD|Bounded Distance Decoding]] (BDD) gezeigt werden. Die entsprechende Gleichung lautet: |
:$${\rm Pr(Blockfehler)} =$$ | :$${\rm Pr(Blockfehler)} =$$ | ||
:$$ = | :$$ = | ||
\sum_{f = t + 1}^{n} {n \choose f} \cdot {\varepsilon_{\rm S}}^f \cdot (1 - \varepsilon_{\rm S})^{n-f} \hspace{0.05cm}.$$ | \sum_{f = t + 1}^{n} {n \choose f} \cdot {\varepsilon_{\rm S}}^f \cdot (1 - \varepsilon_{\rm S})^{n-f} \hspace{0.05cm}.$$ | ||
| − | Die Berechnung erfolgt für den [[AWGN–Kanal]], der durch den Parameter $E_{\rm B}/N_0$ gekennzeichnet ist. Dieser Quotient lässt sich über die Beziehung | + | Die Berechnung erfolgt für den [[Kanalcodierung/Klassifizierung_von_Signalen#AWGN.E2.80.93Kanal_bei_bin.C3.A4rem_Eingang|AWGN–Kanal]], der durch den Parameter $E_{\rm B}/N_0$ gekennzeichnet ist. Dieser Quotient lässt sich über die Beziehung |
:$$\varepsilon = {\rm Q} \big (\sqrt{\frac{2 \cdot R \cdot E_{\rm B}}{N_0}} \big ) $$ | :$$\varepsilon = {\rm Q} \big (\sqrt{\frac{2 \cdot R \cdot E_{\rm B}}{N_0}} \big ) $$ | ||
| − | in das [[BSC–Modell]] übeführen, wobei $R$ die Coderate bezeichnet (hier: $R = 3/7$) und ${\rm Q}(x)$ und [[komplementäre Gaußsche Fehlerintegral]] angibt. Da aber beim betrachteten Code die Symbole aus $\rm GF(2^3)$ entstammen, muss das BSC–Modell mit Parameter $\epsilon$ ebenfalls noch an die Aufgabenstellung adaptiert werden. Für die Verfälschungwahrscheinlichkeit des [[m–BSC–Modells]] gilt: | + | in das [[Kanalcodierung/Klassifizierung_von_Signalen#Binary_Symmetric_Channel_.E2.80.93_BSC|BSC–Modell]] übeführen, wobei $R$ die Coderate bezeichnet (hier: $R = 3/7$) und ${\rm Q}(x)$ und [[komplementäre Gaußsche Fehlerintegral]] angibt. Da aber beim betrachteten Code die Symbole aus $\rm GF(2^3)$ entstammen, muss das BSC–Modell mit Parameter $\epsilon$ ebenfalls noch an die Aufgabenstellung adaptiert werden. Für die Verfälschungwahrscheinlichkeit des [[Kanalcodierung/Fehlerwahrscheinlichkeit_und_Anwendungsgebiete#Blockfehlerwahrscheinlichkeit_f.C3.BCr_RSC_und_BDD|m–BSC–Modells]] gilt: |
:$$\varepsilon_{\rm S} = 1 - (1 - \varepsilon)^m | :$$\varepsilon_{\rm S} = 1 - (1 - \varepsilon)^m | ||
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In dieser Aufgabe sollen Sie für die rot hinterlegten Zeilen $(10 \cdot \lg {E_{\rm B}/N_0} = 5 \ \rm dB, \ 8 \ dB$ und $10 \ \rm dB)$ die Blockfehlerwahrscheinlichkeiten berechnen. | In dieser Aufgabe sollen Sie für die rot hinterlegten Zeilen $(10 \cdot \lg {E_{\rm B}/N_0} = 5 \ \rm dB, \ 8 \ dB$ und $10 \ \rm dB)$ die Blockfehlerwahrscheinlichkeiten berechnen. | ||
| − | Die blau hinterlegten Zeilen zeigen einige Ergebnisse der [[Zusatzaufgabe Z2.15]]. Dort wird ${\rm Pr}(\underline{\upsilon} ≠ \underline{u})$ für $\epsilon_{\rm S} = 10\%, \ 1\%$ und $0.1\%$ berechnet. In den Teilaufgaben (4) und (5) sollen Sie den Zusammenhang zwischen dieser Größe $\epsilon_{\rm S}$ und dem AWGN–Parameter $E_{\rm B}/N_0$ herstellen und somit die obige Tabelle vervollständigen. | + | Die blau hinterlegten Zeilen zeigen einige Ergebnisse der [[Aufgaben:2.15Z_Nochmals_Pr(%CF%85_%E2%89%A0_u)_f%C3%BCr_BDD|Zusatzaufgabe Z2.15]]. Dort wird ${\rm Pr}(\underline{\upsilon} ≠ \underline{u})$ für $\epsilon_{\rm S} = 10\%, \ 1\%$ und $0.1\%$ berechnet. In den Teilaufgaben (4) und (5) sollen Sie den Zusammenhang zwischen dieser Größe $\epsilon_{\rm S}$ und dem AWGN–Parameter $E_{\rm B}/N_0$ herstellen und somit die obige Tabelle vervollständigen. |
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| − | * Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[ | + | * Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Kanalcodierung/Fehlerwahrscheinlichkeit_und_Anwendungsgebiete| Fehlerwahrscheinlichkeit und Anwendungsgebiete]]. |
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Revision as of 21:38, 18 December 2017
Am Beispiel des $\rm RSC \, (7, \, 3, \, 5)_8$ mit den Parametern
- $n = 7$ (Anzahl der Codesymbole),
- $k =3$ (Anzahl der Informationssymbole),
- $t = 2$ (Korrekturfähigkeit)
soll die Berechnung der Blockfehlerwahrscheinlichkeit beim Bounded Distance Decoding (BDD) gezeigt werden. Die entsprechende Gleichung lautet:
- $${\rm Pr(Blockfehler)} =$$
- $$ = \sum_{f = t + 1}^{n} {n \choose f} \cdot {\varepsilon_{\rm S}}^f \cdot (1 - \varepsilon_{\rm S})^{n-f} \hspace{0.05cm}.$$
Die Berechnung erfolgt für den AWGN–Kanal, der durch den Parameter $E_{\rm B}/N_0$ gekennzeichnet ist. Dieser Quotient lässt sich über die Beziehung
- $$\varepsilon = {\rm Q} \big (\sqrt{\frac{2 \cdot R \cdot E_{\rm B}}{N_0}} \big ) $$
in das BSC–Modell übeführen, wobei $R$ die Coderate bezeichnet (hier: $R = 3/7$) und ${\rm Q}(x)$ und Komplementäre Gaußsche Fehlerintegral angibt. Da aber beim betrachteten Code die Symbole aus $\rm GF(2^3)$ entstammen, muss das BSC–Modell mit Parameter $\epsilon$ ebenfalls noch an die Aufgabenstellung adaptiert werden. Für die Verfälschungwahrscheinlichkeit des m–BSC–Modells gilt:
- $$\varepsilon_{\rm S} = 1 - (1 - \varepsilon)^m \hspace{0.05cm},$$
wobei hier $m = 3$ zu setzen ist (3 Bit pro Codesymbol).
Für einige $E_{\rm B}/N_0$–Werte sind alle Ergebnisse bereits in obiger Tabelle eingetragen. Die gelb hinterlegten Zeilen werden hier kurz erläutert.
- Für $10 \cdot \lg {E_{\rm B}/N_0} = 4 \ \rm dB$ ergibt sich $\epsilon \approx {\rm Q}(1.47) \approx 0.071$ und $\epsilon_{\rm S} \approx 0.2$. Der einfachste Weg zur Berechnung der Blockfehlerwahrscheinlichkeit führt hier über das Kompliment:
- $${\rm Pr(Blockfehler)} = 1 - \big [ {7 \choose 0} \cdot 0.8^7 + {7 \choose 1} \cdot 0.2 \cdot 0.8^6 + {7 \choose 2} \cdot 0.2^2 \cdot 0.8^5\big ] \approx 0.148 \hspace{0.05cm}.$$
- Für $10 \cdot \lg {E_{\rm B}/N_0} = 12 \ \rm dB$ erhält man $\epsilon \approx 1.2 \cdot 10^{-4}$ und $\epsilon_{\rm S} \approx 3.5 \cdot 10^{-4}$. Mit dieser sehr kleinen Verfälschungswahrscheinlichkeit dominiert der $f = 3$–Term und man erhält
- $${\rm Pr(Blockfehler)} \approx {7 \choose 3} \cdot (3.5 \cdot 10^{-4})^3 \cdot (1- 3.5 \cdot 10^{-4})^4 \approx 1.63 \cdot 10^{-9} \hspace{0.05cm}.$$
In dieser Aufgabe sollen Sie für die rot hinterlegten Zeilen $(10 \cdot \lg {E_{\rm B}/N_0} = 5 \ \rm dB, \ 8 \ dB$ und $10 \ \rm dB)$ die Blockfehlerwahrscheinlichkeiten berechnen.
Die blau hinterlegten Zeilen zeigen einige Ergebnisse der Zusatzaufgabe Z2.15. Dort wird ${\rm Pr}(\underline{\upsilon} ≠ \underline{u})$ für $\epsilon_{\rm S} = 10\%, \ 1\%$ und $0.1\%$ berechnet. In den Teilaufgaben (4) und (5) sollen Sie den Zusammenhang zwischen dieser Größe $\epsilon_{\rm S}$ und dem AWGN–Parameter $E_{\rm B}/N_0$ herstellen und somit die obige Tabelle vervollständigen.
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Fehlerwahrscheinlichkeit und Anwendungsgebiete.
- Wir weisen Sie auf folgende Interaktionsmodule hin:
Fragebogen
Musterlösung
