Difference between revisions of "Aufgaben:Exercise 1.16Z: Bounds for the Gaussian Error Function"
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Revision as of 18:01, 5 January 2018
Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Gaußsche Zufallsgröße n mit Streuung σ → Varianz σ2 betragsmäßig größer ist als ein vorgegebener Wert A, ist gleich
- Pr(n>A)=Pr(n<−A)=Q(A/σ).
Hierbei verwendet ist eine der wichtigsten Funktionen für die Nachrichtentechnik (in der Grafik rot eingezeichnet): die Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktion
- Q(x)=1√2π∫+∞xe−u2/2du.
Q(x) ist eine monoton fallende Funktion mit Q(0)=0.5. Für große Werte von x tendiert Q(x)→0.
Das Integral der Q–Funktion ist analytisch nicht lösbar und wird meist in Tabellenform angegeben.
Aus der Literatur bekannt sind aber handhabbare Näherungen bzw. Schranken für positive x–Werte:
- die obere Schranke (obere blaue Kurve in nebenstehender Grafik, nur gültig für x>0):
- Qo(x)=1√2π⋅x⋅e−x2/2≥Q(x),
- die untere Schranke (untere blaue Kurve in der Grafik, nur gültig für x>1):
- Qu(x)=1−1/x2√2π⋅x⋅e−\x2/2≤Q(x),
- die Chernoff–Rubin–Schranke (grüne Kurve in der Grafik, gezeichnet für K=1):
- QCR(x)=K⋅e−x2/2≥Q(x).
In der Aufgabe ist zu untersuchen, in wie weit diese Schranken als Näherungen für Q(x) herangezogen werden können und welche Verfälschungen sich dadurch ergeben.
Hinweise:
- Die Aufgabe bezieht sich auf das Kapitel Schranken für die Blockfehlerwahrscheinlichkeit.
- Bezug genommen wird auch auf das Kapitel Gaußverteilte Zufallsgrößen im Buch „Stochastische Signaltheorie”.
- Die Aufgabe bietet auch einige wichtige Hinweise zur Lösung der Aufgabe 1.16, in der die Funktion QCR(x) zur Herleitung der Bhattacharyya–Schranke für den AWGN–Kanal benötigt wird.
- Weiter verweisen wir auf das interaktive Applet Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen.
- Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.
Fragebogen
Musterlösung
- Qo(x)=1√2π⋅x⋅e−x2/2⇒Qo(4)=1√2π⋅4⋅e−8≈3.346⋅10−5_.
Die untere Schranke kann wie folgt umgewandelt werden:
- Qu(x)=(1−1/x2)⋅Qo(x)⇒Qu(4)≈3.137⋅10−5_.
Die relativen Abweichungen gegenüber dem „echten” Wert {\rm Q}(4) = 3.167 · 10^{–5} sind +5% bzw. –1%.
(2) Richtig sind Antwort 1 und 2. Für x = 2 wird der tatsächliche Funktionswert {\rm Q}(x) = 2.275 · 10^{–2} begrenzt durch {\rm Q}_{o}(x) = 2.7 · 10^{–2} bzw. {\rm Q}_{u}(x) = 2.025 · 10^{–2}. Die relativen Abweichungen betragen 18.7% bzw. –11%. Die letzte Aussage ist falsch. Erst für x < 0.37 gilt {\rm Q}_{o}(x) > 1.
(3) Für den Quotienten aus {\rm Q}_{\rm CR}(x) und {\rm Q}_{o}(x) gilt nach den vorgegebenen Gleichungen:
- q(x) = \frac{{\rm Q_{CR}}(x)}{{\rm Q_{o}}(x)} = \frac{{\rm exp}(-x^2/2)}{{\rm exp}(-x^2/2)/({\sqrt{2\pi} \cdot x})} = {\sqrt{2\pi} \cdot x}
- \Rightarrow \hspace{0.3cm} q(x) \approx 2.5 \cdot x \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} q(x =2) = 5\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}q(x =4) = 10\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}q(x =6) = 15\hspace{0.05cm}.
Je größer der Abszissenwert x, um so ungenauer wird {\rm Q}(x) durch {\rm Q}_{\rm CR}(x) angenähert. Bei Betrachtung der Grafik auf der Angabenseite hat man (hatte ich) den Eindruck, dass {\rm Q}_{\rm CR}(x) sich aus {\rm Q}(x) durch Verschieben nach unten bzw. Verschieben nach oben ergibt. Das ist aber nur eine optische Täuschung und entspricht nicht dem Sachverhalt.
(4) Mit K = 0.5 stimmt die neue Schranke 0.5 · {\rm Q}_{\rm CR}(x) für x = 0 exakt mit {\rm Q}(x=0) = 0.500 überein. Für größere Abszissenwerte wird damit auch die Verfälschung q = 1.25 · x nur halb so groß.