Difference between revisions of "Aufgaben:Exercise 2.6: GF(P power m). Which P, which m?"
m (Guenter verschob die Seite Aufgabe 2.6: GF(P^m). Welches P, welches m nach Aufgabe 2.6: GF(P hoch m). Welches P, welches m?) |
|||
Line 1: | Line 1: | ||
{{quiz-Header|Buchseite=Kanalcodierung/Erweiterungskörper}} | {{quiz-Header|Buchseite=Kanalcodierung/Erweiterungskörper}} | ||
− | [[File:P_ID2510__KC_A_2_6_neu.png|right|frame| | + | [[File:P_ID2510__KC_A_2_6_neu.png|right|frame|Zugrunde liegende Tabellen für Additions und Multiplikation]] |
− | Es soll ein Galoisfeld ${\rm GF}(q)$ mit $q = P^m$ Elementen analysiert werden, das durch die nebenstehenden Tabellen für Addition (gekennzeichnet mit „$+$”) und Multiplikation (gekennzeichnet mit „$\cdot$”) | + | Es soll ein Galoisfeld ${\rm GF}(q)$ mit $q = P^m$ Elementen analysiert werden, das durch die nebenstehenden Tabellen definiert ist |
− | + | *für Addition (gekennzeichnet mit „$+$”) und | |
+ | *für Multiplikation (gekennzeichnet mit „$\cdot$”). | ||
− | erfüllt alle Anforderungen an einen endlichen Körper, die im [[Kanalcodierung/Einige_Grundlagen_der_Algebra| | + | |
− | * ein neutrales Element hinsichtlich Addition ⇒ $N_{\rm A}$: | + | Dieses Galoisfeld ${\rm GF}(q) = \{\hspace{0.1cm}z_0,\hspace{0.1cm} z_1,\hspace{0.05cm} \text{...} , \hspace{0.1cm}z_{q-1}\}$ erfüllt alle Anforderungen an einen endlichen Körper, die im Kapitel [[Kanalcodierung/Einige_Grundlagen_der_Algebra|Einige Grundlagen der Algebra]] aufgeführt sind. Kommutativ–, Assoziativ– und Distributivgesetz werden erfüllt. Weiterhin gibt es |
− | :$$\exists \hspace{0.15cm} z_j \in {\rm GF}(q) : | + | * ein neutrales Element hinsichtlich Addition ⇒ $N_{\rm A}$: |
− | \hspace{0.25cm}z_i + z_j = z_i | + | :$$\exists \hspace{0.15cm} z_j \in {\rm GF}(q)\text{:} |
− | + | \hspace{0.25cm}z_i + z_j = z_i \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} z_j = N_{\rm A} = {\rm "0"} \hspace{0.25cm}{\rm (Nullelement)} | |
\hspace{0.05cm},$$ | \hspace{0.05cm},$$ | ||
− | * ein neutrales Element hinsichtlich Multiplikation ⇒ $N_{\rm M}$: | + | * ein neutrales Element hinsichtlich Multiplikation ⇒ $N_{\rm M}$: |
− | :$$\exists \hspace{0.15cm} z_j \in {\rm GF}(q) : | + | :$$\exists \hspace{0.15cm} z_j \in {\rm GF}(q)\text{:} |
− | \hspace{0.25cm}z_i \cdot z_j = z_i | + | \hspace{0.25cm}z_i \cdot z_j = z_i \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} z_j = N_{\rm M} = {\rm "1"} \hspace{0.25cm}{\rm (Einselement)} |
− | |||
\hspace{0.05cm},$$ | \hspace{0.05cm},$$ | ||
− | * für alle Elemente $z_i$ eine additive Inverse ⇒ ${\rm Inv_A}(z_i)$: | + | * für alle Elemente $z_i$ eine additive Inverse ⇒ ${\rm Inv_A}(z_i)$: |
− | :$$\forall \hspace{0.15cm} z_i \in {\rm GF}(q)\hspace{0.15cm} \exists \hspace{0.15cm} {\rm Inv_A}(z_i) \in {\rm GF}(q):$$ | + | :$$\forall \hspace{0.15cm} z_i \in {\rm GF}(q)\hspace{0.15cm} \exists \hspace{0.15cm} {\rm Inv_A}(z_i) \in {\rm GF}(q)\text{:}$$ |
− | :$$z_i + {\rm Inv_A}(z_i) = N_{\rm A} = {\rm "0"}\hspace{0.25cm} \Rightarrow \hspace{0.25cm}{\rm kurz:}\hspace{0.15cm} | + | ::$$z_i + {\rm Inv_A}(z_i) = N_{\rm A} = {\rm "0"}\hspace{0.25cm} \Rightarrow \hspace{0.25cm}{\rm kurz}\text{:}\hspace{0.15cm} |
{\rm Inv_A}(z_i) = - z_i \hspace{0.05cm}, $$ | {\rm Inv_A}(z_i) = - z_i \hspace{0.05cm}, $$ | ||
* für alle Elemente $z_i$ mit Ausnahme des Nullelements eine multiplikative Inverse ⇒ ${\rm Inv_M}(z_i)$: | * für alle Elemente $z_i$ mit Ausnahme des Nullelements eine multiplikative Inverse ⇒ ${\rm Inv_M}(z_i)$: | ||
− | :$$\forall \hspace{0.15cm} z_i \in {\rm GF}(q),\hspace{0.15cm} z_i \ne N_{\rm A} \hspace{0.15cm} \exists \hspace{0.15cm} {\rm Inv_M}(z_i) \in {\rm GF}(q):$$ | + | :$$\forall \hspace{0.15cm} z_i \in {\rm GF}(q),\hspace{0.15cm} z_i \ne N_{\rm A} \hspace{0.15cm} \exists \hspace{0.15cm} {\rm Inv_M}(z_i) \in {\rm GF}(q)\text{:}$$ |
− | :$$z_i \cdot {\rm Inv_M}(z_i) = N_{\rm M} = {\rm "1"} | + | ::$$z_i \cdot {\rm Inv_M}(z_i) = N_{\rm M} = {\rm "1"} |
− | \hspace{0.25cm} \Rightarrow \hspace{0.25cm}{\rm kurz:}\hspace{0.15cm} | + | \hspace{0.25cm} \Rightarrow \hspace{0.25cm}{\rm kurz}\text{:}\hspace{0.15cm} |
{\rm Inv_M}(z_i) = z_i^{-1} | {\rm Inv_M}(z_i) = z_i^{-1} | ||
\hspace{0.05cm}. $$ | \hspace{0.05cm}. $$ | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
''Hinweise:'' | ''Hinweise:'' | ||
− | * Die Aufgabe | + | * Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Kanalcodierung/Erweiterungsk%C3%B6rper| Erweiterungskörper]]. |
− | * In den Tabellen sind die Elemente $z_0, \ ... \ , \ z_8$ als Koeffizientenvektoren bezeichnet. | + | * In den Tabellen sind die Elemente $z_0, \hspace{0.05cm} \text{...} , \hspace{0.1cm} , \ z_8$ als Koeffizientenvektoren bezeichnet. Zum Beispiel steht „$21$” für „$2 \cdot \alpha + 1$”. |
* Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein. | * Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein. | ||
Line 39: | Line 42: | ||
{Geben Sie die Parameter des hier betrachteten Galoisfeldes an. | {Geben Sie die Parameter des hier betrachteten Galoisfeldes an. | ||
|type="{}"} | |type="{}"} | ||
− | $P \ = \ ${ 3 | + | $P \ = \ ${ 3 } |
− | $m \ = \ ${ 2 | + | $m \ = \ ${ 2 } |
− | $q \ = \ ${ 9 | + | $q \ = \ ${ 9 } |
{Wie lautet das neutrale Element für die Addition? | {Wie lautet das neutrale Element für die Addition? | ||
|type="[]"} | |type="[]"} | ||
− | + Das neutrale Element der Addition ist $N_{\rm A} = \, „00” | + | + Das neutrale Element der Addition ist $N_{\rm A} = \,$ „$00$”, |
− | - Das neutrale Element der Addition ist $N_{\rm A} = \, „01” | + | - Das neutrale Element der Addition ist $N_{\rm A} = \,$ „$01$”. |
{Wie lautet das neutrale Element für die Multiplikation? | {Wie lautet das neutrale Element für die Multiplikation? | ||
|type="[]"} | |type="[]"} | ||
− | - Das neutrale Element der Multiplikation ist $N_{\rm M} = \, „00” | + | - Das neutrale Element der Multiplikation ist $N_{\rm M} = \,$ „$00$”, |
− | + Das neutrale Element der Multiplikation ist $N_{\rm M} = \, „01” | + | + Das neutrale Element der Multiplikation ist $N_{\rm M} = \,$ „$01$”. |
{Welche Aussagen gelten hinsichtlich der additiven Inversen? | {Welche Aussagen gelten hinsichtlich der additiven Inversen? | ||
|type="[]"} | |type="[]"} | ||
− | + Es gilt ${\rm Inv_A} | + | + Es gilt ${\rm Inv_A} ($„$02$”) $= \,$ „$01$”, |
− | + Es gilt ${\rm Inv_A} | + | + Es gilt ${\rm Inv_A} ($„$11$”) $= \,$ „$22$”, |
− | - Es gilt ${\rm Inv_A} | + | - Es gilt ${\rm Inv_A} ($„$22$”) $= \,$ „$00$”. |
{Welche der folgenden Aussagen treffen für die Multiplikation zu? | {Welche der folgenden Aussagen treffen für die Multiplikation zu? | ||
Line 67: | Line 70: | ||
|type="[]"} | |type="[]"} | ||
- Es gibt für alle Elemente $z_i ∈ {\rm GF}(P^m)$ eine multiplikative Inverse. | - Es gibt für alle Elemente $z_i ∈ {\rm GF}(P^m)$ eine multiplikative Inverse. | ||
− | + Es gilt ${\rm Inv_M}(„12”) = \, „10” | + | + Es gilt ${\rm Inv_M} ($„$12$”) $= \,$ „$10$”. |
− | - Es gilt ${\rm | + | - Es gilt ${\rm Inv_A} ($„$21$”) $= \,$ „$12$”. |
− | {Gilt | + | {Gilt („$20$” $\, + \,$ „$12$”) $\, \cdot\, $ („$12$”) $= \,$„$20$” $\, \cdot\, $ „$12$” $\, + \, $„$12$” $\, \cdot\, $ „$12$”? |
− | |type=" | + | |type="()"} |
− | + Ja | + | + Ja. |
- Nein. | - Nein. | ||
</quiz> | </quiz> |
Revision as of 18:14, 8 January 2018
Es soll ein Galoisfeld ${\rm GF}(q)$ mit $q = P^m$ Elementen analysiert werden, das durch die nebenstehenden Tabellen definiert ist
- für Addition (gekennzeichnet mit „$+$”) und
- für Multiplikation (gekennzeichnet mit „$\cdot$”).
Dieses Galoisfeld ${\rm GF}(q) = \{\hspace{0.1cm}z_0,\hspace{0.1cm} z_1,\hspace{0.05cm} \text{...} , \hspace{0.1cm}z_{q-1}\}$ erfüllt alle Anforderungen an einen endlichen Körper, die im Kapitel Einige Grundlagen der Algebra aufgeführt sind. Kommutativ–, Assoziativ– und Distributivgesetz werden erfüllt. Weiterhin gibt es
- ein neutrales Element hinsichtlich Addition ⇒ $N_{\rm A}$:
- $$\exists \hspace{0.15cm} z_j \in {\rm GF}(q)\text{:} \hspace{0.25cm}z_i + z_j = z_i \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} z_j = N_{\rm A} = {\rm "0"} \hspace{0.25cm}{\rm (Nullelement)} \hspace{0.05cm},$$
- ein neutrales Element hinsichtlich Multiplikation ⇒ $N_{\rm M}$:
- $$\exists \hspace{0.15cm} z_j \in {\rm GF}(q)\text{:} \hspace{0.25cm}z_i \cdot z_j = z_i \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} z_j = N_{\rm M} = {\rm "1"} \hspace{0.25cm}{\rm (Einselement)} \hspace{0.05cm},$$
- für alle Elemente $z_i$ eine additive Inverse ⇒ ${\rm Inv_A}(z_i)$:
- $$\forall \hspace{0.15cm} z_i \in {\rm GF}(q)\hspace{0.15cm} \exists \hspace{0.15cm} {\rm Inv_A}(z_i) \in {\rm GF}(q)\text{:}$$
- $$z_i + {\rm Inv_A}(z_i) = N_{\rm A} = {\rm "0"}\hspace{0.25cm} \Rightarrow \hspace{0.25cm}{\rm kurz}\text{:}\hspace{0.15cm} {\rm Inv_A}(z_i) = - z_i \hspace{0.05cm}, $$
- für alle Elemente $z_i$ mit Ausnahme des Nullelements eine multiplikative Inverse ⇒ ${\rm Inv_M}(z_i)$:
- $$\forall \hspace{0.15cm} z_i \in {\rm GF}(q),\hspace{0.15cm} z_i \ne N_{\rm A} \hspace{0.15cm} \exists \hspace{0.15cm} {\rm Inv_M}(z_i) \in {\rm GF}(q)\text{:}$$
- $$z_i \cdot {\rm Inv_M}(z_i) = N_{\rm M} = {\rm "1"} \hspace{0.25cm} \Rightarrow \hspace{0.25cm}{\rm kurz}\text{:}\hspace{0.15cm} {\rm Inv_M}(z_i) = z_i^{-1} \hspace{0.05cm}. $$
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Erweiterungskörper.
- In den Tabellen sind die Elemente $z_0, \hspace{0.05cm} \text{...} , \hspace{0.1cm} , \ z_8$ als Koeffizientenvektoren bezeichnet. Zum Beispiel steht „$21$” für „$2 \cdot \alpha + 1$”.
- Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.
Fragebogen
Musterlösung
(2) Das neutrale Element der Addition $(N_{\rm A})$ erfüllt für alle $z_i ∈ {\rm GF}(P^m)$ die Bedingung $z_i + N_{\rm A} = z_i$. Aus der Additionstabelle kann abgelesen werden, dass „$00$” diese Bedingung erfült ⇒ Lösungsvorschlag 1.
(3) Das neutrale Element der Multiplikation $(N_{\rm M})$ muss stets die Bedingung $z_i \cdot N_{\rm M} = z_i$ erfüllen. Aus der Multiplikationstabelle ergibt sich $N_{\rm M} = \, „01”$ ⇒ Lösungsvorschlag 2. In der Polynomschreibweise entspricht dies mit $k_1 = 0$ und $k_0 = 1$:
- $$k_1 \cdot \alpha + k_0 = 1 \hspace{0.05cm}.$$
(4) Mit der Polynomdarstellung ergeben sich folgende Berechnungen:
- $${\rm Inv_A}("02") \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} {\rm Inv_A}(2) = (-2) \hspace{0.1cm}{\rm mod} \hspace{0.1cm} 3 = 1 \hspace{0.25cm}\Rightarrow \hspace{0.25cm}{\rm Vektor}\hspace{0.15cm}"01"\hspace{0.05cm},$$
- $${\rm Inv_A}("11") \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} {\rm Inv_A}(\alpha + 1) = [(-\alpha) \hspace{0.1cm}{\rm mod} \hspace{0.1cm} 3] + [(-1) \hspace{0.1cm}{\rm mod} \hspace{0.1cm} 3] =$$
- $$ \hspace{2.225cm} \ = \ \hspace{-0.15cm}2\alpha + 2 \hspace{0.25cm} \Rightarrow \hspace{0.25cm}{\rm Vektor}\hspace{0.15cm}"22"\hspace{0.05cm},$$
- $${\rm Inv_A}("22") \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} {\rm Inv_A}(2\alpha + 2) = [(-2\alpha) \hspace{0.1cm}{\rm mod} \hspace{0.1cm} 3] + [(-2) \hspace{0.1cm}{\rm mod} \hspace{0.1cm} 3] =$$
- $$\hspace{2.225cm} \ = \ \hspace{-0.15cm}\alpha + 1 \hspace{0.25cm} \Rightarrow \hspace{0.25cm}{\rm Vektor}\hspace{0.15cm}"11"\hspace{0.05cm}.$$
Demzufolge sind nur die beiden ersten Lösungsvorschläge richtig. Die Aufgabe kann aber auch ohne Rechnung allein anhand der Additionstabelle gelöst werden. Beispielsweise findet man die Inverse zu „$22$”, indem man in der letzten Zeile die Spalte mit dem Eintrag „$00$” sucht. Man findet die mit „$11$” bezeichnete Spalte und damit ${\rm Inv_A}(„22”) = \, „11”$.
(5) Die Multiplikation von $\alpha$ (Vektor „$10$”) mit sich selbst ergibt $\alpha^2$.
- Würde der erste Lösungsvorschlag gültig sein, so müsste sich aus der Bedingung $\alpha^2 + 2 = 0$ und damit $\alpha^2 = (-2) \, {\rm mod} \, 3 = 1$ ergeben, also der Vektor „$01$”.
- Geht man vom zweiten Lösungsvorschlag aus, so folgt aus der Bedingung $\alpha^2 + 2\alpha + 2 = 0$ in der Polynomschreibweise
- $$\alpha^2 = [(-2\alpha) \hspace{0.1cm}{\rm mod} \hspace{0.1cm} 3] + [(-2) \hspace{0.1cm}{\rm mod} \hspace{0.1cm} 3] = \alpha + 1 $$
- und damit der Koeffizientenvektor „$11$”.
In der Multiplikationstabelle findet man in Zeile 4, Spalte 4 genau den Eintrag „$11$” → Richtig ist also der Lösungsvorschlag 2.
(6) Die multiplikative Inverse zu „$12$” findet man in der Zeile 6 der Multiplikationstabelle als diejenige Spalte mit dem Eintrag „$01$” ⇒ Der Lösungsvorschlag 2 ist also richtig im Gegensatz zu Vorschlag 3. Es gilt nämlich ${\rm Inv_M}(„21”) = \, „20”$.
Wir überprüfen diese Ergebnisse unter Berücksichtigung von $\alpha^2 + 2\alpha + 2 = 0$ durch Multiplikationen:
- $$"12" \cdot "10" \hspace{0.15cm} \ \Rightarrow \ \hspace{0.15cm} (\alpha + 2) \cdot \alpha = \alpha^2 + 2\alpha = (-2\alpha-2) + 2\alpha = -2 \hspace{0.1cm}{\rm mod} \hspace{0.1cm} 3 = 1 $$
- $$\hspace{3.125cm} \Rightarrow \ {\rm Vektor}\hspace{0.15cm}"01" \hspace{0.15cm} \Rightarrow \hspace{0.15cm}{\rm multiplikative \hspace{0.15cm}Inverse}\hspace{0.05cm}.$$
- $$"21" \cdot "12" \hspace{0.15cm} \ \Rightarrow \ \hspace{0.15cm} (2\alpha + 1) \cdot (\alpha + 2) = 2 \alpha^2 + \alpha + 4\alpha + 2 = 2 \alpha^2 + 5\alpha + 2 = $$
- $$\hspace{3.125cm} \Rightarrow \ \hspace{0.15cm}2 \cdot (-2\alpha - 2) + 5\alpha + 2 = (\alpha - 2) \hspace{0.1cm}{\rm mod} \hspace{0.1cm} 3 = \alpha +1 $$
- $$\hspace{3.125cm} \Rightarrow \ {\rm Vektor}\hspace{0.15cm}"11" \hspace{0.15cm} \Rightarrow \hspace{0.15cm}{\rm keine \hspace{0.15cm}multiplikative \hspace{0.15cm}Inverse}\hspace{0.05cm}.$$
Der Lösungsvorschlag 1 ist deshalb nicht richtig, weil es für „$00$” keine multiplikative Inverse gibt.
(7) Die beiden Ausdrücke stimmen überein ⇒ Ja, wie die folgenden Berechnungen zeigen:
- $$("20" + "12") \ \cdot "12" \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} "02"\cdot "12" \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} "21"\hspace{0.05cm},$$
- $$"20" \cdot "12" + "12" \cdot "12" \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} "02" + "22" \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} "21"\hspace{0.05cm}.$$
Das bedeutet: Das Distributivgesetz wurde zumindest an einem einzigen Beispiel nachgewiesen.