Difference between revisions of "Aufgaben:Exercise 3.7: Synchronous Demodulator"
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Zur Rücksetzung eines amplitudenmodulierten Signals in den ursprünglichen Frequenzbereich verwendet man oft einen [[Modulationsverfahren/Synchrondemodulation#Blockschaltbild_und_Zeitbereichsdarstellung|Synchrondemodulator]]: | Zur Rücksetzung eines amplitudenmodulierten Signals in den ursprünglichen Frequenzbereich verwendet man oft einen [[Modulationsverfahren/Synchrondemodulation#Blockschaltbild_und_Zeitbereichsdarstellung|Synchrondemodulator]]: | ||
*Dieser multipliziert das AM-Eingangssignal $r(t)$ mit einem empfangsseitigen Trägersignal $z_{\rm E}(t)$, das sowohl hinsichtlich der Frequenz $f_{\rm T}$ als auch der Phase $\varphi_{\rm T}$ mit dem sendeseitigen Trägersignal $z_{\rm S}(t)$ übereinstimmen sollte. | *Dieser multipliziert das AM-Eingangssignal $r(t)$ mit einem empfangsseitigen Trägersignal $z_{\rm E}(t)$, das sowohl hinsichtlich der Frequenz $f_{\rm T}$ als auch der Phase $\varphi_{\rm T}$ mit dem sendeseitigen Trägersignal $z_{\rm S}(t)$ übereinstimmen sollte. | ||
− | * | + | *Es folgt ein rechteckförmiger Tiefpass zur Eliminierung aller spektralen Anteile oberhalb der Trägerfrequenz $f_{\rm T}$. Das Ausgangssignal des Synchrondemodulators nennen wir $v(t)$. |
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Das oben skizzierte Spektrum $R(f)$ des Empfangssignals $r(t)$ ist durch Zweiseitenband–Amplitudenmodulation eines sinusförmigen Quellensignals $q(t)$ mit der Frequenz $5\,\text{kHz}$ und der Amplitude $8\,\text{V}$ entstanden. Als sendeseitiges Trägersignal $z_{\rm S}(t)$ wurde ein Cosinussignal mit der Frequenz $30\,\text{kHz}$ verwendet. | Das oben skizzierte Spektrum $R(f)$ des Empfangssignals $r(t)$ ist durch Zweiseitenband–Amplitudenmodulation eines sinusförmigen Quellensignals $q(t)$ mit der Frequenz $5\,\text{kHz}$ und der Amplitude $8\,\text{V}$ entstanden. Als sendeseitiges Trägersignal $z_{\rm S}(t)$ wurde ein Cosinussignal mit der Frequenz $30\,\text{kHz}$ verwendet. | ||
Das Spektrum des empfangsseitigen Trägersignals $z_{\rm E}(t)$ besteht entsprechend der unteren Skizze aus zwei Diraclinien, jeweils mit dem Gewicht $A/2$. Da $z_{\rm E}(t)$ keine Einheit beinhalten soll, sind auch die Gewichte der Diracfunktionen dimensionslos. | Das Spektrum des empfangsseitigen Trägersignals $z_{\rm E}(t)$ besteht entsprechend der unteren Skizze aus zwei Diraclinien, jeweils mit dem Gewicht $A/2$. Da $z_{\rm E}(t)$ keine Einheit beinhalten soll, sind auch die Gewichte der Diracfunktionen dimensionslos. | ||
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− | $v(t = 50\, µ\text{s})$ | + | $v(t = 50\, µ\text{s})\ = \ $ { 4 3% } $\text{V}$ |
{Wie groß muss die Amplitude des empfangsseitigen Trägersignals $z_{\rm E}(t)$ gewählt werden, damit $v(t) = q(t)$ gilt? | {Wie groß muss die Amplitude des empfangsseitigen Trägersignals $z_{\rm E}(t)$ gewählt werden, damit $v(t) = q(t)$ gilt? | ||
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− | $A$ | + | $A\ = \ $ { 2 3% } |
− | {Berechnen Sie das Ausgangssignal $v(t)$ unter den Voraussetzungen $A = 2$ und $f_{\rm T} = 31\,\text{kHz}$ | + | {Berechnen Sie das Ausgangssignal $v(t)$ unter den Voraussetzungen $A = 2$ und $f_{\rm T} = 31\,\text{kHz}$. <br>Welcher Signalwert tritt zum Zeitpunkt $ t = 50\, µ\text{s}$ auf? |
|type="{}"} | |type="{}"} | ||
− | $v(t = 50\, µ\text{s})$ | + | $v(t = 50\, µ\text{s})\ = \ $ { 7.608 3% } $\text{V}$ |
</quiz> | </quiz> |
Revision as of 17:10, 17 January 2018
Zur Rücksetzung eines amplitudenmodulierten Signals in den ursprünglichen Frequenzbereich verwendet man oft einen Synchrondemodulator:
- Dieser multipliziert das AM-Eingangssignal $r(t)$ mit einem empfangsseitigen Trägersignal $z_{\rm E}(t)$, das sowohl hinsichtlich der Frequenz $f_{\rm T}$ als auch der Phase $\varphi_{\rm T}$ mit dem sendeseitigen Trägersignal $z_{\rm S}(t)$ übereinstimmen sollte.
- Es folgt ein rechteckförmiger Tiefpass zur Eliminierung aller spektralen Anteile oberhalb der Trägerfrequenz $f_{\rm T}$. Das Ausgangssignal des Synchrondemodulators nennen wir $v(t)$.
Das oben skizzierte Spektrum $R(f)$ des Empfangssignals $r(t)$ ist durch Zweiseitenband–Amplitudenmodulation eines sinusförmigen Quellensignals $q(t)$ mit der Frequenz $5\,\text{kHz}$ und der Amplitude $8\,\text{V}$ entstanden. Als sendeseitiges Trägersignal $z_{\rm S}(t)$ wurde ein Cosinussignal mit der Frequenz $30\,\text{kHz}$ verwendet.
Das Spektrum des empfangsseitigen Trägersignals $z_{\rm E}(t)$ besteht entsprechend der unteren Skizze aus zwei Diraclinien, jeweils mit dem Gewicht $A/2$. Da $z_{\rm E}(t)$ keine Einheit beinhalten soll, sind auch die Gewichte der Diracfunktionen dimensionslos.
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Faltungssatz und Faltungsoperation.
- Wichtige Informationen finden Sie vor allem auf der Seite Faltung einer Funktion mit einer Diracfunktion.
- Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.
Fragebogen
Musterlösung
- Die Faltung des Spektrums $R(f)$ mit der rechten Diraclinie bei $+30 \text{kHz}$ führt zu diskreten Spektrallinien bei $-\hspace{-0.08cm}5\, \text{kHz}$, $5 \,\text{kHz}$, $55 \,\text{kHz}$z und $65 \,\text{kHz}$. Diese sind alle imaginär und gegenüber den Impulsgewichten von $R(f)$ um den Faktor $A/2 = 0.5$ kleiner.
- Die Faltung von $R(f)$ mit dem Dirac bei $-\hspace{-0.08cm}30 \,\text{kHz}$ ergibt Linien bei $-\hspace{-0.08cm}65 \,\text{kHz}$, $-\hspace{-0.08cm}55 \,\text{kHz}$, $-\hspace{-0.08cm}5 \,\text{kHz}$ und $5 \,\text{kHz}$.
Durch Überlagerung der beiden Zwischenresultate und Berücksichtigung des Tiefpassfilters, der die Linien bei $\pm 55 \text{kHz}$ und $\pm 65 \text{kHz}$unterdrückt, folgt somit für das Spektrum des Sinkensignals:
$$V( f) = - {\rm{j}} \cdot 2\;{\rm{V}} \cdot \delta ( {f - f_{\rm N} }) + {\rm{j}} \cdot 2\;{\rm{V}} \cdot \delta ( {f + f_{\rm N} } )\hspace{0.3cm}{\rm mit}\hspace{0.3cm}f_{\rm N} = 5\;{\rm kHz}.$$
Das Sinkensignal $v(t)$ ist also ein $5 \text{kHz}$–Sinussignal mit der Amplitude $4 \text{V}$. Der Zeitpunkt $t = 50\, µ\text{s}$ entspricht einem Viertel der Periodendauer $T_0 = 1/f_{\rm N} = 200\, µ\text{s}$. Somit ist hier das Sinkensignal maximal, also $\underline{4 \text{V}}$.
2. Mit $A = 1$ ist also $v(t)$ nur halb so groß wie $q(t).$ ⇒ Mit $\underline{A = 2}$ sind beide Signale.
3. Die beiden Diraclinien bei $\pm f_{\rm T}$ haben nun jeweils das Gewicht $1$. Alle nachfolgend genannten Spektrallinien sind imaginär und betragsmäßig gleich $2 \text{V}$.
- Die Faltung von $R(f)$ mit der rechten Diraclinie von $z_{\rm E}(t)$ liefert Anteile bei $-\hspace{-0.08cm}4\, \text{kHz}$, (p: positiv) $56 \,\text{kHz}$ (n: negativ), $56 \,\text{kHz}$ (p) und $66 \,\text{kHz}$ (n).
- Dagegen führt die Faltung mit der linken Diracfunktion zu Spektrallinien bei $-\hspace{-0.08cm}66 \,\text{kHz}$ (p), $-\hspace{-0.08cm}56 \,\text{kHz}$ (n), $-\hspace{-0.08cm}6 \,\text{kHz}$ (p) und $4 \,\text{kHz}$ (n), alle ebenfalls mit den (betragsmäßigen) Impulsgewichten $2 \text{V}$.
- Unter Berücksichtigung des Tiefpasses verbleiben nur die vier Spektrallinien bei $\pm 4 \,\text{kHz}$ und $\pm 6 \,\text{kHz}$. Das dazugehörige Zeitsignal lautet somit mit $f_4 = 4 \,\text{kHz}$ und $f_46 = 6 \,\text{kHz}$:
$$v( t ) = 4\;{\rm{V}} \cdot \sin ( {2{\rm{\pi }}f_4 t} ) + 4\;{\rm{V}} \cdot \sin ( {2{\rm{\pi }}f_6 t} ).$$
Zum Zeitpunkt $t = 50\, µ\text{s}$ erhält man:
$$v( t = 50\, µ\text{s}) = 4\;{\rm{V}} \cdot \left( {\sin ( {0.4{\rm{\pi }}} ) + \sin ( {0.6{\rm{\pi }}} )} \right)\hspace{0.15 cm}\underline{ = 7.608\;{\rm{V}}}{\rm{.}}$$