Difference between revisions of "Aufgaben:Exercise 4.6Z: Locality Curve for Phase Modulation"
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- Aus $q(t) = -0.5 = \text{const.}$ folgt $s(t) = s_0 \cdot \cos (\omega_T \cdot t)$. | - Aus $q(t) = -0.5 = \text{const.}$ folgt $s(t) = s_0 \cdot \cos (\omega_T \cdot t)$. | ||
+ Bei einem Rechtecksignal $q(t)$ (⇒ nur zwei mögliche Signalwerte $\pm 0.5$) entartet die Ortskurve zu zwei Punkten. | + Bei einem Rechtecksignal $q(t)$ (⇒ nur zwei mögliche Signalwerte $\pm 0.5$) entartet die Ortskurve zu zwei Punkten. | ||
| − | + Mit den Signalwerten $\pm 1$ (es gilt dann nicht $q_{\rm min} = -0.5$) entartet die Ortskurve zu einem Punkt: $s_{\rm TP}(t) = -s_0$. | + | + Mit den Signalwerten $\pm 1$ (⇒ es gilt dann nicht $q_{\rm min} = -0.5$) entartet die Ortskurve zu einem Punkt: $s_{\rm TP}(t) = -s_0$. |
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| + | *$\phi_{min} =- \pi /2 \; \Rightarrow \; \underline{-90^\circ}$, | ||
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| + | '''(3)''' Allgemein gilt hier der Zusammenhang $s_{\rm TP}(t) = a(t) \cdot {\rm e}^{{\rm j}\cdot \hspace{0.05cm} | ||
\phi(t)}.$ Ein Vergleich mit der gegebenen Funktion liefert: | \phi(t)}.$ Ein Vergleich mit der gegebenen Funktion liefert: | ||
:$$\phi(t) = \eta \cdot q(t).$$ | :$$\phi(t) = \eta \cdot q(t).$$ | ||
| − | Der maximale Phasenwert $\phi_{max} = +\pi \; \Rightarrow \; {180^\circ}$ ergibt sich für die Signalamplitude $q_{\rm max} = 1$. Daraus folgt direkt ${\eta = \pi} \; \underline{\approx 3.14}$. Dieser Modulationsindex wird durch die Werte $\phi_{\rm min} = | + | *Der maximale Phasenwert $\phi_{max} = +\pi \; \Rightarrow \; {180^\circ}$ ergibt sich für die Signalamplitude $q_{\rm max} = 1$. Daraus folgt direkt ${\eta = \pi} \; \underline{\approx 3.14}$. |
| + | *Dieser Modulationsindex wird durch die Werte $\phi_{\rm min} = -\pi /2$ und $q_{\rm min} = -0.5$ bestätigt. | ||
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| − | '''4 | + | '''(4)''' Richtig sind somit der <u>zweite und der dritte Lösungsvorschlag</u>: |
| + | *Ist $q(t) = \text{const.} =-0.5$, so ist die Phasenfunktion ebenfalls konstant: | ||
:$$\phi(t) = \eta \cdot q(t) = - \frac{\pi}{2}\hspace{0.3cm} | :$$\phi(t) = \eta \cdot q(t) = - \frac{\pi}{2}\hspace{0.3cm} | ||
\Rightarrow \hspace{0.3cm} s_{\rm TP}(t) = - {\rm j} \cdot s_0 = - 2{\rm j}.$$ | \Rightarrow \hspace{0.3cm} s_{\rm TP}(t) = - {\rm j} \cdot s_0 = - 2{\rm j}.$$ | ||
| − | Somit gilt für das tatsächliche, physikalische Signal: | + | *Somit gilt für das tatsächliche, physikalische Signal: |
:$$s(t) = s_0 \cdot {\cos} ( \omega_{\rm T}\hspace{0.05cm} t - | :$$s(t) = s_0 \cdot {\cos} ( \omega_{\rm T}\hspace{0.05cm} t - | ||
{\pi}/{2}) = 2 \cdot {\sin} ( \omega_{\rm T} \hspace{0.05cm} t ).$$ | {\pi}/{2}) = 2 \cdot {\sin} ( \omega_{\rm T} \hspace{0.05cm} t ).$$ | ||
| + | *Dagegen führt $q(t) = +0.5$ zu $\phi (t) = \pi /2$ und $s_{\rm TP}(t) = 2{\rm j}$. | ||
| + | *Ist $q(t)$ ein Rechtecksignal, das abwechselnd die Werte $+0.5$ und $–0.5$ annimmt, besteht somit die Ortskurve nur aus zwei Punkten auf der imaginären Achse, und zwar unabhängig davon, wie lange die Intervalle mit $+0.5$ und $–0.5$ dauern. | ||
| + | *Gilt dagegen $q(t) = \pm 1$, so ergeben sich rein formal die möglichen Phasenwerte $+\pi$ und $-\pi$, die aber identisch sind. | ||
| + | *Die „Ortskurve” besteht dann nur aus einem einzigen Punkt: $s_{\rm TP}(t) = - s_0$ ⇒ das Signal $s(t)$ ist für alle Zeiten $t$ „minus-cosinusförmig”. | ||
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Revision as of 17:17, 24 January 2018
Wir gehen hier von einem Nachrichtensignal $q(t)$ aus, das normiert (dimensionslos) betrachtet wird. Der Maximalwert dieses Signal ist $q_{\rm max} = 1$ und der minimale Signalwert beträgt $q_{\rm min} = -0.5$. Ansonsten ist über $q(t)$ nichts bekannt.
Das modulierte Signal lautet bei Phasenmodulation:
- $$s(t) = s_0 \cdot {\cos} ( \omega_{\rm T}\hspace{0.05cm} t + \eta \cdot q(t)).$$
Hierbei bezeichnet $\eta$ den so genannten Modulationsindex. Auch die konstante Hüllkurve $s_0$ sei eine dimensionslose Größe, die im Folgenden zu $s_0 = 2$ gesetzt wird (siehe Grafik).
Ersetzt man in dieser Gleichung die Cosinus– durch die komplexe Exponentialfunktion, so kommt man zum analytischen Signal
- $$s_{\rm +}(t) = s_0\cdot {\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}( \omega_{\rm T} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} t + \eta \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} q(t)) }.$$
Daraus kann man das in der Grafik skizzierte äquivalente TP-Signal wie folgt berechnen:
- $$s_{\rm TP}(t) = s_{\rm +}(t) \cdot {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot\hspace{0.05cm} \omega_{\rm T} \hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm} t } = s_0\cdot {\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm} \eta \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} q(t) }.$$
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Äquivalentes Tiefpass-Signal und zugehörige Spektralfunktion.
- Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.
- Sie können Ihre Lösung mit dem Interaktionsmodul Ortskurve – Darstellung des äquivalenten Tiefpass-Signals überprüfen.
Fragebogen
Musterlösung
(1) Die Ortskurve ist ein Kreisbogen mit Radius $2$. Deshalb ist die Betragsfunktion konstant $\underline{a(t) = 2}$.
(2) Aus der Grafik ist zu erkennen, dass folgende Zahlenwerte gelten:
- $\phi_{min} =- \pi /2 \; \Rightarrow \; \underline{-90^\circ}$,
- $\phi_{max} = +\pi \; \Rightarrow \; \underline{+180^\circ}$.
(3) Allgemein gilt hier der Zusammenhang $s_{\rm TP}(t) = a(t) \cdot {\rm e}^{{\rm j}\cdot \hspace{0.05cm}
\phi(t)}.$ Ein Vergleich mit der gegebenen Funktion liefert:
- $$\phi(t) = \eta \cdot q(t).$$
- Der maximale Phasenwert $\phi_{max} = +\pi \; \Rightarrow \; {180^\circ}$ ergibt sich für die Signalamplitude $q_{\rm max} = 1$. Daraus folgt direkt ${\eta = \pi} \; \underline{\approx 3.14}$.
- Dieser Modulationsindex wird durch die Werte $\phi_{\rm min} = -\pi /2$ und $q_{\rm min} = -0.5$ bestätigt.
Ortskurve (Phasendiagramm) bei Rechtecksignal
(4) Richtig sind somit der zweite und der dritte Lösungsvorschlag:
- Ist $q(t) = \text{const.} =-0.5$, so ist die Phasenfunktion ebenfalls konstant:
- $$\phi(t) = \eta \cdot q(t) = - \frac{\pi}{2}\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} s_{\rm TP}(t) = - {\rm j} \cdot s_0 = - 2{\rm j}.$$
- Somit gilt für das tatsächliche, physikalische Signal:
- $$s(t) = s_0 \cdot {\cos} ( \omega_{\rm T}\hspace{0.05cm} t - {\pi}/{2}) = 2 \cdot {\sin} ( \omega_{\rm T} \hspace{0.05cm} t ).$$
- Dagegen führt $q(t) = +0.5$ zu $\phi (t) = \pi /2$ und $s_{\rm TP}(t) = 2{\rm j}$.
- Ist $q(t)$ ein Rechtecksignal, das abwechselnd die Werte $+0.5$ und $–0.5$ annimmt, besteht somit die Ortskurve nur aus zwei Punkten auf der imaginären Achse, und zwar unabhängig davon, wie lange die Intervalle mit $+0.5$ und $–0.5$ dauern.
- Gilt dagegen $q(t) = \pm 1$, so ergeben sich rein formal die möglichen Phasenwerte $+\pi$ und $-\pi$, die aber identisch sind.
- Die „Ortskurve” besteht dann nur aus einem einzigen Punkt: $s_{\rm TP}(t) = - s_0$ ⇒ das Signal $s(t)$ ist für alle Zeiten $t$ „minus-cosinusförmig”.
