Applets:Complementary Gaussian Error Functions

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Programmbeschreibung

Dieses Applet ermöglicht die Berechnung und graphische Darstellung

• der Wahrscheinlichkeiten ${\rm Pr}(z=\mu)$ einer diskreten Zufallsgröße $z \in \{\mu \} = \{0, 1, 2, 3, \text{...} \}$, welche die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (WDF) – im Englischen Probability Density Function (PDF) – der Zufallsgröße $z$ bestimmen – hier Darstellung mit Diracfunktionen ${\rm \delta}( z-\mu)$:

$$f_{z}(z)=\sum_{\mu=1}^{M}{\rm Pr}(z=\mu)\cdot {\rm \delta}( z-\mu),$$

• der Wahrscheinlichkeiten ${\rm Pr}(z \le \mu)$ der Verteilungsfunktion (VTF) – im Englischen Cumulative Distribution Function (CDF):

$$F_{z}(\mu)={\rm Pr}(z\le\mu).$$

Als diskrete Verteilungen stehen in zwei Parametersätzen zur Auswahl:

• die Binomialverteilung mit den Parametern $I$ und $p$   ⇒   $z \in \{0, 1, \text{...} \ , I \}$   ⇒   $M = I+1$ mögliche Werte,
• die Poissonverteilung mit Parameter $\lambda$   ⇒   $z \in \{0, 1, 2, 3, \text{...}\}$   ⇒   $M \to \infty$.

In der Versuchsdurchführung sollen Sie miteinander vergleichen:

• je zwei Binomialverteilungen mit unterschiedlichen Parameterwerten $I$ und $p$,
• je zwei Poissonverteilungen mit unterschiedlicher Rate $\lambda$,
• jeweils eine Binomial– und eine Poissonverteilung.

Theoretischer Hintergrund

Bei der Untersuchung digitaler Übertragungssysteme muss oft die Wahrscheinlichkeit bestimmt werden, dass eine (mittelwertfreie) gaußverteilte Zufallsgröße $x$ mit der Varianz $σ^2$ einen vorgegebenen Wert $x_0$ überschreitet. Für diese Wahrscheinlichkeit gilt:

$${\rm Pr}(x > x_{\rm 0})={\rm Q}(\frac{x_0}{\sigma}) = 0.5 \cdot {\rm erfc}(\frac{x_0}{\sqrt{2} \cdot \sigma}).$$

Die Q–Funktion

Die Funktion ${\rm Q}(x)$ bezeichnet man als das Komplementäre Gaußsche Fehlerintegral. Es gilt folgende Berechnungsvorschrift:

$$\rm Q (\it x\rm ) = \frac{\rm 1}{\sqrt{\rm 2\pi}}\int_{\it x}^{\rm +\infty}\hspace{-0.2cm}\rm e^{\it -u^{\rm 2}/\hspace{0.05cm} \rm 2}\,d \it u .$$

• Dieses Integral ist nicht analytisch lösbar und muss – wenn man dieses Applet nicht zur Verfügung hat – aus Tabellen entnommen werden.
• Speziell für größere $x$–Werte von (also für kleine Fehlerwahrscheinlichkeiten) liefern die nachfolgend angegebenen Schranken eine brauchbare Abschätzung für das Komplementäre Gaußsche Fehlerintegral. ${\rm Q}_o(x)$ bezeichnet hierbei eine obere und ${\rm Q}_u(x)$ eine untere Schranke:

$${\rm Q_o}(x )=\frac{ 1}{\sqrt{2\pi}\cdot x}\cdot {\rm e}^{- x^{2}/\hspace{0.05cm}2} > {\rm Q}(x), $$

$${\rm Q_u}(x )=\frac{\rm 1-{\rm 1}/{\it x^{\rm 2}}}{\sqrt{\rm 2\pi}\cdot \it x}\cdot \rm e^{-\it x^{\rm 2}/\hspace{0.05cm}\rm 2} =\rm Q_0(\it x \rm )\left(\rm 1-{\rm 1}/{\it x^{\rm 2}}\right)< {\rm Q}(x), .$$

Die Funktion erfc(x)

In Bibliotheken findet man oft die Funktion

$${\rm erfc}(x),$$

die mit ${\rm Q}(x)$ wie folgt zusammenhängt:

$$\rm Q(\it x\rm )={\rm 1}/\hspace{0.05cm}{\rm 2}\cdot \rm erfc({\it x}/{\sqrt{\rm 2}}).$$

Das Grafik zeigt die Q-Funktion in logarithmischer Darstellung für lineare (obere Achse) und logarithmische Abszissenwerte (untere Achse).

• Die obere Schranke (rote Kreise) ist ab ca. $x = 1$ brauchbar, die untere Schranke (grüne Rauten) ab $x ≈ 2$.
• Für $x ≥ 4$ sind beide Schranken innerhalb der Zeichengenauigkeit vom tatsächlichen Verlauf ${\rm Q}(x)$ nicht mehr zu unterscheiden.

Zur Handhabung des Applets

    (A)     Vorauswahl für blauen Parametersatz

    (B)     Parametereingabe $I$ und $p$ per Slider

    (C)     Vorauswahl für roten Parametersatz

    (D)     Parametereingabe $\lambda$ per Slider

    (E)     Graphische Darstellung der Verteilungen

    (F)     Momentenausgabe für blauen Parametersatz

    (G)     Momentenausgabe für roten Parametersatz

    (H)     Variation der grafischen Darstellung

$\hspace{1.5cm}$„$+$” (Vergrößern),

$\hspace{1.5cm}$ „$-$” (Verkleinern)

$\hspace{1.5cm}$ „$\rm o$” (Zurücksetzen)

$\hspace{1.5cm}$ „$\leftarrow$” (Verschieben nach links), usw.

    ( I )     Ausgabe von ${\rm Pr} (z = \mu)$ und ${\rm Pr} (z \le \mu)$

    (J)     Bereich für die Versuchsdurchführung

Andere Möglichkeiten zur Variation der grafischen Darstellung:

• Gedrückte Shifttaste und Scrollen: Zoomen im Koordinatensystem,
• Gedrückte Shifttaste und linke Maustaste: Verschieben des Koordinatensystems.

Über die Autoren

Dieses interaktive Berechnungstool wurde am Lehrstuhl für Nachrichtentechnik der Technischen Universität München konzipiert und realisiert.

• Die erste Version wurde 2003 von Ji Li im Rahmen ihrer Diplomarbeit mit „FlashMX–Actionscript” erstellt (Betreuer: Günter Söder).
• 2018 wurde das Programm von Jimmy He (Bachelorarbeit, Betreuer: Tasnád Kernetzky ) auf „HTML5” umgesetzt und neu gestaltet.

Nochmalige Aufrufmöglichkeit des Applets in neuem Fenster

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