Aufgaben:Exercise 2.3Z: Oscillation Parameters

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Schwingung mit eingezeichneten Parametern

Jede harmonische Schwingung kann auch in der Form

$$x(t)=C\cdot\cos\bigg(2\pi \cdot \frac{t-\tau}{T_0}\bigg)$$

geschrieben werden. Die Schwingung ist somit durch drei Parameter vollständig bestimmt:

• die Amplitude $C$,

• die Periodendauer $T_0$,

• die Verschiebung $\tau$ gegenüber einem Cosinussignal.

Eine zweite Darstellungsform lautet mit der Grundfrequenz $f_0$ und der Phase $\varphi$:

$$x(t)=C \cdot\cos(2\pi f_0t-\varphi).$$

Von einer harmonischen Schwingung ist nun bekannt, dass

• das erste Signalmaximum bei $t_1 = 2 \,\text{ms}$ auftritt,

• das zweite Signalmaximum bei $t_2 = 14 \,\text{ms}$ auftritt,

• der Wert $x_0 ={x(t = 0)} = 3 \,\text{V}$ ist.

Hinweise:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel Harmonische Schwingung.

Fragebogen

1

Wie groß ist die Periodendauer $T_0$ und die Grundfrequenz $f_0$?

$T_0\hspace{0.2cm} = \ $  $\text{ms}$

$f_0\hspace{0.2cm} = \ $  $\text{Hz}$

2

Welchen Wert haben hier die Verschiebung $\tau$ und die Phase $\varphi$ (in $\text{Grad}$)?

$\tau\hspace{0.25cm} = \ $  $\text{ms}$

$\varphi\hspace{0.2cm} = \ $  $\text{Grad}$

3

Wie groß ist die Amplitude der harmonischen Schwingung?

${C}\ = \ $  $\text{V}$

4

Wie lautet das Spektrum $X(f)$? Welches Gewicht hat die Spektrallinie bei $+f_0$?

$\text{Re}[X(f = f_0)]\ = \ $  $\text{V}$

$\text{Im}[X(f = f_0)] \ = \ $  $\text{V}$

Musterlösung

Solution

(1)  Es gilt $T_0 = t_2 – t_1 = 12\, \text{ms}$ und $f_0 = 1/T_0 \hspace{0.1cm} \underline{\approx 83.33\, \text{Hz}}$.

(2)  Die Verschiebung beträgt $\tau = 2\, \text{ms}$ und die Phase ist $\varphi = 2\pi \cdot \tau/T_0 = \pi/3$ entsprechend $60^{\circ}$.

(3)  Aus dem Wert zum Zeitpunkt $t = 0$ folgt für die Amplitude ${C} = 6 \,\text{V}$:

$$x_0=x(t=0)=C\cdot\cos(-60\,^\circ)={C}/{2}=\rm 3\,V \hspace{0.3 cm} \Rightarrow \hspace{0.3 cm}\hspace{0.15cm}\underline{\it C=\rm 6\,V}.$$

(4)  Die dazugehörige Spektralfunktion lautet:

$$X(f)={C}/{2}\cdot{\rm e}^{-{\rm j}\varphi}\cdot\delta(f-f_0)+{C}/{2}\cdot{\rm e}^{{\rm j}\varphi}\cdot\delta(f+f_0).$$

Das Gewicht der Diraclinie bei $f = f_0$ (erster Term) ist   ${C}/2 \cdot {\rm e}^{–\text{j}\varphi} \hspace{0.05cm}\approx \underline{1.5 \,\text{V} - \text{j} \cdot 2.6 \,\text{V}}$.