Difference between revisions of "Aufgaben:Exercise 2.2: DC Component of Signals"
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| − | $$X_i(f)=A_0\cdot{\rm \delta}(f)+\Delta X_i(f).$$ | + | :$$X_i(f)=A_0\cdot{\rm \delta}(f)+\Delta X_i(f).$$ |
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*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Signaldarstellung/Gleichsignal_-_Grenzfall_eines_periodischen_Signals|Gleichsignal - Grenzfall eines periodischen Signals]]. | *Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Signaldarstellung/Gleichsignal_-_Grenzfall_eines_periodischen_Signals|Gleichsignal - Grenzfall eines periodischen Signals]]. | ||
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| − | '''(1)''' | + | '''(1)''' Richtig sind die <u>Antworten 1, 3, 4, 5 und 6</u>. |
| − | + | *Alle Signale mit Ausnahme von $x_2(t)$ beinhalten einen Gleichsignalanteil. | |
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| − | Bei allen anderen Zeitverläufen ist $\Delta x_i(t)$ ungleich $0$ und damit auch die dazugehörige Spektralfunktion $\Delta X_i(f)$ | + | '''(2)''' Richtig ist <u>allein der Lösungsvorschlag 5</u>: |
| + | *Subtrahiert man vom Signal $x_5(t)$ den Gleichanteil $1\text{V}$, so ist das Restsignal $\Delta x_5(t) = x5(t) - 1\text{V}$ gleich Null. | ||
| + | *Dementspechend ist auch die Spektralfunktion $\Delta X_5(f) = 0$. | ||
| + | *Bei allen anderen Zeitverläufen ist $\Delta x_i(t)$ ungleich $0$ und damit auch die dazugehörige Spektralfunktion $\Delta X_i(f)$. | ||
'''(3)''' Bei einem periodischen Signal genügt zur Berechnung des Gleichsignalanteils $A_0$ die Mittelung über eine Periodendauer. Beim Beispielsignal $x_3(t)$ ist diese $T_0 = 3\,\text{ms}$. Damit ergibt sich der gesuchte Gleichanteil zu | '''(3)''' Bei einem periodischen Signal genügt zur Berechnung des Gleichsignalanteils $A_0$ die Mittelung über eine Periodendauer. Beim Beispielsignal $x_3(t)$ ist diese $T_0 = 3\,\text{ms}$. Damit ergibt sich der gesuchte Gleichanteil zu | ||
| − | $$A_0=\rm \frac{1}{3\,ms}\cdot [1\,V\cdot 1\,ms+(-1\,V)\cdot 2\,ms] | + | :$$A_0=\rm \frac{1}{3\,ms}\cdot \big[1\,V\cdot 1\,ms+(-1\,V)\cdot 2\,ms \big] |
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'''(5)''' Die allgemeine Gleichung zur Berechnung des Gleichsignalanteils lautet: | '''(5)''' Die allgemeine Gleichung zur Berechnung des Gleichsignalanteils lautet: | ||
| − | $$A_0=\lim_{T_{\rm M}\to \infty}\frac{1}{T_{\rm M}}\int_{-T_{\rm M}/2}^{+T_{\rm M}/2}x(t)\, {\rm d }t.$$ | + | :$$A_0=\lim_{T_{\rm M}\to \infty}\frac{1}{T_{\rm M}}\int_{-T_{\rm M}/2}^{+T_{\rm M}/2}x(t)\, {\rm d }t.$$ |
Spaltet man dieses Integral in zwei Teilintegrale auf, so erhält man: | Spaltet man dieses Integral in zwei Teilintegrale auf, so erhält man: | ||
| − | $$A_0=\lim_{T_{\rm M}\to \infty}\frac{1}{T_{\rm M}}\int _{-T_{\rm M}/2}^{0}0 {\rm V} \cdot\, {\rm d } {\it t }+\lim_{T_{\rm M}\to \infty}\frac{1}{T_{\rm M}}\int _{0}^{+T_{\rm M}/2}1 \rm V \ {\rm d }{\it t }.$$ | + | :$$A_0=\lim_{T_{\rm M}\to \infty}\frac{1}{T_{\rm M}}\int _{-T_{\rm M}/2}^{0}0 {\rm V} \cdot\, {\rm d } {\it t }+\lim_{T_{\rm M}\to \infty}\frac{1}{T_{\rm M}}\int _{0}^{+T_{\rm M}/2}1 \rm V \ {\rm d }{\it t }.$$ |
Nur der zweite Term liefert einen Beitrag. Daraus folgt wiederum $A_0 \hspace{0.15cm}\underline{=0.5 \,{\rm V}}$. | Nur der zweite Term liefert einen Beitrag. Daraus folgt wiederum $A_0 \hspace{0.15cm}\underline{=0.5 \,{\rm V}}$. | ||
Revision as of 13:32, 12 July 2018
Rechtecksignale mit und ohne Gleichanteil
Die Grafik zeigt einige Zeitsignale, die für alle Zeiten (von $-\infty$ bis $+\infty$) definiert sind. Bei allen sechs Beispielsignalen $x_i(t)$ kann für die zugehörige Spektralfunktion geschrieben werden:
- $$X_i(f)=A_0\cdot{\rm \delta}(f)+\Delta X_i(f).$$
Hierbei bezeichnen
- $A_0$ den Gleichsignalanteil, und
- $\Delta X_i(f)$ das Spektrum des um den Gleichanteil verminderten Restsignals $\Delta x_i(t) = x_i(t) - A_0$.
Hinweis:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Gleichsignal - Grenzfall eines periodischen Signals.
Fragebogen
Musterlösung
(1) Richtig sind die Antworten 1, 3, 4, 5 und 6.
- Alle Signale mit Ausnahme von $x_2(t)$ beinhalten einen Gleichsignalanteil.
(2) Richtig ist allein der Lösungsvorschlag 5:
- Subtrahiert man vom Signal $x_5(t)$ den Gleichanteil $1\text{V}$, so ist das Restsignal $\Delta x_5(t) = x5(t) - 1\text{V}$ gleich Null.
- Dementspechend ist auch die Spektralfunktion $\Delta X_5(f) = 0$.
- Bei allen anderen Zeitverläufen ist $\Delta x_i(t)$ ungleich $0$ und damit auch die dazugehörige Spektralfunktion $\Delta X_i(f)$.
(3) Bei einem periodischen Signal genügt zur Berechnung des Gleichsignalanteils $A_0$ die Mittelung über eine Periodendauer. Beim Beispielsignal $x_3(t)$ ist diese $T_0 = 3\,\text{ms}$. Damit ergibt sich der gesuchte Gleichanteil zu
- $$A_0=\rm \frac{1}{3\,ms}\cdot \big[1\,V\cdot 1\,ms+(-1\,V)\cdot 2\,ms \big] \hspace{0.15cm}\underline{=-0.333\,V}.$$
(4) Für das Signal $x_4(t)$ kann geschrieben werden: $x_4(t) = 0.5 \,{\rm V} + Δx_4(t)$. Hierbei bezeichnet $Δx_4(t)$ einen Rechteckimpuls der Amplitude $0.5 \,{\rm V} $ und der Dauer $4 \,{\rm ms} $, der aufgrund seiner endlichen Dauer nicht zum Gleichsignalanteil beiträgt. Deshalb gilt hier $A_0 \hspace{0.15cm}\underline{=0.5 \,{\rm V}}$.
(5) Die allgemeine Gleichung zur Berechnung des Gleichsignalanteils lautet:
- $$A_0=\lim_{T_{\rm M}\to \infty}\frac{1}{T_{\rm M}}\int_{-T_{\rm M}/2}^{+T_{\rm M}/2}x(t)\, {\rm d }t.$$
Spaltet man dieses Integral in zwei Teilintegrale auf, so erhält man:
- $$A_0=\lim_{T_{\rm M}\to \infty}\frac{1}{T_{\rm M}}\int _{-T_{\rm M}/2}^{0}0 {\rm V} \cdot\, {\rm d } {\it t }+\lim_{T_{\rm M}\to \infty}\frac{1}{T_{\rm M}}\int _{0}^{+T_{\rm M}/2}1 \rm V \ {\rm d }{\it t }.$$
Nur der zweite Term liefert einen Beitrag. Daraus folgt wiederum $A_0 \hspace{0.15cm}\underline{=0.5 \,{\rm V}}$.
