Aufgaben:Exercise 5.3Z: Zero-Padding

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$\rm MQF$–Werte als Funktion von $T_{\rm A} /T$ und $N$

Wir betrachten die DFT eines Rechteckimpulses $x(t)$ der Höhe $A =1$ und der Dauer $T$. Damit hat die Spektralfunktion $X(f)$ einen $\sin(f)/f$–förmigen Verlauf.

Für diesen Sonderfall soll der Einfluss des DFT–Parameters $N$ analysiert werden, wobei der Stützstellenabstand im Zeitbereich stets $T_{\rm A} = 0.01T$ bzw. $T_{\rm A} = 0.05T$ betragen soll.

Nebenstehend sind für unterschiedliche Werte von $N$ die sich ergebenden Werte für den mittleren quadratischen Fehler (MQF) der Stützwerte im Frequenzbereich angegeben:

$${\rm MQF} = \frac{1}{N}\cdot \sum_{\mu = 0 }^{N-1} \left|X(\mu \cdot f_{\rm A})-\frac{D(\mu)}{f_{\rm A}}\right|^2 \hspace{0.05cm}.$$

Für $T_A/T = 0.01$ sind somit stets $101$ der DFT–Koeffizienten $d(ν)$ von Null verschieden.

• Davon besitzen $99$ den Wert $1$ und die beiden Randkoeffizienten sind jeweils gleich $0.5$.

• Vergrößert man $N$, so wird das DFT–Koeffizientenfeld mit Nullen aufgefüllt.

• Man spricht dann von „Zero–Padding”.

Hinweise:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel Fehlermöglichkeiten bei Anwendung der DFT.

• Die Theorie zu diesem Kapitel ist im Lernvideo Fehlermöglichkeiten bei Anwendung der DFT zusammengefasst.

Fragebogen

1

Welche Aussagen können aus den angegebenen MQF-Werten (gültig für $T_{\rm A}/T = 0.01$ und $N ≥ 128$) abgeleitet werden?

	Der $\rm MQF$–Wert ist hier nahezu unabhängig von $N$.
	Der $\rm MQF$–Wert wird durch den Abbruchfehler bestimmt.
	Der $\rm MQF$–Wert wird durch den Aliasingfehler bestimmt.

2

Es gelte $T_{\rm A}/T = 0.01$. Wie groß ist der Abstand $f_{\rm A}$ benachbarter Abtastwerte im Frequenzbereich für $N = 128$ und $N = 512$?

$N = 128$:     $f_{\rm A} \cdot T \ = \ $

$N = 512$:     $f_{\rm A} \cdot T \ = \ $

3

Was sagt das Produkt $\text{MQF} \cdot f_{\rm A}$ hinsichtlich der DFT–Qualität aus?

	Das Produkt $\text{MQF} \cdot f_{\rm A}$ berücksichtigt die Genauigkeit und die Dichte der DFT–Werte.
	Das Produkt $\text{MQF} \cdot f_{\rm A}$ sollte möglichst groß sein.

4

Es wird nun $N = 128$ fest vorgegeben. Welche Aussagen gelten für den Vergleich der DFT–Ergebnisse mit $T_{\rm A}/T = 0.01$ und $T_{\rm A}/T = 0.05$ ?

	Mit $T_{\rm A}/T = 0.05$ erhält man eine feinere Frequenzauflösung.
	Mit $T_{\rm A}/T = 0.05$ ist der $\rm MQF$–Wert kleiner.
	Mit $T_{\rm A}/T = 0.05$ nimmt der Einfluss des Abbruchfehlers ab.
	Mit $T_{\rm A}/T = 0.05$ wächst der Einfluss des Aliasingfehlers.

5

Nun gelte $N = 64$. Welche Aussagen treffen dagegen für den Vergleich der DFT–Ergebnisse mit $T_{\rm A}/T = 0.01$ und $T_{\rm A}/T = 0.05$?

	Mit $T_{\rm A}/T = 0.05$ erhält man eine feinere Frequenzauflösung.
	Mit $T_{\rm A}/T = 0.05$ ist der $\rm MQF$–Wert kleiner.
	Mit $T_{\rm A}/T = 0.05$ nimmt der Einfluss des Abbruchfehlers ab.
	Mit $T_{\rm A}/T = 0.05$ wächst der Einfluss des Aliasingfehlers.

Musterlösung

Solution

(1)  Richtig sind die Lösungsvorschläge 1 und 3:

• Bereits mit $N = 128$ ist $T_{\rm P} = 1.28 \cdot T$, also größer als die Breite des Rechtecks.
• Somit spielt hier der Abbruchfehler überhaupt keine Rolle.
• Der $\rm MQF$–Wert wird allein durch den Aliasingfehler bestimmt.
• Die Zahlenwerte bestätigen eindeutig, dass $\rm MQF$ (nahezu) unabhängig von $N$ ist.

(2)  Aus $T_{\rm A}/T = 0.01$ folgt $f_{\rm P} \cdot T = 100$. Die Stützwerte von $X(f)$ liegen also im Bereich $–50 ≤ f \cdot T < +50$. Für den Abstand zweier Abtastwerte im Frequenzbereich gilt $f_{\rm A} = f_{\rm P}/N$. Daraus ergeben sich folgende Ergebnisse:

• $N = 128$:   $f_{\rm A} \cdot T \; \underline{\approx 0.780}$,
• $N = 512$:   $f_{\rm A} \cdot T \; \underline{\approx 0.195}$.

(3)  Richtig ist die erste Aussage:

• Für $N = 128$ ergibt sich für das Produkt $\text{MQF} \cdot f_{\rm A} \approx 4.7 \cdot 10^{-6}/T$. Für $N = 512$ ist das Produkt etwa um den Faktor $4$ kleiner.
• Das heißt:   Durch „Zero–Padding” wird keine größere DFT-Genauigkeit erzielt, dafür aber eine feinere „Auflösung” des Frequenzbereichs.
• Das Produkt $\text{MQF} \cdot f_{\rm A}$ berücksichtigt diese Tatsache; es sollte stets möglichst klein sein.

(4)  Richtig sind die Lösungsvorschläge 1 und 4:

• Wegen $T_{\rm A} \cdot f_{\rm A} \cdot N = 1$ ergibt sich bei konstantem $N$ immer dann ein kleinerer $f_{\rm A}$–Wert, wenn man $T_{\rm A}$ vergrößert.
• Aus der Tabelle auf der Angabenseite erkennt man, dass damit der mittlere quadratische Fehler MQF signifikant (etwa um den Faktor $400$) vergrößert wird.
• Der Effekt geht auf den Aliasingfehler zurück, da durch den Übergang von $T_{\rm A}/T = 0.01$ auf $T_{\rm A}/T = 0.05$ die Frequenzperiode um den Faktor $5$ kleiner wird.
• Der Abbruchfehler spielt dagegen beim Rechteckimpuls weiterhin keine Rolle, solange $T_{\rm P} = N \cdot T_{\rm A}$ größer ist als die Impulsdauer $T$.

(5)  Alle Aussagen treffen zu:

• Mit den Parameterwerten $N = 64$ und $T_{\rm A}/T = 0.01$ tritt ein extrem großer Abbruchfehler auf.
• Alle Zeitkoeffizienten sind hier $1$, so dass die DFT fälschlicherweise ein Gleichsignal anstelle der Rechteckfunktion interpretiert.