Aufgaben:Exercise 3.6: Noisy DC Signal

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Verrauschtes Gleichsignal und WDF

Ein Gleichsignal $s(t) = 2\hspace{0.05cm}\rm V$ wird durch ein Rauschsignal $n(t)$ additiv überlagert.

• Im oberen Bild sehen Sie einen Ausschnitt des Summensignals   $x(t)=s(t)+n(t).$
• Die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (WDF) des Signals $x(t)$ ist unten dargestellt.
• Die (auf den Widerstand $1\hspace{0.05cm} \Omega$ bezogene) Gesamtleistung dieses Signals beträgt $P_x = 5\hspace{0.05cm}\rm V^2$.

Verwenden Sie zur Lösung das komplementäre Gaußsche Fehlerintegral ${\rm Q}(x)$. Nachfolgend finden Sie einige Werte dieser monoton abfallenden Funktion:

$$\rm Q(0) = 0.5,\hspace{0.5cm} Q(1) = 0.1587, \hspace{0.5cm}\rm Q(2) = 0.0227, \hspace{0.5cm} Q(3) = 0.0013. $$

Hinweise:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel Gaußverteilte Zufallsgrößen.

Fragebogen

1

Welche der folgenden Aussagen sind zutreffend?

	Das Nutzsignal $s(t)$ ist gleichverteilt.
	Das Rauschsignal $n(t)$ ist gaußverteilt.
	Das Rauschsignal $n(t)$ hat einen Mittelwert $m_n \ne 0$.
	Das Gesamtsignal $x(t)$ ist gaußverteilt mit Mittelwert $m_x = 2\hspace{0.05cm}\rm V$.

2

Berechnen Sie die Standardabweichung (Streuung) des Signals $x(t)$.

$\sigma_x \ = \ $ $\ \rm V$

3

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass $x(t) < 0\hspace{0.05cm}\rm V$ ist?

${\rm Pr}(x < 0\hspace{0.05cm}\rm V)\ = \ $ $\ \%$

4

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass $x(t) > 4\hspace{0.05cm}\rm V$ ist?

${\rm Pr}(x > 4\hspace{0.05cm}\rm V)\ = \ $ $\ \%$

5

Mit welcher Wahrscheinlichkeit liegt $x(t)$ zwischen $3\hspace{0.05cm}\rm V$ und $4\hspace{0.05cm}\rm V$?

${\rm Pr}(3\hspace{0.05cm}{\rm V} < x < 4\hspace{0.05cm}{\rm V}) \ = \ $ $\ \%$

Musterlösung

Solution

(1)  Richtig sind die Lösungsvorschläge 2 und 4:

• Das Gleichsignal $s(t)$ ist nicht gleichverteilt, vielmehr besteht dessen WDF aus nur einer Diracfunktion bei $m_x = 2\hspace{0.05cm}\rm V$ mit Gewicht $1$.
• Das Signal $n(t)$ ist gaußverteilt und mittelwertfrei   ⇒   $m_n = 0$.
• Deshalb ist auch das Summensignal $x(t)$ gaußverteilt, aber nun mit Mittelwert $m_x = 2\hspace{0.05cm}\rm V$.
• Dieser rührt allein vom Gleichsignal $s(t) = 2\hspace{0.05cm}\rm V$ her.

(2)  Nach dem Satz von Steiner gilt:

$$\sigma_{x}^{\rm 2}=m_{\rm 2 \it x}-m_{x}^{\rm 2}. $$

Der quadratische Mittelwert $m_{2x}$ ist gleich der (auf $1\hspace{0.05cm} \Omega$ bezogenen) Gesamtleistung $P_x = 5\hspace{0.05cm}\rm V^2$. Mit dem Mittelwert $m_x = 2\hspace{0.05cm}\rm V$ folgt daraus für die Streuung:  

$$\sigma_{x} = \sqrt{5\hspace{0.05cm}\rm V^2 - (2\hspace{0.05cm}\rm V)^2} \hspace{0.15cm}\underline{= 1\hspace{0.05cm}\rm V}.$$

(3)  Die Verteilungsfunktion (VTF) einer Gaußschen Zufallsgröße (Mittelwert $m_x$, Streuung $\sigma_x$) lautet mit dem Gaußschen Fehlerintegral:

$$F_x(r)=\rm\phi(\it\frac{r-m_x}{\sigma_x}\rm ).$$

• Die Verteilungsfunktion an der Stelle $r = 0\hspace{0.05cm}\rm V$ ist gleich der Wahrscheinlichkeit, dass $x$ kleiner oder gleich $0\hspace{0.05cm}\rm V$ ist.
• Bei kontinuierlichen Zufallsgrößen gilt aber auch ${\rm Pr}(x \le r) = {\rm Pr}(x < r)$.
• Mit dem komplementären Gaußschen Fehlerintegral erhält man somit:

$$\rm Pr(\it x < \rm 0\,V)=\rm \phi(\rm \frac{-2\,V}{1\,V})=\rm Q(\rm 2)\hspace{0.15cm}\underline{=\rm 2.27\%}.$$

(4)  Wegen der Symmetrie um den Mittelwert $m_x = 2\hspace{0.05cm}\rm V$ ergibt sich hierfür die gleiche Wahrscheinlichkeit, nämlich

$$\rm Pr(\it x > \rm 4\,V)\hspace{0.15cm}\underline{=\rm 2.27\%}.$$

(5)  Die Wahrscheinlichkeit, dass $x$ größer ist als $3\hspace{0.05cm}\rm V$, ergibt sich zu

$${\rm Pr}( x > 3\text{ V}) = 1- F_x(\frac{3\text{ V}-2\text{ V}}{1\text{ V}})=\rm Q(\rm 1)=\rm 0.1587.$$

Für die gesuchte Wahrscheinlichkeit erhält man daraus:

$$\rm Pr(3\,V\le \it x \le \rm 4\,V)= \rm Pr(\it x > \rm 3\,V)- \rm Pr(\it x > \rm 4\,V) = 0.1587 - 0.0227\hspace{0.15cm}\underline{=\rm 13.6\%}. $$