Aufgaben:Exercise 3.7: Bit Error Rate (BER)

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Zur Verdeutlichung der Bitfehlerquote

Wir betrachten ein binäres Übertragungssystem mit

• der Quellensymbolfolge $\langle q_\nu \rangle $ und
• der Sinkensymbolfolge $\langle v_\nu \rangle $.

Stimmen Sinkensymbol $v_\nu$ und Quellensymbol $q_\nu$ nicht überein, so liegt ein Bitfehler vor   ⇒   $e_\nu = 1$. Ansonsten gilt $e_\nu = 0$.

Wichtigstes Beurteilungskriterium eines solchen Digitalsystems ist die
Bitfehlerwahrscheinlichkeit (englisch:   Bit Error Probability).

• Mit dem Erwartungswert ${\rm E}\big[\text{ ...} \big]$ ist diese ist wie folgt definiert:

$$\it p_{\rm B} = \rm E\big[\rm Pr(\it v_{\nu} \ne q_{\nu} \rm )\big]=\rm E\big[\rm Pr(\it e_{\nu}=\rm 1)\big]=\lim_{{\it N}\to\infty}\frac{\rm 1}{\it N}\cdot\sum\limits_{\it \nu=\rm 1}^{\it N}\rm Pr(\it e_{\nu}=\rm 1).$$

• Der rechte Teil dieser Gleichung beschreibt eine Zeitmittelung und muss zum Beispiel bei zeitvarianten Kanälen stets angewandt werden.
• Ist die Fehlerwahrscheinlichkeit für alle Symbole gleich (was hier vorausgesetzt wird), so kann man die obige Gleichung vereinfachen:

$$\it p_{\rm B} = \rm E\big[\rm Pr(\it e_{\nu}=\rm 1)\big]=\rm E\big[\it e_{\nu} \rm \big].$$

Die Bitfehlerwahrscheinlichkeit ist eine A-priori-Kenngröße, erlaubt also eine Vorhersage für das zu erwartende Resultat.

Dagegen muss zur messtechnischen Ermittlung der Übertragungsqualität oder bei der Systemsimulation auf die vergleichbare A-posteriori-Kenngröße Bitfehlerquote (englisch:   Bit Error Rate) übergegangen werden:

$$h_{\rm B}=\frac{n_{\rm B}}{N}=\frac{\rm 1}{\it N}\cdot\sum\limits_{\it \nu=\rm 1}^{\it N} e_{\nu}.$$

$h_{\rm B}$ ist eine relative Häufigkeit. $n_{\rm B}$ gibt die Anzahl der aufgetretenen Bitfehler an, wenn insgesamt $N$ Symbole (Bit) übertragen wurden.

• Im Grenzfall $N \to \infty$ stimmt die relative Häufigkeit $h_{\rm B}$ mit der Wahrscheinlichkeit $p_{\rm B}$ überein.
• Hier soll nun die Frage geklärt werden, mit welcher statistischen Unsicherheit bei endlichem $N$ gerechnet werden muss.

Hinweise:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel Gaußverteilte Zufallsgrößen.

• Lösen Sie die Aufgaben so weit wie möglich allgemein.
• Verwenden Sie zur Kontrolleingabe die Parameterwerte $p_{\rm B} = 10^{-3}$ und $N = 10^{5}$.
• Nachfolgend finden Sie einige Werte der sogenannten Q-Funktion:

$$\rm Q(\rm 1.00)=\rm 0.159,\hspace{0.5cm}\rm Q(\rm 1.65)=\rm 0.050,\hspace{0.5cm}\rm Q(\rm 1.96)=\rm 0.025,\hspace{0.5cm}\rm Q(\rm 2.59)=\rm 0.005.$$

Fragebogen

1

Welche der folgenden Aussagen sind zutreffend?

	Für $n_{\rm B}$ sind alle Werte $(0$, ... , $N)$ gleichwahrscheinlich.
	Die Zufallsgröße $n_{\rm B}$ ist binomialverteilt.
	Mit $p_{\rm B} = 10^{-3}$ und $N = 10^{5}$ ergibt sich ${\rm E}\big[n_{\rm B}\big] = 100$.

2

Wie groß ist die Streuung der Zufallsgröße $n_{\rm B}$ für $p_{\rm B} = 10^{-3}$ und $N = 10^{5}$?

$\sigma_{n{\rm B}} \ = \ $

3

Welche Werte kann die Bitfehlerquote $h_{\rm B}$ annehmen? Zeigen Sie, dass der lineare Mittelwert $m_{h{\rm B}}$ dieser Zufallsgröße gleich der tatsächlichen Bitfehlerwahrscheinlichkeit $p_{\rm B}$ ist. Wie groß ist deren Streuung?

$\sigma_{h{\rm B}} \ = \ $

4

Unter gewissen Voraussetzungen kann eine binomialverteilte Zufallsgröße durch eine Gaußverteilung mit gleichem Mittelwert $(m_{h{\rm B}})$ und gleicher Streuung $(\sigma_{h{\rm B}})$ angenähert werden. Welche Aussage ist zutreffend?

	${\rm Pr}(|h_{\rm B} - p_{\rm B}| \le \varepsilon)=1- 2\cdot \rm Q({\varepsilon}/{\sigma_{h{\rm B}}}).$
	${\rm Pr}(|h_{\rm B} - p_{\rm B}| \le \varepsilon)=1- \rm Q({\varepsilon}/{2\cdot \sigma_{h{\rm B}}}).$

5

Zur Abkürzung verwenden wir das Konfidenzniveau $p_\varepsilon = {\rm Pr}(|h_{\rm B} - p_{\rm B}| \le \varepsilon)$.
Welches $p_\varepsilon$ ergibt sich mit $\varepsilon = 10^{-4}$, $p_{\rm B} = 10^{-3}$ und $N = 10^{5}$?

$p_\varepsilon \ = \ $

6

Das Argument der Q-Funktion sei $\alpha$. Wie groß muss $\alpha$ mindestens gewählt werden, damit das Konfidenzniveau $p_\varepsilon = 95\%$ beträgt?

$\alpha_{\rm min} \ = \ $

7

Es gelte weiterhin $p_{\rm B} = 10^{-3}$ und $p_\varepsilon = 95\%$ Über wie viele Symbole muss man mindestens gemittelt werden, damit die ermittelte Bitfehlerquote im Bereich zwischen $0.9 \cdot 10^{-3}$ und $1.1 \cdot 10^{-3}$ liegt $(\varepsilon = 10^{-4}, \text{10% vom Sollwert)}$?

$N_\text{min} \ = \ $

Musterlösung

Solution

(1)  Die beiden letzten Aussagen stimmen:

• Bezüglich der Zufallsgröße $n_{\rm B}$ liegt der klassische Fall einer Binomialverteilung vor.
• Es wird die Summe über $N$ binäre Zufallsgrößen gebildet.
• Die möglichen Werte von $n_{\rm B}$ liegen somit zwischen $0$ und $N$.
• Der lineare Mittelwert ergibt   $m_{n{\rm B}}=p_{\rm B}\cdot N=\rm 10^{-3}\cdot 10^{5}=\rm 100.$

(2)  Für die Streuung der Binomialverteilung gilt mit guter Näherung: $$\sigma_{n{\rm B}}=\sqrt{N\cdot p_{\rm B}\cdot (\rm 1- \it p_{\rm B})} \hspace{0.15cm}\underline{\approx 10}.$$

(3)  Mögliche Werte von $h_{\rm B}$ sind alle ganzzahligen Vielfachen von $1/N$. Diese liegen zwischen $0$ und $1$ liegen. Für den Mittelwert erhält man: $$m_{h{\rm B}}=m_{n{\rm B}}/N=p_{\rm B} = 10^{-3}.$$

Die Streuung ergibt sich zu $$\sigma_{h{\rm B}}=\frac{\sigma_{n{\rm B}}}{N}=\sqrt{\frac{p_{\rm B}\cdot (\rm 1- \it p_{\rm B})}{N}}\hspace{0.15cm}\underline{\approx \rm 10^{-4}}.$$

(4)  Richtig ist der erste Vorschlag. Es gilt: $${\rm Pr}(h_{\rm B} > p_{\rm B} + \varepsilon)=\rm Q({\it\varepsilon}/{\it\sigma_{h{\rm B}}}),\hspace{0.5cm}\rm Pr(\it h_{\rm B} < p_{\rm B} - \varepsilon {\rm )}=\rm Q(\it{\varepsilon}/{\sigma_{h{\rm B}}}{\rm )}\hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm}\rm Pr(\it |h_{\rm B} - p_{\rm B}| \le \varepsilon \rm )=\rm 1-\rm 2\cdot \rm Q({\it \varepsilon}/{\it \sigma_{h{\rm B}}}).$$

(5)  Man erhält mit den Zahlenwerten$\varepsilon = \sigma_{h{\rm B}} = 10^{-4}$: $$p_{\varepsilon}=\rm 1-\rm 2\cdot \rm Q(\frac{\rm 10^{\rm -4}}{\rm 10^{\rm -4}} {\rm )}=\rm 1-\rm 2\cdot\rm Q(\rm 1)\hspace{0.15cm}\underline{\approx\rm 0.684}.$$

Das heißt: Bestimmt man die Bitfehlerquote per Simulation über $10^5$ Symbole, so erhält man mit einem Konfidenzniveau von 68.4% einen Wert zwischen $0.9 \cdot 10^{-3}$ und $1.1 \cdot 10^{-3}$, wenn $p_{\rm B} = 10^{-3}$ ist.

(6)  Aus der Beziehung $p_{\varepsilon}=\rm 1-\rm 2\cdot {\rm Q}(\alpha) = 0.95$ folgt direkt: $$\alpha_{\rm min}=\rm Q^{\rm -1}\Big(\frac{\rm 1-\it p_{\varepsilon}}{\rm 2}\Big)=\rm Q^{\rm -1}(\rm 0.025)\hspace{0.15cm}\underline{=\rm 1.96}\hspace{0.15cm}{\approx\rm 2}.$$

(7)  Es muss $\alpha = \varepsilon/\sigma_{h{\rm B}}$ gelten. Mit dem Ergebnis der Teilaufgabe (2) folgt dann: $$\frac{\varepsilon}{\sqrt{p_{\rm B}\cdot(\rm 1-\it p_{\rm B})/N}}\ge {\rm 2} \hspace{0.5cm}\Rightarrow\hspace{0.5cm} N\ge \frac{\rm 4\cdot \it p_{\rm B}\cdot(\rm 1-\it p_{\rm B})}{\varepsilon^{\rm 2}}\approx \frac{\rm 4\cdot 10^{-3}}{10^{-8}}\hspace{0.15cm}\underline{=\rm 400000}.$$