Difference between revisions of "Aufgaben:Exercise 4.2Z: Correlation between "x" and "e to the power of x""
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:$$f_y(y) = {\rm 1}/({\rm 2\it y}). $$ | :$$f_y(y) = {\rm 1}/({\rm 2\it y}). $$ | ||
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− | $m_y \ = $ { 1.175 3% } | + | $m_y \ = \ $ { 1.175 3% } |
{Berechnen Sie die Streuung $\sigma_y$ der Zufallsgröße $y$. | {Berechnen Sie die Streuung $\sigma_y$ der Zufallsgröße $y$. | ||
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+ Außerhalb der Kurve $y = {\rm e}^x$ ist $f_{xy}(x, y)= 0$. | + Außerhalb der Kurve $y = {\rm e}^x$ ist $f_{xy}(x, y)= 0$. | ||
− | - Für alle Werte ( | + | - Für alle Werte $(x, {\rm e}^x)$ ist die WDF $f_{xy}(x, y)$ konstant. |
+ Die WDF beschreibt eine Diracwand entlang der Kurve $y = {\rm e}^x$. | + Die WDF beschreibt eine Diracwand entlang der Kurve $y = {\rm e}^x$. | ||
+ Die Dirachöhe nimmt von links unten nach rechts oben ab. | + Die Dirachöhe nimmt von links unten nach rechts oben ab. | ||
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{Berechnen Sie das gemeinsame Moment $m_{xy}$ der Zufallsgrößen $x$ und $y$, also den Erwartungswert des Produkts $x \cdot y$. | {Berechnen Sie das gemeinsame Moment $m_{xy}$ der Zufallsgrößen $x$ und $y$, also den Erwartungswert des Produkts $x \cdot y$. | ||
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− | $m_{xy}\ = $ { 0.367 3% } | + | $m_{xy}\ = \ $ { 0.367 3% } |
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<br>Interpretieren Sie das Ergebnis. | <br>Interpretieren Sie das Ergebnis. | ||
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Revision as of 15:18, 15 August 2018
Die Zufallsgröße $x$ sei gleichverteilt zwischen $-1$ und $+1$. Damit ist
- der Mittelwert $m_x = 0$, und
- die Varianz $\sigma_x^2 = 1/3$.
Durch die nichtlineare Kennlinie $y = g(x) = {\rm e}^x$ wird die Zufallsgröße $y $ gebildet. Zwischen den beiden Zufallsgrößen $x$ und $y$ besteht also ein fester, deterministischer Zusammenhang und die Zufallsgröße $y$ kann nur Werte zwischen $1/{\rm e}$ und ${\rm e}$ annehmen.
Für die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion erhält man für diesen Bereich nach dem Prinzip Transformation von Zufallsgrößen:
- $$f_y(y) = {\rm 1}/({\rm 2\it y}). $$
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Zweidimensionale Zufallsgrößen.
- Bezug genommen wird auch auf das Kapitel Erwartungswerte und Momente.
- Berücksichtigen Sie, dass im betrachteten Bereich von $-1 ≤ x ≤ +1$ die Exponentialfunktion wie folgt angenähert werden kann:
- $$y={\rm e}^{x}\approx 1+ \frac{ x}{1!} + \frac{{ x}^{\rm 2}}{\rm 2!}+ \frac{{x}^{\rm 3}}{\rm 3!}+ \frac{{x}^{\rm 4}}{\rm 4!}.$$
Fragebogen
Musterlösung
(2) Für den quadratischen Mittelwert der Zufallsgröße $y$ gilt: $$m_{2 y} = {\rm E}[ y^{\rm 2}] = {\rm E}[{\rm e}^{ 2 x}]= {1}/{2}\cdot\int_{-1}^{+1}{\rm e}^{2 x} \,\,{\rm d}x = {1}/{4}\cdot({\rm e}^{2}-{\rm e}^{-2}) = 1.813.$$
Daraus erhält man mit dem Satz von Steiner: $$\sigma_y^{\rm 2} = m_{ 2 y}- m_{ y}^2 = {1}/{4}\cdot({\rm e}^{2}-{\rm e}^{-2})-{1}/{4}\cdot( {\rm e}^{2}-2+{\rm e}^{-2})={1}/{2}\cdot(1-{\rm e}^{-2})=0.432 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}\sigma_y \hspace{0.15cm}\underline{= 0.658}.$$
(3) Richtig sind die Lösungsvorschläge 1, 3 und 4:
- Außerhalb der Kurve $y = {\rm e}^x$ ist die WDF natürlich $0$.
- Da das Volumen unter der 2D-WDF gleich $1$ ist, sind die WDF-Werte für den unendlich schmalen Bereich $y = {\rm e}^x$ unendlich groß.
- Das heißt: Die WDF beschreibt eine gekrümmte Diracwand. Aufgrund des Abfalls der WDF $f_y(y)$ mit steigenden $y$ nimmt die Höhe dieser Diracwand von $(-1, 1/{\rm e})$ bis zu $(+1, {\rm e})$kontinuierlich ab.
(4) Für das gemeinsame Moment gilt:
$$m_{xy} = {\rm E}[ x\cdot y] = {\rm E}[ x\cdot {\rm e}^{x}].$$
Mit der angegebenen Reihenentwicklung folgt daraus die Näherung: $$m_{xy} \approx {\rm E}[x] + {\rm E}[x^{\rm 2}] + \frac{1}{2} \cdot {\rm E}[ x^{\rm 3}] + \frac{1}{6} \cdot {\rm E}[ x^{\rm 4}]+ \frac{1}{24} \cdot {\rm E}[ x^{\rm 5}].$$
Aufgrund der Symmetrie der Zufallsgröße $x$ gilt für alle ungeradzahligen Werte von $k$ $\rm E[\it x^{k}\rm ] =\rm 0.$ Weiterhin gilt: $${\rm E}[ x^{\rm 2}] = \sigma_{x}^{\rm 2}= \frac{1}{3}, \hspace{0.5cm} {\rm E}[ x^{\rm 4}] = \frac{1}{2}\int_{-1}^{+1} x^{\rm 4} \,\,{\rm d}x = \rm\frac{1}{5}\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}{\it m_{xy}} = \rm\frac{1}{3} + \frac{1}{6}\cdot\frac{1}{5} = \frac{11}{30}\hspace{0.15cm}\underline{\approx 0.367}.$$
(5) Wegen $m_x = 0$ gilt $\mu_{xy} = m_{xy}$. Somit ergibt sich für den Korrelationskoeffizienten: $$\it \rho_{xy} = \frac{\mu_{xy}}{\sigma_x \cdot \sigma_y}=\rm\frac{0.367}{0.577 \cdot 0.658}\hspace{0.15cm}\underline{ \approx 0.967}.$$
Zwischen $x$ und $y$ besteht zwar ein eindeutiger deterministischer Zusammenhang. Da aber hierin auch nichtlineare Bindungen enthalten sind, ist der Korrelationskoeffizient $ \rho_{xy} \ne 1$.