Theory of Stochastic Signals/Linear Combinations of Random Variables

1. Theory of Stochastic Signals
2. Zufallsgrößen mit statistischen Bindungen
3. Linear Combinations of Random Variables

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Voraussetzungen und Mittelwerte

Im gesamten Kapitel „ Linearkombinationen von Zufallsgrößen ” gehen wir von den folgenden Annahmen aus:

• Die Zufallsgrößen $u$ und $v$ seien jeweils mittelwertfrei   ⇒   $m_u = m_v = 0$ und zudem statistisch unabhängig voneinander   ⇒   $ρ_{uv} = 0$.
• Die beiden Zufallsgrößen $u$ und $v$ besitzen jeweils gleiche Streuung $σ$. Über die Art der Verteilung wird keine Aussage getroffen.
• Die beiden Zufallsgrößen $x$ und $y$ seien Linearkombinationen von $u$ und $v$, wobei gilt:

$$x=A \cdot u + B \cdot v + C,$$

$$y=D \cdot u + E \cdot v + F.$$

Für die (linearen) Mittelwerte der neuen Zufallsgrößen $x$ und $y$ erhält man nach den allgemeinen Rechenregeln für Erwartungswerte:

$$m_x =A \cdot m_u + B \cdot m_v + C =C,$$

$$m_y =D \cdot m_u + E \cdot m_v + F =F.$$

Die Koeffizienten $C$ und $F$ geben somit lediglich die Mittelwerte von $x$ und $y$ an. Beide werden auf den folgenden Seiten stets zu $0$ gesetzt.

Resultierender Korrelationskoeffizient

Betrachten wir nun die Varianzen der Zufallsgrößen nach den Linearkombinationen.

• Für die Zufallsgröße $x$ gilt unabhängig vom Parameter $C$:

$$\sigma _x ^2 = {\rm E}\big[x ^{\rm 2}\big] = A^{\rm 2} \cdot {\rm E}\big[u^{\rm 2}\big] + B^{\rm 2} \cdot {\rm E}\big[v^{\rm 2}\big] + {\rm 2} \cdot A \cdot B \cdot {\rm E}\big[u \cdot v\big].$$

• Die Erwartungswerte von $u^2$ und $v^2$ sind definitionsgemäß jeweils gleich $σ^2$, weil $u$ und $v$ mittelwertfrei sind.
• Da $u$ und $v$ zudem als statistisch unabhängig vorausgesetzt werden, kann man für den Erwartungswert des Produktes auch schreiben:

$${\rm E}\big[u \cdot v\big] = {\rm E}\big[u\big] \cdot {\rm E}\big[v\big] = m_u \cdot m_v = \rm 0.$$

• Damit erhält man für die Varianzen der durch Linearkombinationen gebildeten Zufallsgrößen:

$$\sigma _x ^2 =(A^2 + B^2) \cdot \sigma ^2,$$

$$\sigma _y ^2 =(D^2 + E^2) \cdot \sigma ^2.$$

Die Kovarianz $μ_{xy}$ ist bei mittelwertfreien Zufallsgrößen $x$ und $y$   ⇒   $C = F = 0$ identisch mit dem gemeinsamen Moment $m_{xy}$:

$$\mu_{xy } = m_{xy } = {\rm E}\big[x \cdot y\big] = {\rm E}\big[(A \cdot u + B \cdot v)(D \cdot u + E \cdot v)\big].$$

Beachten Sie hierbei, dass ${\rm E}\big[ \text{...} \big]$ einen Erwartungswert bezeichnet, während $E$ eine Variable beschreibt.

$\text{Fazit:}$ Nach Auswertung dieser Gleichung in analoger Weise zu oben folgt daraus:

$$\mu_{xy } = (A \cdot D + B \cdot E) \cdot \sigma^{\rm 2 } \hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm} \rho_{xy } = \frac{\rho_{xy } }{\sigma_x \cdot \sigma_y} = \frac {A \cdot D + B \cdot E}{\sqrt{(A^{\rm 2}+B^{\rm 2})(D^{\rm 2}+E^{\rm 2} ) } }. $$

Wir schließen nun die Sonderfälle $A = B = 0$ (d. h. $x ≡ 0$ ) sowie $D = E = 0$ (d. h. $y ≡ 0$ ) aus. Dann liefert diese Gleichung stets eindeutige Werte für den Korrelationskoeffizienten im Bereich  $–1 ≤ ρ_{xy} ≤ +1$.

$\text{Beispiel 1:}$  Setzen wir zum Beispiel $A = E = 0$, so ergibt sich der Korrelationskoeffizient $ρ_{xy} = 0$. Dieses Ergebnis ist einsichtig:

• Nun hängt $x$ nur noch von $v$ und $y$ ausschließlich von $u$ ab.
• Da aber $u$ und $v$ als statistisch unabhängig angenommen wurden, bestehen keine Beziehungen zwischen $x$ und $y$.
• Ebenso ergibt sich  $ρ_{xy} = 0$  für die Kombination $B = D = 0$.

$\text{Beispiel 2:}$  Die Konstellation  $B = E = 0$  führt dazu, dass sowohl $x$ als auch $y$ nur noch von $u$ abhängen. Dann ergibt sich für den Korrelationskoeffizienten:

$$\rho_{xy } = \frac {A \cdot D }{\sqrt{A^{\rm 2}\cdot D^{\rm 2} } } = \frac {A \cdot D }{\vert A\vert \cdot \vert D\vert } =\pm 1. $$

• Besitzen $A$ und $D$ gleiches Vorzeichen, so ist $ρ_{xy} = +1$.
• Bei unterschiedlichen Vorzeichen ergibt sich der Korrelationskoeffizient $-1$.
• Auch für  $A = D = 0$  ergibt sich der Koeffizient $ρ_{xy} = ±1$, wenn $B \ne 0$ und $E \ne 0$ gilt.

Erzeugung korrelierter Zufallsgrößen

Die Gleichungen der letzten Seite können zur Erzeugung einer zweidimensionalen Zufallsgröße $(x, y)$ mit vorgegebenen Kenngrößen $σ_x$, $σ_y$ und $ρ_{xy}$ genutzt werden.

• Werden außer diesen drei Sollwerten keine weiteren Voraussetzungen getroffen, so ist einer der vier Koeffizienten $A, B, D$ und $E$ frei wählbar.
• Im Folgenden wird stets willkürlich $E = 0$ gesetzt.
• Mit der weiteren Festlegung, dass die statistisch unabhängigen Zufallsgrößen $u$ und $v$ jeweils die Streuung $σ =1$ aufweisen, erhält man:

$$D = \sigma_y, \hspace{0.5cm} A = \sigma_x \cdot \rho_{xy}, \hspace{0.5cm} B = \sigma_x \cdot \sqrt {1-\rho_{xy}^2}.$$

• Bei $σ ≠ 1$ sind diese Werte jeweils noch durch $σ$ zu dividieren.

$\text{Beispiel 3:}$  Wir gehen stets von mittelwertfreien Gaußschen Zufallsgrößen $u$ und $v$ aus. Beide besitzen die Varianz $σ^2 = 1$.

$(1)$   Zur Erzeugung einer 2D–Zufallsgröße mit den gewünschten Kennwerten $σ_x =1$, $σ_y = 1.55$ und $ρ_{xy} = -0.8$ eignet sich zum Beispiel der Parametersatz

Per Linearkombination erzeugte 2D-Zufallsgrößen

$$A = -0.8, \; B = 0.6, \; D = 1.55, E = 0.$$

• Dieser Parametersatz liegt der linken Grafik zugrunde.
• Die Korrelationsgerade $K(x)$ ist rot dargestellt.
• Sie verläuft unter einem Winkel von etwa $-50^\circ$.
• Violett eingezeichnet ist die Ellipsenhauptachse, die etwas oberhalb der Korrelationsgeraden liegt.

$(2)$   Der Parametersatz für die rechte Grafik lautet:

$$A = -0.625, B = 0.781, D = 1.501, E = -0.390.$$

• Im statistischen Sinne erhält man das gleiche Resultat, auch wenn sich die beiden Punktwolken im Detail unterscheiden.
• Insbesondere ergibt sich bezüglich Korrelationsgerade und Ellipsenhauptachse kein Unterschied zum Parametersatz $(1)$.

Aufgaben zum Kapitel

Aufgabe 4.7: Gewichtete Summe und Differenz

Aufgabe 4.7Z: Erzeugung einer 2D–WDF

Aufgabe 4.8: Rautenförmige 2D-WDF

Aufgabe 4.8Z: AWGN-Kanal