Theory of Stochastic Signals/Creation of Predefined ACF Properties

1. Theory of Stochastic Signals
2. Filterung stochastischer Signale
3. Creation of Predefined ACF Properties

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AKF am Ausgang eines nichtrekursiven Filters

Wir betrachten ein nichtrekursives Laufzeitfilter M-ter Ordnung  gemäß der folgenden Grafik.

Nichtrekursives Filter $M$-ter Ordnung

Die zeitdiskrete Eingangsgröße $〈\hspace{0.05cm}x_ν\hspace{0.05cm}〉$ ist

• mittelwertfrei $(m_x = 0)$,
• gaußverteilt (mit Streuung $σ_x$), und
• ohne Gedächtnis („Weißes Rauschen”)
  ⇒   statistisch unabhängige Abtastwerte.

Daraus ergeben sich folgende Eigenschaften:

• Die zeitdiskrete Autokorrelationsfunktion (AKF) am Eingang lautet:

$$\varphi _x ( {k \cdot T_{\rm A} } ) = \left\{ {\begin{array}{*{20}c} {\sigma _x ^2 } & {\rm{f\ddot{u}r}\quad {\it k} = 0,} \\ 0 & {\rm{f\ddot{u}r}\quad {\it k} \ne 0.} \\\end{array}} \right.$$

• Die AKF der zeitdiskreten Ausgangsfolge $〈\hspace{0.05cm}y_ν\hspace{0.05cm}〉$ ist wie folgt gegeben:

$$\varphi _y ( {k \cdot T_{\rm A} } ) = \sigma _x ^2 \cdot \sum\limits_{\mu = 0}^{M - k} {a_\mu \cdot a_{\mu + k } } \quad {\rm{f\ddot{u}r}}\quad {\it k} = 0, 1,\,\text{...}\,,\,{\it M}.$$

• Alle AKF–Werte mit $k > M$ sind Null, und alle AKF–Werte mit $k < M$ sind symmetrisch zu $k = 0$:

$$\varphi _y ( { - k \cdot T_{\rm A} } ) = \varphi _y ( {k \cdot T_{\rm A} } ).$$

$\text{Beispiel 1:}$  Liegt am Eingang eines nichtrekursiven Filters erster Ordnung (Filterkoeffizienten $a_0 = 0.6$, $a_1 = 0.8$) zeitdiskretes weißes Rauschen mit der Streuung $σ_x = 2$ an, so lauten die diskreten AKF-Werte des Ausgangssignals (alle anderen AKF-Werte sind $0$):

AKF am Ausgang eines Filters erster Ordnung

$$\varphi _y (0) = \sigma _x ^2 \cdot ( {a_0 ^2 + a_1 ^2 }) = 4,$$

$$\varphi _y ( { - T_{\rm A} } ) = \varphi _y ( {T_{\rm A} } ) = \sigma _x ^2 \cdot a_0 \cdot a_1 = 1.92.$$

Die Grafik kann wie folgt interpretiert werden:

• Wegen $a_0^2 + a_1^2 = 1$ besitzt das Ausgangssignal $y(t)$ genau die gleiche Varianz $σ_y^2 = φ_y(0)$ wie das Eingangssignal:   $σ_x^2 = φ_x(0) = 4$.
• Im Gegensatz zur Eingangsfolge $〈\hspace{0.05cm}x_ν\hspace{0.05cm}〉$ gibt es bei der Ausgangsfolge $〈\hspace{0.05cm}y_ν\hspace{0.05cm}〉$ statistische Bindungen zwischen benachbarten Abtastwerten.

Zur Koeffizientenbestimmung

Nun soll folgende Frage beantwortet werden:   Wie können die Koeffizienten $a_0$, ... , $a_M$ eines nichtrekursiven Filters $M$–ter Ordnung ermittelt werden,

• wenn die gewünschten AKF-Werte $φ_y(0)$, ... , $φ_y(M · T_{\rm A})$ gegeben sind, und
• außerhalb des Bereiches von $-M · T_{\rm A}$ bis $+M · T_{\rm A}$ alle AKF-Werte Null sein sollen.

Für $σ_x = 1$ ergibt sich das folgende nichtlineare Gleichungssystem, wobei zur Vereinfachung der Schreibweise $φ_k = φ_y(k · T_{\rm A})$ verwendet wird:

$$\begin{align*}\varphi _0 & = \sum\limits_{\mu = 0}^M {a_\mu^2 ,}\\ \varphi _1 & = \sum\limits_{\mu = 0}^{M - 1} {a_\mu \cdot a_{\mu + 1} ,} \\ & . & \\ & . &\\ & . &\\ \varphi _{M - 1} & = a_0 \cdot a_{M - 1} + a_1 \cdot a_M , \\ \\ \varphi _M & = a_0 \cdot a_M .\end{align*}$$

$\text{Fazit:}$ 

• Man erhält somit für die $M + 1$ Koeffizienten auch $M + 1$ unabhängige Gleichungen.
• Durch sukzessives Eliminieren der Koeffizienten $a_1$, ... , $a_M$ bleibt für $a_0$ schließlich eine nichtlineare Gleichung höherer Ordnung übrig.

$\text{Beispiel 2:}$  Wir betrachten die folgende Konstellation:

• ein rekursives Filter erster Ordnung  ⇒   $M = 1$,
• eine zeitdiskrete Eingangsfolge $〈\hspace{0.05cm}x_ν\hspace{0.05cm}〉$ mit Mittelwert $m_x =$ 0 und Streuung $σ_x = 1$,
• gewünschte AKF-Werte der Folge $〈\hspace{0.05cm}y_ν\hspace{0.05cm}〉$:   $ φ_y(0) = φ_0 =0.58$ und $φ_y(±T_{\rm A}) = φ_1 = 0.21$.

Damit lautet das obige Gleichungssystem:

$$\varphi _0 = a_0 ^2 + a_1 ^2 = 0.58,$$

$$\varphi _1 = a_0 \cdot a_1 = 0.21.$$

Dies führt zu einer Gleichung vom Grad $4$, nämlich

$$a_0 ^2 + \left( { { {0.21} }/{ {a_0 } } } \right)^2 = 0.58\quad \Rightarrow \quad a_0 ^4 - 0.58 \cdot a_0 ^2 + 0.21^2 = 0.$$

Eine Lösung stellt $a_0 = 0.7$ dar. Durch Einsetzen in die zweite Gleichung findet man $a_1 = 0.3$.

Man erkennt aus diesem Beispiel, dass sich schon im einfachsten Fall   ⇒   $M = 1$ für $a_0$ eine nichtlineare Bestimmungsgleichung vom Grad $4$ ergibt.

Mehrdeutigkeiten bei der Koeffizientenbestimmung

Wie das letzte Beispiel gezeigt hat, ist mit $M = 1$ die Bestimmungsgleichung für $a_0$ vom Grad $4$. Dies bedeutet gleichzeitig, dass es auch vier Koeffizientensätze gibt, die alle zur gleichen AKF führen. Dies ist aus folgenden Gründen einsichtig:

• Die Koeffizienten $a_0$ und $a_1$ können gleichzeitig ihr Vorzeichen ändern, ohne dass dadurch das Gleichungssystem verändert wird.
• Ersetzt man $a_0$ durch $a_1$ und umgekehrt, so ergibt sich die selbe Bestimmungsgleichung.
• Diese Operation entspricht einer Spiegelung und Verschiebung der Impulsantwort.

$\text{Beispiel 3:}$  Wie im letzten Abschnitt gezeigt wurde, ist der Parametersatz  $a_0 = 0.7$,  $a_1 = 0.3$  geeignet, die AKF-Werte  $φ_0 = 0.58$  und  $φ_1 = 0.21$  zu generieren. Die gewünschte AKF der Ausgangsfolge lautet dann in ausführlicher Schreibweise:

Beispiel zur AKF-Berechnung

$$\varphi_y(\tau) = 0.58 \cdot \delta(\tau) + 0.21 \cdot \delta(\tau - T_{\rm A}) + 0.21 \cdot \delta(\tau + T_{\rm A}) .$$

Zur gleichen AKF kommt man auch mit den Koeffizienten

• $a_0 = - 0.7,\quad a_1 = -0.3,$
• $a_0 = +0.3,\quad a_1 = +0.7,$
• $a_0 = - 0.3,\quad a_1 = -0.7.$

Diese Konfigurationen ergeben sich durch

• gleichzeitiges Multiplizieren aller Koeffizienten mit $-1$, sowie
• Vertauschen der Zahlenwerte von $a_0$ und $a_1$.

Die Grafik zeigt die jeweiligen Impulsantworten, die zur gewünschten AKF führen.

Aufgaben zum Kapitel

Aufgabe 5.5: AKF-äquivalente Filter

Aufgabe 5.5Z: AKF nach Filter 1. Ordnung

Aufgabe 5.6: Filterdimensionierung

Aufgabe 5.6Z: Nochmals FIlterdimensionierung