Aufgaben:Exercise 1.4: Entropy Approximations for the AMI Code

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Binäres Quellensignal (oben) und
ternäres Codersignal (unten)

Die Grafik zeigt oben das binäre Quellensignal $q(t)$, das man ebenfalls durch die Symbolfolge $\langle q_\nu \rangle$ mit $q_\nu \in \{ {\rm L}, {\rm H} \}$ beschreiben kann. In der gesamten Aufgabe gelte $p_{\rm L} = p_{\rm H} =0.5$.

Das codierte Signal $c(t)$ und die dazugehörige Symbolfolge $\langle c_\nu \rangle$ mit $c_\nu \in \{{\rm P}, {\rm N}, {\rm M} \}$ ergibt sich aus der AMI–Codierung (Alternate Mark Inversion) nach folgender Vorschrift:

• Das Binärsymbol $\rm L$  ⇒  Low wird stets durch das Ternärsymbol $\rm N$  ⇒  Null dargestellt.
• Das Binärsymbol $\rm H$  ⇒  High wird ebenfalls deterministisch, aber alternierend (daher der Name „AMI”) durch die Symbole $\rm P$  ⇒  Plus und $\rm M$  ⇒  Minus codiert.

In dieser Aufgabe sollen die Entropienäherungen für das AMI–codierte Signal berechnet werden:

• Die Näherung $H_1$ bezieht sich nur auf die Symbolwahrscheinlichkeiten $p_{\rm P}$, $p_{\rm N}$ und $p_{\rm M}$.

• Die $k$–te Entropienäherung $(k = 2, 3, \text{...} \ )$ kann nach folgender Gleichung ermittelt werden:

$$H_k = \frac{1}{k} \cdot \sum_{i=1}^{3^k} p_i^{(k)} \cdot {\rm log}_2\hspace{0.1cm}\frac {1}{p_i^{(k)}} \hspace{0.5cm}({\rm Einheit\hspace{-0.1cm}: \hspace{0.1cm}bit/Symbol}) \hspace{0.05cm}.$$

Hierbei bezeichnet $p_i^{(k)}$ die $i$–te Verbundwahrscheinlichkeit eines $k$–Tupels.

Hinweise:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel Nachrichtenquellen mit Gedächtnis.
• Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite Die Entropie des AMI-Codes.
• In der Aufgabe 1.4Z wird die tatsächliche Entropie der Codesymbolfolge $\langle c_\nu \rangle$ zu $H = 1 \; \rm bit/Symbol$ berechnet.
• Zu erwarten sind die folgenden Größenrelationen:   $H \le$ ...$ \le H_3 \le H_2 \le H_1 \le H_0 \hspace{0.05cm}.$

Fragebogen

1

Wie groß ist der Entscheidungsgehalt des AMI–Codes?

$H_0 \ = \ $ $\ \rm bit/Symbol$

2

Berechnen Sie die erste Entropienäherung des AMI–Codes.

$H_1 \ = \ $ $\ \rm bit/Symbol$

3

Wie groß ist die Entropienäherung $H_2$, basierend auf Zweiertupel?

$H_2 \ = \ $ $\ \rm bit/Symbol$

4

Welchen Wert liefert die Entropienäherung $H_3$, basierend auf Dreiertuptel?

$H_3 \ = \ $ $\ \rm bit/Symbol$

5

Welche Aussagen gelten für die Entropienäherung $H_4$?

	Es muss über $3^4 = 81$ Summanden gemittelt werden.
	Es gilt $1 \; {\rm bit/Symbol} < H_4 < H_3$.
	Nach langer Rechnung erhält man $H_4 = 1.333 \; {\rm bit/Symbol}$.

Musterlösung

Solution

(1)  Der Symbolumfang beträgt $M = 3$. Daraus ergibt sich der Entscheidungsgehalt mit dem Logarithmus dualis zur Basis 2   ⇒   $\log_2$ bzw $\rm ld$:

$$H_0 = {\rm log}_2\hspace{0.1cm} M = {\rm log}_2\hspace{0.1cm} (3) \hspace{0.15cm} \underline { = 1.585 \,{\rm bit/Symbol}} \hspace{0.05cm}.$$

(2)  Die Entropienäherung erster Ordnung berücksichtigt nur die Symbolwahrscheinlichkeiten $p_{\rm P}$, $p_{\rm N}$ und $p_{\rm M}$ und nicht die statistischen Bindungen innerhalb der Codefolge $\langle c_\nu \rangle$. Damit erhält man:

$$p_{\rm N} = p_{\rm L} = 1/2\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}p_{\rm P} = p_{\rm M} = p_{\rm H}/2 = 1/4 \hspace{0.3cm} \Rightarrow\hspace{0.3cm} H_1 = \frac{1}{2} \cdot {\rm log}_2\hspace{0.1cm} (2) + 2 \cdot \frac{1}{4} \cdot {\rm log}_2\hspace{0.1cm}(4) \hspace{0.15cm} \underline {= 1.5 \,{\rm bit/Symbol}} \hspace{0.05cm}.$$

(3)  Zunächst müssen hier die $M^2 = 9$ Verbundwahrscheinlichkeiten von Zweiertupeln ermittelt werden, im Folgenden gekennzeichnet durch die beiden ersten Codesymbole $c_1$ und $c_2$:

• Da beim AMI–Code weder $\rm P$ auf $\rm P$ noch $\rm M$ auf $\rm M$ folgen kann, ist $p_{\rm PP} = p_{\rm MM} =0$.
• Für die Verbundwahrscheinlichkeiten unter der Bedingung $c_2 = \rm N$ gilt:

$$p_{\rm NN} \hspace{0.1cm} = \hspace{0.1cm} {\rm Pr}( c_1 = \mathbf{N}) \cdot {\rm Pr}(c_2 = \mathbf{N}\hspace{0.05cm} | c_1 = \mathbf{N}) = 1/2 \cdot 1/2 = 1/4 \hspace{0.05cm},$$

$$ p_{\rm MN} \hspace{0.1cm} = \hspace{0.1cm} {\rm Pr}( c_1 = \mathbf{M}) \cdot {\rm Pr}(c_2 = \mathbf{N}\hspace{0.05cm} | c_1 = \mathbf{M}) = 1/4 \cdot 1/2 = 1/8 \hspace{0.05cm},$$

$$ p_{\rm PN} \hspace{0.1cm} = \hspace{0.1cm} {\rm Pr}( c_1 = \mathbf{P}) \cdot {\rm Pr}(c_2 = \mathbf{N}\hspace{0.05cm} | c_1 = \mathbf{P}) = 1/4 \cdot 1/2 = 1/8 \hspace{0.05cm}.$$

• Die Verbundwahrscheinlichkeiten der Zweiertupel $\rm PM$ und $\rm MP$ lauten:

$$p_{\rm PM} \hspace{0.1cm} = \hspace{0.1cm} {\rm Pr}( c_1 = \mathbf{P}) \cdot {\rm Pr}(c_2 = \mathbf{M}\hspace{0.05cm} | c_1 = \mathbf{P}) = 1/4 \cdot 1/2 = 1/8 \hspace{0.05cm},$$

$$ p_{\rm MP} \hspace{0.1cm} = \hspace{0.1cm} {\rm Pr}( c_1 = \mathbf{M}) \cdot {\rm Pr}(c_2 = \mathbf{P}\hspace{0.05cm} | c_1 = \mathbf{M}) = 1/4 \cdot 1/2 = 1/8 \hspace{0.05cm}.$$

• Bei den restlichen Wahrscheinlichkeiten muss zusätzlich berücksichtigt werden, ob beim letzten Mal das Binärsymbol $\rm H$ mit $\rm P$ oder mit $\rm M$ codiert wurde  ⇒  weiterer Faktor $1/2$:

$$p_{\rm NM} \hspace{0.1cm} = \hspace{0.1cm} {\rm Pr}( c_1 = \mathbf{N}) \cdot {\rm Pr}(c_2 = \mathbf{M}\hspace{0.05cm} | c_1 = \mathbf{N}) = 1/2 \cdot 1/2 \cdot 1/2= 1/8 \hspace{0.05cm},$$

$$ p_{\rm NP} \hspace{0.1cm} = \hspace{0.1cm} {\rm Pr}( c_1 = \mathbf{N}) \cdot {\rm Pr}(c_2 = \mathbf{P}\hspace{0.05cm} | c_1 = \mathbf{N}) = 1/2 \cdot 1/2 \cdot 1/2 = 1/8 \hspace{0.05cm}.$$

Damit ist die Entropie $H_2'$ eines Zweiertupels bzw. dessen Entropie $H_2$ pro Codesymbol:

$$H_2' = \frac{1}{4} \cdot {\rm log}_2\hspace{0.1cm} (4) + 6 \cdot \frac{1}{8} \cdot {\rm log}_2\hspace{0.1cm}(8) \hspace{0.15cm} {= 2.75 \,{\rm bit/Zweiertupel}}\hspace{0.3cm} \Rightarrow\hspace{0.3cm} H_2 = \frac{H_2'}{2} \hspace{0.15cm} \underline {= 1.375 \,{\rm bit/Symbol}} \hspace{0.05cm}.$$

(4)  Die Berechnung von $H_3$ erfolgt ähnlich wie bei der letzten Teilaufgabe für $H_2$ , nur müssen nun $3^3 = 27$ Verbundwahrscheinlichkeiten ermittelt werden:

$$p_{\rm NNN} = 1/8\hspace{0.4cm}{\rm (nur \hspace{0.15cm}einmal)} \hspace{0.05cm},$$

$$p_{\rm NMM} = p_{\rm NPP} = p_{\rm MNM} = ... = 0 \hspace{0.4cm}{\rm (ingesamt \hspace{0.15cm}12)} \hspace{0.05cm},$$

$$p_{\rm NNM} = p_{\rm NNP} = p_{\rm PMP} = ... = 1/16 \hspace{0.4cm}{\rm (ingesamt \hspace{0.15cm}14)}$$

$$\Rightarrow\hspace{0.3cm} H_3 = \frac{1}{3} \cdot \left [ \frac{1}{8} \cdot {\rm log}_2\hspace{0.1cm} (8) + 14 \cdot \frac{1}{16} \cdot {\rm log}_2\hspace{0.1cm}(16) \right ] \hspace{0.15cm} \underline {= 1.292 \,{\rm bit/Symbol}} \hspace{0.05cm}.$$

(5)  Richtig sind die Lösungsvorschläge 1 und 2. Falsch ist dagegen die Aussage 3, da $H_4$ auf jeden Fall kleiner sein muss als $H_3 = 1.292 \; \rm bit/Symbol$.