Aufgaben:Exercise 3.1Z: Drawing Cards

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Das gewünschte Ergebnis
„Drei Asse werden gezogen”

Aus einem Kartenspiel mit 32 Karten, darunter vier Asse, werden nacheinander drei Karten herausgezogen. Für Frage (1) wird vorausgesetzt, dass nach dem Ziehen einer Karte

• diese in den Stapel zurückgelegt wird,
• dieser neu gemischt wird und
• anschließend die nächste Karte gezogen wird.

Dagegen sollen Sie für die weiteren Teilfragen ab (2) davon ausgehen, dass die drei Karten auf einmal gezogen werden („Ziehen ohne Zurücklegen“).

Im Folgenden bezeichnen wir mit $A_i$ das Ereignis, dass die zum Zeitpunkt $i$ gezogene Karte ein Ass ist. Hierbei ist $i = 1, 2, 3$ zu setzen. Das Komplementärereignis sagt dann aus, dass zum Zeitpunkt $i$ kein Ass, sondern irgend eine andere Karte gezogen wird.

Hinweise:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel Einige Vorbemerkungen zu den 2D-Zufallsgrößen.
• Wiederholt wird hier insbesondere der Lehrstoff des Kapitels Statistische Abhängigkeit und Unabhängigkeit
  im Buch „Stochastische Signaltheorie”.
• Eine Zusammenfassung der theoretischen Grundlagen mit Beispielen bringt das Lernvideo
  Statistische Abhängigkeit und Unabhängigkeit.

Fragebogen

1

Betrachten Sie zunächst den Fall „Ziehen mit Zurücklegen“. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit $p_1$, dass drei Asse gezogen werden?

$p_1 \ = \ $

2

Mit welcher Wahrscheinlichkeit $p_2$ werden drei Asse gezogen, wenn man die Karten nicht zurücklegt? Warum ist $p_2$ kleiner/gleich/größer als $p_1$?

$p_2 \ = \ $

3

Betrachten Sie weiterhin den Fall „Ziehen ohne Zurücklegen“. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit $p_3$ , dass kein einziges Ass gezogen wird?

$p_3 \ = \ $

4

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit $p_4$, dass im Fall „Ziehen ohne Zurücklegen“ genau ein Ass gezogen wird?

$p_4 \ = \ $

5

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass zwei der drei gezogenen Karten Asse sind?
Hinweis:   Die Ereignisse „genau $i$ Asse werden gezogen” mit $i = 0, 1, 2, 3$ beschreiben ein vollständiges System.

$p_5 \ = \ $

Musterlösung

Solution

(1)  Werden die Karten nach dem Ziehen zurückgelegt, so ist zu jedem Zeitpunkt die Wahrscheinlichkeit für ein Ass gleich groß $(1/8)$:

$$ p_{\rm 1} = \rm Pr (3 \hspace{0.1cm} Asse) = \rm Pr (\it A_{\rm 1} \rm )\cdot \rm Pr (\it A_{\rm 2} \rm )\cdot \rm Pr (\it A_{\rm 3} \rm ) = \rm \big({1}/{8}\big)^3 \hspace{0.15cm}\underline{\approx 0.002}.$$

(2)  Nun erhält man mit dem allgemeinen Multiplikationstheorem:

$$ p_{\rm 2} = \rm Pr (\it A_{\rm 1}\cap \it A_{\rm 2} \cap \it A_{\rm 3} \rm ) = \rm Pr (\it A_{\rm 1}\rm ) \cdot \rm Pr (\it A_{\rm 2} |\it A_{\rm 1}\rm ) \cdot \rm Pr (\it A_{\rm 3} |( \it A_{\rm 1}\cap \it A_{\rm 2} \rm )).$$

• Die bedingten Wahrscheinlichkeiten können nach der klassischen Definition berechnet werden.
• Man erhält somit das Ergebnis $k/m$ (bei $m$ Karten sind noch $k$ Asse enthalten):

$$p_{\rm 2} =\rm \frac{4}{32}\cdot \frac{3}{31}\cdot\frac{2}{30}\hspace{0.15cm}\underline{ \approx 0.0008}.$$

• $p_2$ ist kleiner als $p_1$, da nun das zweite und dritte Ass unwahrscheinlicher sind als zuvor.

(3)  Analog zur Teilaufgabe (2) erhält man hier:

$$p_{\rm 3} = \rm Pr (\overline{\it A_{\rm 1}})\cdot \rm Pr (\overline{\it A_{\rm 2}} \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}\overline{\it A_{\rm 1}})\cdot \rm Pr (\overline{\it A_{\rm3}}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}(\overline{\it A_{\rm 1}} \cap \overline{\it A_{\rm 2}} )) =\rm \frac{28}{32}\cdot\frac{27}{31}\cdot\frac{26}{30}\hspace{0.15cm}\underline{\approx 0.6605}.$$

(4)  Diese Wahrscheinlichkeit kann man als die Summe dreier Wahrscheinlichkeiten ausdrücken   ⇒   $p_{\rm 4} = \rm Pr (\it D_{\rm 1} \cup \it D_{\rm 2} \cup \it D_{\rm 3}) $, da die zugehörigen Ereignisse ${\rm Pr}(D_1)$, ${\rm Pr}(D_2)$ und ${\rm Pr}(D_3)$ disjunkt sind:

$$\rm Pr (\it D_{\rm 1}) = \rm Pr (\it A_{\rm 1} \cap \overline{ \it A_{\rm 2}} \cap \overline{\it A_{\rm 3}}) = \rm \frac{4}{32}\cdot \frac{28}{31}\cdot \frac{27}{30}=\rm 0.1016,$$

$$\rm Pr (\it D_{\rm 2}) = \rm Pr ( \overline{\it A_{\rm 1}} \cap \it A_{\rm 2} \cap \overline{\it A_{\rm 3}}) = \rm \frac{28}{32}\cdot \frac{4}{31}\cdot\frac{27}{30}=\rm 0.1016,$$

$$\rm Pr (\it D_{\rm 3}) = \rm Pr ( \overline{\it A_{\rm 1}} \cap \overline{\it A_{\rm 2}} \cap \it A_{\rm 3}) = \rm \frac{28}{32}\cdot \frac{27}{31}\cdot \frac{4}{30}=\rm 0.1016.$$

• Diese Wahrscheinlichkeiten sind alle gleich – warum sollte es auch anders sein?
• Wenn man bei drei Karten genau ein Ass zieht, ist es genau so wahrscheinlich, ob man dieses als erste, als zweite oder als dritte Karte zieht.
• Damit erhält man für die Summe:

$$p_{\rm 4}= \rm Pr (\it D_{\rm 1} \cup \it D_{\rm 2} \cup \it D_{\rm 3}) \hspace{0.15cm}\underline{= 0.3084}.$$

(5)  Definiert man die Ereignisse $E_i =$ „Es werden genau $i$ Asse gezogen” mit den Indizes $i = 0, 1, 2, 3$,

• so beschreiben $E_0$, $E_1$, $E_2$ und $E_3$ ein vollständiges System.
• Deshalb gilt:

$$p_{\rm 5} = \rm Pr (\it E_{\rm 2}) = \rm 1 - \it p_{\rm 2} -\it p_{\rm 3} - \it p_{\rm 4} \hspace{0.15cm}\underline{= \rm 0.0339}.$$