Aufgaben:Exercise 4.Ten: QPSK Channel Capacity

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Kapazitätskurven für BPSK und QPSK

Gegeben sind die AWGN–Kanalkapazitätsgrenzkurven für die Modulationsverfahren

• Binary Phase Shift Keying (BPSK),
• Quaternary Phase Shift Keying (4–PSK oder auch QPSK).

Die Kanalkapazitäten $C_\text{BPSK}$ und $C_\text{QPSK}$ geben gleichzeitig die maximale Coderate $R_{\rm max}$ an, mit der bei BPSK (bzw. QPSK) die Bitfehlerwahrscheinlichkeit $p_\text{B} ≡ 0$ mit geeigneter Kanalcodierung asymptotisch erreichbar ist.

Das obere Diagramm zeigt die Abhängigkeit von der Kenngröße $10 \cdot \lg (E_{\rm B}/{N_0})$ in $\rm dB$, wobei $E_{\rm B}$ die „Energie pro Informationsbit” angibt.

• Für große $E_{\rm B}/{N_0}$–Werte liefert die BPSK–Kurve die maximale Coderate $R ≈ 1$.
• Aus der QPSK–Kurve kann dagegen $R ≈ 2$ abgelesen werden.

Die Kapazitätskurven für digitalen Eingang (jeweils mit der Einheit „bit/Symbol”),

• grüne Kurve   ⇒   $C_\text{BPSK} (E_{\rm B}/{N_0})$ und
• blaue Kurve   ⇒   $C_\text{QPSK} (E_{\rm B}/{N_0})$

sollen in der Teilaufgabe (3) in Bezug gesetzt werden zu zwei Shannon–Grenzkurven, die jeweils für eine Gaußsche Eingangsverteilung gültig sind:

$$C_1( E_{\rm B}/{N_0}) = {1}/{2} \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} ( 1 + \frac { 2\cdot R \cdot E_{\rm B}}{N_0}) ,$$

$$C_2( E_{\rm B}/{N_0}) = {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} ( 1 + \frac { R \cdot E_{\rm B}}{N_0}) .$$

Die beiden Kurven geben gleichzeitig die maximale Coderate $R_{\rm max}$ an, mit der durch lange Kanalcodes entsprechend dem Kanalcodierungstheorem eine fehlerfreie Übertragung möglich ist. Natürlich gelten für  $C_1( E_{\rm B}/{N_0})$   bzw.   $C_2( E_{\rm B}/{N_0})$  unterschiedliche Randbedingungen. Welche, sollen Sie herausfinden.

Die Abszisse im unteren Diagramm ist dagegen  $10 \cdot \lg (E_{\rm S}/{N_0})$  mit der „Energie pro Symbol” $(E_{\rm S})$. Zu erkennen ist, dass die beiden Endwerte gegenüber der oberen Darstellung nicht verändert werden:

$$C_{\rm BPSK}( E_{\rm S}/{N_0} \to \infty) = C_{\rm BPSK}( E_{\rm B}/{N_0} \to \infty) = 1 \ \rm bit/Symbol,$$

$$C_{\rm QPSK}( E_{\rm S}/{N_0} \to \infty) = C_{\rm QPSK}( E_{\rm B}/{N_0} \to \infty) = 2 \ \rm bit/Symbol.$$

Hinweise:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel  AWGN–Kanalkapazität bei wertkontinuierlichem Eingang.
• Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite  Maximale Coderate für QAM-Strukturen.

Fragebogen

1

Unterscheiden sich QPSK und 4–QAM aus informationstheoretischer Sicht?

	Ja.
	Nein.

2

Wie lässt sich  $C_{\rm QPSK}( E_{\rm B}/{N_0})$  aus  $C_{\rm BPSK}( E_{\rm B}/{N_0})$  konstruieren?

	Durch Verdopplung:   $C_{\rm QPSK}( E_{\rm B}/{N_0}) = 2 \cdot C_{\rm BPSK}( E_{\rm B}/{N_0})$.
	Zusätzlich durch eine Verschiebung nach rechts.
	Zusätzlich durch eine Verschiebung nach links.
	$C_{\rm QPSK}( E_{\rm B}/{N_0})$  kann man aus  $C_{\rm BPSK}( E_{\rm B}/{N_0})$   nicht konstruieren.

3

Welcher Zusammenhang besteht zu den Shannon–Grenzkurven?

	Es gilt   $C_{\rm BPSK}( E_{\rm B}/{N_0}) \le C_{\rm 1}( E_{\rm B}/{N_0})$.
	Es gilt   $C_{\rm BPSK}( E_{\rm B}/{N_0}) \le C_{\rm 2}( E_{\rm B}/{N_0})$.
	Es gilt   $C_{\rm QPSK}( E_{\rm B}/{N_0}) \le C_{\rm 1}( E_{\rm B}/{N_0})$.
	Es gilt   $C_{\rm QPSK}( E_{\rm B}/{N_0}) \le C_{\rm 2}( E_{\rm B}/{N_0})$.

4

Wie lässt sich  $C_{\rm QPSK}( E_{\rm S}/{N_0})$  aus  $C_{\rm BPSK}( E_{\rm S}/{N_0})$  konstruieren?

	Durch Verdopplung:   $C_{\rm QPSK}( E_{\rm S}/{N_0}) = 2 \cdot C_{\rm BPSK}( E_{\rm S}/{N_0})$.
	Zusätzlich durch eine Verschiebung nach rechts.
	Zusätzlich durch eine Verschiebung nach links.
	$C_{\rm QPSK}( E_{\rm S}/{N_0})$  kann man aus  $C_{\rm BPSK}( E_{\rm S}/{N_0})$  nicht konstruieren.

Musterlösung

Solution

QPSK– und 4–QAM–Signalraumkonstellation

(1)  Die Grafik zeigt die Signalraumkonstellationen für

• Quaternary Phase Shift Keying (QPSK), und
• vierstufige Quadraturamplitudenmodulation (4–QAM).

Letztere wird auch als  π/4–QPSK bezeichnet. Beide sind aus informationstheoretischer Sicht identisch   ⇒   Antwort NEIN.

(2)  Richtig ist der Lösungsvorschlag 1:

• Die 4–QAM kann man als zwei BPSK–Konstellationen in orthogonalen Ebenen betrachten, wobei die Energie pro Informationsbit  $(E_{\rm B})$  in beiden Fällen gleich ist.
• Da entsprechend der Teilaufgabe (1) die 4–QAM mit der QSPK identisch ist, gilt tatsächlich:

$$C_{\rm QPSK}( E_{\rm B}/{N_0}) = 2 \cdot C_{\rm BPSK}( E_{\rm B}/{N_0}).$$

(3)  In der unteren Grafik sind die beiden angegebenen Shannon–Grenzkurven zusammen mit  $C_{\rm BPSK}( E_{\rm B}/{N_0})$  und  $C_{\rm QPSK}( E_{\rm B}/{N_0})$  skizziert:

Vier Kapazitätskurven mit unterschiedlichen Aussagen

$$C_1( E_{\rm B}/{N_0}) = {1}/{2} \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} ( 1 + \frac { 2 \cdot R \cdot E_{\rm B}}{N_0}) ,$$

$$C_2( E_{\rm B}/{N_0}) = {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} ( 1 + \frac { R \cdot E_{\rm B}}{N_0}) .$$

Man erkennt aus dieser Skizze:   Richtig sind die Lösungsvorschläge 1, 2 und 4.

• Die grün–gestrichelte Kurve  $C_1( E_{\rm B}/{N_0})$  gilt für den AWGN–Kanal mit gaußverteiltem Eingang. Für die Coderate $R =1$ sind nach dieser Kurve  $10 \cdot \lg (E_{\rm B}/{N_0}) = 1.76\ \rm dB$  erforderlich. Für $R =2$ benötigt man dagegen  $10 \cdot \lg (E_{\rm B}/{N_0}) = 5.74\ \rm dB$.
• Die blau–gestrichelte Kurve  $C_2( E_{\rm B}/{N_0})$  gibt die Shannon–Grenze für $K=2$ parallele Gaußkanäle an. Hier benötigt man für  $R =1$  $10 \cdot \lg (E_{\rm B}/{N_0}) = 0\ \rm dB$  bzw.  $10 \cdot \lg (E_{\rm B}/{N_0}) = 1.76\ \rm dB$  für  $R =2$.
• Die eindimensionale BPSK liegt im gesamten Bereich unterhalb von  $C_1$  und damit natürlich auch unterhalb von  $C_2 > C_1$.
• Die zweidimensionale QPSK liegt erwartungsgemäß unter der für sie relevanten Grenzkurve  $C_2$. Sie liegt aber im unteren Bereich (bis nahezu 6 dB) oberhalb von  $C_1$.

(4)  Die  $C_{\rm QPSK}( E_{\rm B}/{N_0})$–Kurve kann ebenfalls aus  $C_{\rm BPSK}( E_{\rm B}/{N_0})$  konstruiert werden und zwar

• zum einen durch Verdopplung:

$$C_{\rm BPSK}(10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm}E_{\rm S}/{N_0}) \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} 2 \cdot C_{\rm BPSK}(10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm}E_{\rm S}/{N_0}) ,$$

• sowie durch eine Verschiebung um $3\ \rm dB$ nach rechts:

$$C_{\rm QPSK}(10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm}E_{\rm S}/{N_0}) = 2 \cdot C_{\rm BPSK}(10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm}E_{\rm S}/{N_0} - 3\,{\rm dB}) .$$

• Richtig sind die beiden ersten Lösungsvorschläge.
• Der zweite Vorschlag berücksichtigt, dass bei QPSK die Energie in einer Dimension nur  $E_{\rm S}/2$  beträgt.