Difference between revisions of "Aufgaben:Exercise 3.7Z: Partial Fraction Decomposition"
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'''(1)''' Richtig sind die <u> Lösungsvorschläge 1 und 2</u>: | '''(1)''' Richtig sind die <u> Lösungsvorschläge 1 und 2</u>: | ||
| − | *Nach den in der Aufgabe 3.4Z angegebenen Kriterien liegt immer dann ein Allpass vor, wenn es zu jeder Polstelle $p_{\rm x} = - A + {\rm j} \cdot B$ in der linken $p$–Halbebene eine entsprechende Nullstelle $p_{\rm o} = + A + {\rm j} \cdot B$ in der rechten Halbebene gibt. | + | *Nach den in der Aufgabe 3.4Z angegebenen Kriterien liegt immer dann ein Allpass vor, wenn es zu jeder Polstelle $p_{\rm x} = - A + {\rm j} \cdot B$ in der linken $p$–Halbebene eine entsprechende Nullstelle $p_{\rm o} = + A + {\rm j} \cdot B$ in der rechten Halbebene gibt. |
| − | *$K = 1$ ist dann die Dämpfungsfunktion $a(f) = 0 \ \rm Np$ ⇒ $|H(f)| = 1$. | + | *$K = 1$ ist dann die Dämpfungsfunktion $a(f) = 0 \ \rm Np$ ⇒ $|H(f)| = 1$. |
| + | *Aus der Grafik auf der Angabenseite erkennt man: Die Konfigurationen $(1)$ und $(2)$ erfüllen genau diese Symmetrieeigenschaften. | ||
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'''(2)''' Richtig ist der <u> Lösungsvorschlag 4</u>: | '''(2)''' Richtig ist der <u> Lösungsvorschlag 4</u>: | ||
| − | *Die Übertragungsfunktion $H_{\rm L}^{(5)}(p)$ wird ebenso durch die Konfiguration $(4)$ beschrieben, wie die nachfolgende Rechnung zeigt: | + | *Die Übertragungsfunktion $H_{\rm L}^{(5)}(p)$ wird ebenso durch die Konfiguration $(4)$ beschrieben, wie die nachfolgende Rechnung zeigt: |
:$$H_{\rm L}^{(5)}(p) \hspace{0.25cm} = \hspace{0.2cm} \frac{p/A}{(\sqrt{p/A}+\sqrt{A/p})^2} | :$$H_{\rm L}^{(5)}(p) \hspace{0.25cm} = \hspace{0.2cm} \frac{p/A}{(\sqrt{p/A}+\sqrt{A/p})^2} | ||
=\frac{p/A}{{p/A}+2+ {A/p}} | =\frac{p/A}{{p/A}+2+ {A/p}} | ||
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| − | Die doppelte Nullstelle liegt bei $p_{\rm o} = 0$, der doppelte Pol bei $p_{\rm x} = -A = -2$. | + | *Die doppelte Nullstelle liegt bei $p_{\rm o} = 0$, der doppelte Pol bei $p_{\rm x} = -A = -2$. |
| − | '''(3)''' Für die Konfiguration $(1)$ gilt: | + | |
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:$$H_{\rm L}(p) =\frac{p-2}{p+2}=\frac{p+2-4}{p+2}= 1 - \frac{4}{p+2}=1- H_{\rm L}\hspace{-0.05cm}'(p) | :$$H_{\rm L}(p) =\frac{p-2}{p+2}=\frac{p+2-4}{p+2}= 1 - \frac{4}{p+2}=1- H_{\rm L}\hspace{-0.05cm}'(p) | ||
\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}H_{\rm L}\hspace{-0.05cm}'(p) = \frac{4}{p+2} | \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}H_{\rm L}\hspace{-0.05cm}'(p) = \frac{4}{p+2} | ||
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| − | '''(4)''' In gleicher Weise ergibt sich für die Konfiguration $(2)$: | + | |
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:$$H_{\rm L}(p) =\frac{(p-2 - {\rm j} \cdot 2)(p-2 + {\rm j} \cdot 2)}{(p+2 - {\rm j} \cdot 2)(p+2 + {\rm j} \cdot 2)}= | :$$H_{\rm L}(p) =\frac{(p-2 - {\rm j} \cdot 2)(p-2 + {\rm j} \cdot 2)}{(p+2 - {\rm j} \cdot 2)(p+2 + {\rm j} \cdot 2)}= | ||
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Richtig sind also die <u> Lösungsvorschläge 2 und 3</u> im Gegensatz zur Aussage 1: | Richtig sind also die <u> Lösungsvorschläge 2 und 3</u> im Gegensatz zur Aussage 1: | ||
| − | * Während $H_{\rm L}(p)$ zwei konjugiert–komplexe Nullstellen aufweist, | + | * Während $H_{\rm L}(p)$ zwei konjugiert–komplexe Nullstellen aufweist, |
| − | *besitzt $H_{\rm L}\hspace{0.01cm}'(p)$ nur eine einzige Nullstelle bei $p_{\rm o}\hspace{0.01cm}' = 0$. | + | *besitzt $H_{\rm L}\hspace{0.01cm}'(p)$ nur eine einzige Nullstelle bei $p_{\rm o}\hspace{0.01cm}' = 0$. |
| − | '''(5)''' Für die Konfiguration $(3)$ gilt: | + | '''(5)''' Für die Konfiguration $(3)$ gilt: |
:$$H_{\rm L}(p) = | :$$H_{\rm L}(p) = | ||
\frac{p^2 }{p^2 +4\cdot p +8}=\frac{p^2 +4\cdot p +8 -4\cdot p -8 }{p^2 +4\cdot p +8} | \frac{p^2 }{p^2 +4\cdot p +8}=\frac{p^2 +4\cdot p +8 -4\cdot p -8 }{p^2 +4\cdot p +8} | ||
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\cdot \frac{p+2}{(p+2 - {\rm j} \cdot 2)(p+2 + {\rm j} \cdot 2)} | \cdot \frac{p+2}{(p+2 - {\rm j} \cdot 2)(p+2 + {\rm j} \cdot 2)} | ||
\hspace{0.05cm}.$$ | \hspace{0.05cm}.$$ | ||
| − | Die Nullstelle von $H_{\rm L}\hspace{0.01cm}'(p)$ liegt nun bei $p_{\rm o}\hspace{0.01cm}' = -2$ . Die Konstante ist $K\hspace{0.01cm}' = 4$ ⇒ richtig ist hier nur der <u> Lösungsvorschlag 2</u>. | + | *Die Nullstelle von $H_{\rm L}\hspace{0.01cm}'(p)$ liegt nun bei $p_{\rm o}\hspace{0.01cm}' = -2$. |
| + | *Die Konstante ist $K\hspace{0.01cm}' = 4$ ⇒ richtig ist hier nur der <u> Lösungsvorschlag 2</u>. | ||
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| − | '''(6)''' Schließlich gilt für die Konfiguration $(4)$: | + | '''(6)''' Schließlich gilt für die Konfiguration $(4)$: |
:$$H_{\rm L}(p) = \frac{p^2 }{(p+2)^2}=\frac{p^2 +4\cdot p +4 -4\cdot p -4 }{p^2 +4\cdot p +4} | :$$H_{\rm L}(p) = \frac{p^2 }{(p+2)^2}=\frac{p^2 +4\cdot p +4 -4\cdot p -4 }{p^2 +4\cdot p +4} | ||
= 1- \frac{4\cdot p +4 }{p^2 +4\cdot p +4} | = 1- \frac{4\cdot p +4 }{p^2 +4\cdot p +4} | ||
Revision as of 12:31, 28 November 2018
Pol–Nullstellen–Konfigurationen
In der Grafik sind vier Vierpole durch ihre Pol–Nullstellen–Diagramme $H_{\rm L}(p)$ gegeben.
- Sie alle haben gemein, dass die Anzahl $Z$ der Nullstellen gleich der Anzahl $N$ der Polstellen ist.
- Der konstante Faktor ist jeweils $K=1$.
Im Sonderfall $Z = N$ kann zur Berechnung der Impulsantwort $h(t)$ der Residuensatz nicht direkt angewendet werden. Vielmehr muss vorher eine Partialbruchzerlegung entsprechend
- $$H_{\rm L}(p) =1- H_{\rm L}\hspace{0.05cm}'(p) \hspace{0.05cm}$$
vorgenommen werden. Für die Impulsantwort gilt dann
- $$h(t) = \delta(t)- h\hspace{0.03cm}'(t) \hspace{0.05cm}.$$
$h\hspace{0.03cm}'(t)$ ist die Laplace–Rücktransformierte von $H_{\rm L}\hspace{0.05cm}'(p)$ , bei der die Bedingung $Z' < N'$ erfüllt ist.
Bei zwei der vier angegebenen Konfigurationen handelt es sich um so genannte Allpässe.
- Darunter versteht man Vierpole, bei denen die Fourier–Spektralfunktion die Bedingung $|H(f)| = 1$ ⇒ $a(f) = 0$ erfüllt.
- In Aufgabe 3.4Z ist angegeben, wie die Pole und Nullstelle eines solchen Allpasses liegen müssen.
Weiterhin soll in dieser Aufgabe die $p$–Übertragungsfunktion
- $$H_{\rm L}^{(5)}(p) =\frac{p/A}{\left (\sqrt{p/A}+\sqrt{A/p} \right )^2} \hspace{0.05cm}$$
⇒ „Konfiguration $(5)$” näher untersucht werden, die bei richtiger Wahl des Parameters $A$ durch eines der vier in der Grafik vorgegebenen Pol–Nullstellen–Diagramme dargestellt werden kann.
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Laplace–Rücktransformation.
- Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite Partialbruchzerlegung.
Fragebogen
Musterlösung
(1) Richtig sind die Lösungsvorschläge 1 und 2:
- Nach den in der Aufgabe 3.4Z angegebenen Kriterien liegt immer dann ein Allpass vor, wenn es zu jeder Polstelle $p_{\rm x} = - A + {\rm j} \cdot B$ in der linken $p$–Halbebene eine entsprechende Nullstelle $p_{\rm o} = + A + {\rm j} \cdot B$ in der rechten Halbebene gibt.
- $K = 1$ ist dann die Dämpfungsfunktion $a(f) = 0 \ \rm Np$ ⇒ $|H(f)| = 1$.
- Aus der Grafik auf der Angabenseite erkennt man: Die Konfigurationen $(1)$ und $(2)$ erfüllen genau diese Symmetrieeigenschaften.
(2) Richtig ist der Lösungsvorschlag 4:
- Die Übertragungsfunktion $H_{\rm L}^{(5)}(p)$ wird ebenso durch die Konfiguration $(4)$ beschrieben, wie die nachfolgende Rechnung zeigt:
- $$H_{\rm L}^{(5)}(p) \hspace{0.25cm} = \hspace{0.2cm} \frac{p/A}{(\sqrt{p/A}+\sqrt{A/p})^2} =\frac{p/A}{{p/A}+2+ {A/p}} = \hspace{0.2cm}\frac{p^2}{p^2 + 2A \cdot p + A^2} = \frac{p^2}{(p+A)^2 }= H_{\rm L}^{(4)}(p) \hspace{0.05cm}.$$
- Die doppelte Nullstelle liegt bei $p_{\rm o} = 0$, der doppelte Pol bei $p_{\rm x} = -A = -2$.
(3) Für die Konfiguration $(1)$ gilt:
- $$H_{\rm L}(p) =\frac{p-2}{p+2}=\frac{p+2-4}{p+2}= 1 - \frac{4}{p+2}=1- H_{\rm L}\hspace{-0.05cm}'(p) \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}H_{\rm L}\hspace{-0.05cm}'(p) = \frac{4}{p+2} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}\hspace{0.15cm}\underline{H_{\rm L}\hspace{-0.05cm}'(p =0) =2} \hspace{0.05cm}.$$
(4) In gleicher Weise ergibt sich für die Konfiguration $(2)$:
- $$H_{\rm L}(p) =\frac{(p-2 - {\rm j} \cdot 2)(p-2 + {\rm j} \cdot 2)}{(p+2 - {\rm j} \cdot 2)(p+2 + {\rm j} \cdot 2)}= \frac{p^2 -4\cdot p +8 }{p^2 +4\cdot p +8}= \hspace{0.2cm}\frac{p^2 +4\cdot p +8 -8\cdot p}{p^2 +4\cdot p +8} =1- \frac{8\cdot p}{p^2 +4\cdot p +8}=1- H_{\rm L}\hspace{-0.05cm}'(p)$$
- $$\Rightarrow \hspace{0.3cm}H_{\rm L}\hspace{0.05cm}'(p) = 8 \cdot \frac{p}{(p+2 - {\rm j} \cdot 2)(p+2 + {\rm j} \cdot 2)} \hspace{0.05cm}.$$
Richtig sind also die Lösungsvorschläge 2 und 3 im Gegensatz zur Aussage 1:
- Während $H_{\rm L}(p)$ zwei konjugiert–komplexe Nullstellen aufweist,
- besitzt $H_{\rm L}\hspace{0.01cm}'(p)$ nur eine einzige Nullstelle bei $p_{\rm o}\hspace{0.01cm}' = 0$.
(5) Für die Konfiguration $(3)$ gilt:
- $$H_{\rm L}(p) = \frac{p^2 }{p^2 +4\cdot p +8}=\frac{p^2 +4\cdot p +8 -4\cdot p -8 }{p^2 +4\cdot p +8} = 1- H_{\rm L}\hspace{-0.05cm}'(p)$$
- $$\Rightarrow \hspace{0.3cm}H_{\rm L}\hspace{-0.05cm}'(p) = 4 \cdot \frac{p+2}{(p+2 - {\rm j} \cdot 2)(p+2 + {\rm j} \cdot 2)} \hspace{0.05cm}.$$
- Die Nullstelle von $H_{\rm L}\hspace{0.01cm}'(p)$ liegt nun bei $p_{\rm o}\hspace{0.01cm}' = -2$.
- Die Konstante ist $K\hspace{0.01cm}' = 4$ ⇒ richtig ist hier nur der Lösungsvorschlag 2.
(6) Schließlich gilt für die Konfiguration $(4)$:
- $$H_{\rm L}(p) = \frac{p^2 }{(p+2)^2}=\frac{p^2 +4\cdot p +4 -4\cdot p -4 }{p^2 +4\cdot p +4} = 1- \frac{4\cdot p +4 }{p^2 +4\cdot p +4} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}H_{\rm L}\hspace{0.05cm}'(p) = 4 \cdot \frac{p+1}{(p+2)^2} \hspace{0.05cm}.$$
Richtig ist auch hier der Lösungsvorschlag 2. Allgemein lässt sich sagen:
- Durch die Partialbruchzerlegung wird die Anzahl und die Lage der Nullstellen verändert.
- Die Pole von $H_{\rm L}\hspace{0.01cm}'(p)$ sind dagegen stets identisch mit denen von $H_{\rm L}(p)$.
