Aufgaben:Exercise 3.12: Trellis Diagram for Two Precursors

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Trellisdiagramm für zwei Vorläufer

Wir gehen von den Grundimpulswerten  $g_0$,  $g_{\rm –1}$  und  $g_{\rm –2}$  aus:

• Das bedeutet, dass die Entscheidung über das Symbol  $a_{\rm \nu}$  auch durch die nachfolgenden Koeffizienten  $a_{\rm \nu +1}$  und  $a_{\rm \nu +2}$  beeinflusst wird.
• Damit sind für jeden Zeitpunkt  $\nu$  genau acht Fehlergrößen  $\varepsilon_{\rm \nu}$  zu bestimmen, aus denen die minimalen Gesamtfehlergrößen  ${\it \Gamma}_{\rm \nu}(00)$,  ${\it \Gamma}_{\rm \nu}(01)$,  ${\it \Gamma}_{\rm \nu}(10)$  und  ${\it \Gamma}_{\rm \nu}(11)$  berechnet werden können.
• Hierbei liefert beispielsweise  ${\it \Gamma}_{\rm \nu}(01)$  Information über das Symbol  $a_{\rm \nu}$  unter der Annahme, dass  $a_{\rm \nu +1} = 0$  und  $a_{\rm \nu +2} = 1$  sein werden.
• Die minimale Gesamtfehlergröße  ${\it \Gamma}_{\rm \nu}(01)$  ist hierbei der kleinere Wert aus dem Vergleich von

$$\big[{\it \Gamma}_{\nu-1}(00) + \varepsilon_{\nu}(001)\big] \hspace{0.15cm}{\rm und} \hspace{0.15cm}\big[{\it \Gamma}_{\nu-1}(10) + \varepsilon_{\nu}(101)\big].$$

Zur Berechnung der minimalen Gesamtfehlergröße  ${\it \Gamma}_2(10)$  in den Teilaufgaben (1) und (2) soll von folgenden Zahlenwerten ausgegangen werden:

• unipolare Amplitudenkoeffizienten:  $a_{\rm \nu} ∈ \{0, 1\}$,
• Grundimpulswerte  $g_0 = 0.5$,  $g_{\rm –1} = 0.3$,  $g_{\rm –2} = 0.2$,
• anliegender Detektionsabtastwert:  $d_2 = 0.2$,
• Minimale Gesamtfehlergrößen zum Zeitpunkt  $\nu = 1$:

$${\it \Gamma}_{1}(00) = 0.0,\hspace{0.2cm}{\it \Gamma}_{1}(01) = 0.2, \hspace{0.2cm} {\it \Gamma}_{1}(10) = 0.6,\hspace{0.2cm}{\it \Gamma}_{1}(11) = 1.2 \hspace{0.05cm}.$$

In der Grafik ist das vereinfachte Trellisdiagramm für die Zeitpunkte  $\nu = 1$  bis  $\nu = 8$  dargestellt.

• Blaue Zweige kommen entweder von  ${\it \Gamma}_{\rm \nu –1}(00)$  oder von  ${\it \Gamma}_{\rm \nu –1}(01)$  und kennzeichnen eine hypothetische „$0$”.
• Dagegen weisen alle roten Zweige – ausgehend von den Zuständen  ${\it \Gamma}_{\rm \nu –1}(10)$  bzw.  ${\it \Gamma}_{\rm \nu –1}(11)$  – auf das Symbol „$1$” hin.

Hinweise:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel  Viterbi–Empfänger.

• Alle Größen sind hier normiert zu verstehen.
• Gehen Sie zudem von unipolaren und gleichwahrscheinlichen Amplitudenkoeffizienten aus:   ${\rm Pr} (a_\nu = 0) = {\rm Pr} (a_\nu = 1)= 0.5.$
• Die Thematik wird auch im interaktiven Applet  Eigenschaften des Viterbi–Empfängers  behandelt.

Fragebogen

1

Berechnen Sie die folgenden Fehlergrößen:

$\varepsilon_2(010) \ = \ $

$\varepsilon_2(011) \ = \ $

$\varepsilon_2(110) \ = \ $

$\varepsilon_2(111) \ = \ $

2

Berechnen Sie die folgenden minimalen Gesamtfehlergrößen:

${\it \Gamma}_2(10) \ = \ $

${\it \Gamma}_2(11) \ = \ $

3

Wie lauten die vom Viterbi–Empfänger ausgegebene Symbole?

	Die ersten sieben Symbole sind  $1011010$.
	Die ersten sieben Symbole sind  $1101101$.
	Das letzte Symbol  $a_8 = 1$  ist sicher.
	Über das Symbol  $a_8$  ist noch keine endgültige Aussage möglich.

Musterlösung

Solution

(1)  Die erste Fehlergröße wird wie folgt berechnet:

$$\varepsilon_{2}(010) = [d_0 - 0 \cdot g_0 - 1 \cdot g_{-1}- 0 \cdot g_{-2}]^2= [0.2 -0.3]^2\hspace{0.15cm}\underline {=0.01} \hspace{0.05cm}.$$

Entsprechend gilt für die weiteren Fehlergrößen:

$$\varepsilon_{2}(011) \ = \ [0.2 -0.3- 0.2]^2\hspace{0.15cm}\underline {=0.09}\hspace{0.05cm},$$

$$\varepsilon_{2}(110) \ = \ [0.2 -0.5- 0.3]^2\hspace{0.15cm}\underline {=0.36}\hspace{0.05cm},$$

$$\varepsilon_{2}(111) \ = \ [0.2 -0.5- 0.3-0.2]^2\hspace{0.15cm}\underline {=0.64} \hspace{0.05cm}.$$

(2)  Die Aufgabe ist, jeweils den minimalen Wert von zwei Vergleichswerten zu finden:

$${\it \Gamma}_{2}(10) \ = \ {\rm Min}\left[{\it \Gamma}_{1}(01) + \varepsilon_{2}(010), \hspace{0.2cm}{\it \Gamma}_{1}(11) + \varepsilon_{2}(110)\right] = {\rm Min}\left[0.2+ 0.01, 1.2 + 0.36\right]\hspace{0.15cm}\underline {= 0.21} \hspace{0.05cm},$$

$${\it \Gamma}_{2}(11) \ = \ {\rm Min}\left[{\it \Gamma}_{1}(01) + \varepsilon_{2}(011), \hspace{0.2cm}{\it \Gamma}_{1}(11) + \varepsilon_{2}(111)\right] = {\rm Min}\left[0.2+ 0.09, 1.2 + 0.64\right]\hspace{0.15cm}\underline {= 0.29} \hspace{0.05cm}.$$

(3)  Richtig sind der erste und der letzte Lösungsvorschlag:

• Die Folge $1011010$ erkennt man aus dem durchgehenden Pfad:     „Rot – Blau – Rot – Rot – Blau – Rot – Blau”.
• Dagegen kann über das Symbol $a_8$ zum Zeitpunkt $\nu = 8$ noch keine endgültige Aussage gemacht werden:
• Nur unter der Hypothese $a_9 = 1$ und $a_{\rm 10} = 1$ würde man sich für $a_8 = 0$ entscheiden, bei anderen Hypothesen für $a_8 = 1$.