Aufgaben:Exercise 4.1Z: Other Basis Functions

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Einige energiebegrenzte Signale

Diese Aufgabe verfolgt das genau gleiche Ziel wie die  Aufgabe 4.1:

Für  $M = 4$  energiebegrenzte Signale  $s_i(t)$  mit  $i = 1, \ \text{...} \ , 4$  sollen die  $N$  erforderlichen orthonormalen Basisfunktionen  $\varphi_{\it j}(t)$  gefunden werden, die folgende Bedingung erfüllen müssen:

$$< \hspace{-0.1cm} \varphi_j(t), \hspace{0.1cm}\varphi_k(t) \hspace{-0.1cm} > \hspace{0.1cm} \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} \int_{-\infty}^{+\infty}\varphi_j(t) \cdot \varphi_k(t)\, {\rm d} t = {\rm \delta}_{jk} = \left\{ \begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{1}c} j = k \\ j \ne k \\ \end{array} \hspace{0.05cm}.$$

Mit  $M$  Sendesignale  $s_i(t)$  können bereits weniger Basisfunktionen  $\varphi_{\it j}(t)$  ausreichen, nämlich  $N$. Allgemein gilt also  $N ≤ M$.

Es handelt sich hier um die genau gleichen energiebegrenzten Signale  $s_i(t)$  wie in der  Aufgabe 4.1:

• Der Unterschied ist die unterschiedliche Reihenfolge der Signale  $s_i(t)$.
• Diese sind in dieser Aufgabe so sortiert, dass die Basisfunktionen auch ohne Anwendung des umständlicheren  Gram–Schmidt–Verfahrens  gefunden werden können.

Hinweise:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel  Signale, Basisfunktionen und Vektorräume.

• Verwenden Sie für numerische Berechnungen:   $A = 1 \sqrt{\rm W} , \hspace{0.2cm} T = 1\,{\rm µ s} \hspace{0.05cm}. $

Fragebogen

1

In Aufgabe 4.1 hat das Gram–Schmidt–Verfahren zu  $N = 3$  Basisfunktionen geführt. Wieviele Basisfunktionen benötigt man hier?

$N \ = \ $

2

Geben Sie die 2–Norm aller Signale an:

$||s_1(t)|| \ = \ $ $\ \cdot \ 10^{\rm –3} \ \rm \sqrt{Ws}$

$||s_2(t)|| \ = \ $ $\ \cdot \ 10^{\rm –3} \ \rm \sqrt{Ws}$

$||s_3(t)|| \ = \ $ $\ \cdot \ 10^{\rm –3} \ \rm \sqrt{Ws}$

$||s_4(t)|| \ = \ $ $\ \cdot \ 10^{\rm –3} \ \rm \sqrt{Ws}$

3

Welche Aussagen gelten für die Basisfunktionen  $\varphi_1(t)$,  $\varphi_2(t)$  und  $\varphi_3(t)$?

	Die in Aufgabe 4.1 berechneten Basisfunktionen sind auch hier geeignet.
	Es gibt unendlich viele Möglichkeiten für  $\{\varphi_1(t),  \varphi_2(t),  \varphi_3(t)\}$.
	Ein möglicher Satz lautet  $\{\varphi_{\it j}(t)\} = \{s_{\it j}(t)\}$, mit  $j = 1, 2, 3$.
	Ein möglicher Satz lautet  $\{\varphi_{\it j}(t)\} = \{s_{\it j}(t)/K\}$, mit  $j = 1, 2, 3$.

4

Wie lauten die Koeffizienten des Signals  $s_4(t)$, bezogen auf die Basisfunktionen  $\{\varphi_{\it j}(t)\} = \{s_{\it j}(t)/K\}$, mit  $j = 1, 2, 3$?

$s_{\rm 41} \ = \ $ $\ \cdot \ 10^{\rm –3} \ \rm \sqrt{Ws}$

$s_{\rm 42} \ = \ $ $\ \cdot \ 10^{\rm –3} \ \rm \sqrt{Ws}$

$s_{\rm 43} \ = \ $ $\ \cdot \ 10^{\rm –3} \ \rm \sqrt{Ws}$

Musterlösung

Solution

(1)  Der einzige Unterschied zur Aufgabe 4.1 ist die unterschiedliche Nummerierung der Signale $s_i(t)$. Damit ist offensichtlich, dass auch hier $\underline {N = 3}$ gelten muss.

(2)  Die 2–Norm gibt die Wurzel aus der Signalenergie an und ist vergleichbar mit dem Effektivwert bei leistungsbegrenzten Signalen. Die ersten drei Signale haben alle die 2–Norm

$$||s_1(t)|| = ||s_2(t)|| = ||s_3(t)|| = \sqrt{A^2 \cdot T}\hspace{0.1cm}\hspace{0.15cm}\underline { = 10^{-3}\sqrt{\rm Ws}} \hspace{0.05cm}.$$

Die Norm des letzten Signals ist um den Faktor $\sqrt{2}$ größer:

$$||s_4(t)|| \hspace{0.1cm}\hspace{0.15cm}\underline { = 1.414 \cdot 10^{-3}\sqrt{\rm Ws}} \hspace{0.05cm}.$$

(3)  Die erste und die letzte Aussage sind zutreffend im Gegensatz zu den Aussagen 2 und 3:

• Es wäre völlig unlogisch, wenn die gefundenen Basisfunktionen bei anderer Sortierung der Signale $s_i(t)$ nicht mehr gelten sollten.
• Das Gram–Schmidt–Verfahren liefert nur einen möglichen Basisfunktionssatz $\{\varphi_{\it j}(t)\}$. Bei anderer Sortierung ergibt sich (möglicherweise) ein anderer.
• Die Anzahl der Permutationen von $M = 4$ Signalen ist $4! = 24$. Mehr Basisfunktionssätze kann es auf keinen Fall geben. Daraus folgt: der Lösungsvorschlag 2 ist falsch.
• Wahrscheinlich gibt es (wegen $N = 3$) aber nur $3! = 6$ mögliche Basisfunktionssätze. Wie aus der Musterlösung zur Aufgabe 4.1 ersichtlich ist, werden sich mit der Reihenfolge $s_1(t), s_2(t), s_4(t), s_3(t)$ die gleichen Basisfunktionen ergeben wie mit $s_1(t), s_2(t), s_3(t), s_4(t)$. Dies ist aber nur eine Vermutung der Autoren; wir haben es nicht überprüft.
• Die Aussage 3 kann allein schon wegen den unterschiedlichen Einheiten von $s_i(t)$ und $\varphi_{\it j}(t)$ nicht stimmen. Die Signale weisen wie $A$ die Einheit $\sqrt{\rm W}$ auf, die Basisfunktionen die Einheit $\sqrt{\rm 1/s}$.
• Richtig ist somit die letzte Lösungsalternative, wobei für $K$ gilt:

$$K = ||s_1(t)|| = ||s_2(t)|| = ||s_3(t)|| = 10^{-3}\sqrt{\rm Ws} \hspace{0.05cm}.$$

(4)  Aus dem Vergleich der Diagramme auf der Angabenseite erkennt man:

$$s_{4}(t) = s_{1}(t) - s_{2}(t) = K \cdot \varphi_1(t) - K \cdot \varphi_2(t)\hspace{0.05cm}.$$

Weiterhin gilt:

$$s_{4}(t) = s_{41}\cdot \varphi_1(t) + s_{42}\cdot \varphi_2(t) + s_{43}\cdot \varphi_3(t)$$

$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}s_{41} = K \hspace{0.1cm}\hspace{0.15cm}\underline {= 10^{-3}\sqrt{\rm Ws}}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}s_{42} = -K \hspace{0.1cm}\hspace{0.15cm}\underline {= -10^{-3}\sqrt{\rm Ws}}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}s_{43} \hspace{0.1cm}\hspace{0.15cm}\underline { = 0}\hspace{0.05cm}. $$